2018版高考數(shù)學二輪復習 特色專題訓練 專題03 直擊函數(shù)壓軸題中零點問題 理
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1、 專題03 直擊函數(shù)壓軸題中零點問題 一、解答題 1.已知函數(shù). (1)討論的單調性; (2)若在區(qū)間內有唯一的零點,證明: . 【答案】(1)答案見解析;(2)證明見解析. 【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調區(qū)間即可; (2)依題可知,若在區(qū)間內有唯一的零點,由(1)可知, 且,于是: ①, ② 由①②得,設g(x)=lnx?,(x∈(0,1)),求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可. (2)依題可知,若在區(qū)間內有唯一的零點,由(1)可知, 且. 于是: ① ② 由①②得,設,
2、 則,因此在上單調遞減, 又, 根據(jù)零點存在定理,故. 點睛:本題考查了函數(shù)的單調性,零點問題,考查導數(shù)的應用以及不等式的證明,零點存在性定理,考查分類討論思想,轉化思想,構造函數(shù)的解題方法. 2.設函數(shù)f(x)=x2+bx-1(b∈R). (1)當b=1時證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間內存在唯一零點; (2)若當x∈[1,2],不等式f(x)<1有解.求實數(shù)b的取值范圍. 【答案】(1)見解析;(2) 【解析】試題分析:(1)先根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關系確定函數(shù)f(x)在區(qū)間單調性,再根據(jù)區(qū)間端點函數(shù)值異號,結合零點存在定理確定零點個數(shù)(2)先分離變量化為對應函數(shù)最值問題:
3、 ,再根據(jù)函數(shù)單調性確定函數(shù)最小值,即得實數(shù)b的取值范圍.
(2)由題意可知x2+bx-1<1在區(qū)間[1,2]上有解,
所以b<=-x在區(qū)間[1,2]上有解.
令g(x)=-x,可得g(x)在區(qū)間[1,2]上遞減,
所以b 4、實數(shù)的取值范圍;
(3)已知R且, ,求證:方程
在區(qū)間上有實數(shù)根.
【答案】⑴見解析;⑵;⑶見解析.
【解析】試題分析:(1)利用判別式定二次函數(shù)的零點個數(shù):(2)零點個數(shù)問題轉化為圖象交點個數(shù)問題,利用判別式處理即可;(3)方程在區(qū)間上有實數(shù)根,即有零點,結合零點存在定理可以證明.
試題解析:
⑴
,
當時, ,函數(shù)有一個零點;
當時, ,函數(shù)有兩個零點
⑶設,
則
,
在區(qū)間上有實數(shù)根,
即方程在區(qū)間上有實數(shù)根.
點睛:已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路
(1)直接法:直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式,再通過解 5、不等式確定參數(shù)范圍;
(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉化成求函數(shù)值域問題加以解決;
(3)數(shù)形結合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結合求解.
4.已知函數(shù)圖象上一點處的切線方程為.
(1)求的值;
(2)若方程在內有兩個不等實根,求的取值范圍(其中
為自然對數(shù)的底).
【答案】(1)a=2,b=1.(2) .
【解析】試題分析:
本題考查函數(shù)與方程,函數(shù)與導數(shù)的綜合應用.(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義,得出兩個方程,然后求解.(2)先利用導數(shù)研究函數(shù)h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x2+m的單調性,根據(jù)單調性與極值點確定關系然后求解.
6、
(2)由(1)得f(x)=2lnx﹣x2,
令h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x2+m,
則,
令h'(x)=0,得x=1(x=﹣1舍去).
故當x∈時,h'(x)>0,h(x)單調遞增;
當x∈(1,e]時,h'(x)<0,h(x)單調遞減.
∵方程h(x)=0在內有兩個不等實根,
∴,解得.
∴實數(shù)的取值范圍為.
點睛:根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)取值或范圍的方法
(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解;
(2)分離參數(shù)后轉化為函數(shù)的值域(最值)問題求解,如果涉及由幾個零點時,還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點個數(shù);
(3)利用方程根的分布求解,轉化為不等式問題.
(4 7、)轉化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關系問題,從而構建不等式求解.
5.已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù),
(I)若,函數(shù)
①求函數(shù)的單調區(qū)間
②若函數(shù)的值域為,求實數(shù)的取值范圍
(II)若存在實數(shù),使得,且,求證:
【答案】(1)①詳見解析②實數(shù)的取值范圍是;(2);
試題解析:
(1)當時, .
①.
由得,由得.
所以函數(shù)的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為.
②
當時, ,所以在區(qū)間上單調遞減;
當時, ,所以在區(qū)間上單調遞增.
在上單調遞減,值域為,
因為的值域為,所以,
即.
(2).
若時, ,此時在上單調遞增.
由可得,與相矛盾,
8、同樣不能有.
不妨設,則有.
因為在上單調遞減,在上單調遞增,且,
所以當時, .
由,且,可得
故.
又在單調遞減,且,所以,
所以,同理.
即解得,
所以.
點睛:本題考查函數(shù)的單調性極值及恒成立問題,涉及函數(shù)不等式的證明,綜合性強,難度大,屬于難題.處理導數(shù)大題時,注意分層得分的原則,力爭第一二問答對,第三問爭取能寫點,一般涉及求函數(shù)單調性及極值時,比較容易入手,求導后注意分類討論,對于恒成立問題一般要分離參數(shù),然后利用函數(shù)導數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值,對于含有不等式的函數(shù)問題,一般要構造函數(shù),利用函數(shù)的單調性來解決,但涉及技巧比較多,需要多加體會.
6.已知函數(shù).
9、
(1)當時,求在上的值域;
(2)試求的零點個數(shù),并證明你的結論.
【答案】(1)(2)當時, 只有一個零點;當時, 有兩個零點.
(2)原方程等價于實根的個數(shù),原命題也等價于在上的零點個數(shù),討論, , ,三種情況,分別利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,結合函數(shù)圖象與零點存在定理可得結果.
試題解析:(1)當時, ,則,
而在上恒成立,所以在上遞減,
, ,
所以在上存在唯一的,使得,而且
當時, , 遞增;當時, 遞減;
所以,當時, 取極大值,也是最大值,即,
,
所以, 在上的值域為.
(I)若,則
當時, 恒成立,則沒有零點;
當時, , ,又在上單調遞增 10、的,所以有唯一的零點。
(II)若,則
當時, 恒成立,則沒有零點;
當時, , ,又在上單調遞增的,所以有唯一的零點
(III)若,則
當時,由 ,則,
則取,則,又,所以在有唯一的零點,
當時, ,
,又在上單調遞增的,所以有唯一的零點
綜上所述,當時, 只有一個零點;當時, 有兩個零點.
7.已知函數(shù)
(1)若不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍;
(2)在(1)中, 取最小值時,設函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)證明不等式: (且).
【答案】(1) ;(2) ;(3)證明見解析.
(2)由(1)可知, ,當時, ,
, 11、
在區(qū)間上恰有兩個零點,即關于的方程在區(qū)間上恰有兩個實數(shù)根. 整理方程得, ,令, , 令, ,
則, ,于是, 在上單調遞增.
因為,當時, ,從而, 單調遞減,
當時, ,從而, 單調遞增,
, , ,
因為,所以實數(shù)的取值范圍是.
(3)由(1)可知,當時,有,
當且僅當時取等號.
令,則有,其中 .
整理得: ,
當時,
, , , ,
上面?zhèn)€式子累加得: . 且,
即.命題得證.
8.已知函數(shù),其中.
(1)設,討論的單調性;
(2)若函數(shù)在內存在零點,求的范圍.
【答案】(1)見解析;(2)的取值范圍是.
解析:(1 12、)定義域
故 則
若,則 在 上單調遞減;
若,則 .
(i) 當 時,則 ,因此在 上恒有 ,即 在 上單調遞減;
(ii)當時, ,因而在上有,在上有 ;因此 在 上單調遞減,在單調遞增.
(ii)當,考察函數(shù) ,由于 在 上必存在零點.設在 的第一個零點為,則當時, ,故 在 上為減函數(shù),又 ,
所以當 時, ,從而 在 上單調遞減,故在 上恒有 。即 ,注意到 ,因此,令時,則有,由零點存在定理可知函數(shù) 在 上有零點,符合題意.
點睛:導數(shù)中函數(shù)的含參數(shù)的問題的討論,需要考慮下面的幾個方面:(1)把導函數(shù)充分變形,找出決定導數(shù)符 13、號的核心代數(shù)式,討論其零點是否存在,零點是否在給定的范圍中;(2)零點不容易求得時,需要結合原函數(shù)的形式去討論,有時甚至需要把原函數(shù)放縮去討論,常見的放縮有等;(3)如果導數(shù)也比較復雜,可以進一步求導,討論導函數(shù)的導數(shù).
9.設函數(shù), ().
(1)當時,若函數(shù)與的圖象在處有相同的切線,求的值;
(2)當時,若對任意和任意,總存在不相等的正實數(shù),使得,求的最小值;
(3)當時,設函數(shù)與的圖象交于 兩點.求證: .
【答案】(1)(2)(3)見解析
【解析】試題分析:(1)由導數(shù)幾何意義可得,又,解方程組可得的值;(2)先轉化條件為對應方程有兩個不等實根,再根據(jù)實根分布充要條件列不等 14、式組,解得的最小值;(3)先根據(jù)零點表示b,代入要證不等式化簡得.再構造函數(shù),以及,結合導數(shù)研究其單調性,即證得結論
(2)當時,則,又,設,
則題意可轉化為方程在上有相異兩實根.
即關于的方程在上有相異兩實根.
所以,得,
所以對恒成立.
因為,所以(當且僅當時取等號),
又,所以的取值范圍是,所以.
故的最小值為.
(3)當時,因為函數(shù)與的圖象交于兩點,
所以,兩式相減,得.
要證明,即 15、證,
即證,即證.
令,則,此時即證.
令,所以,所以當時,函數(shù)單調遞增.
又,所以,即成立;
再令,所以,所以當時,函數(shù)單調遞減,
又,所以,即也成立.
綜上所述, 實數(shù)滿足.
點睛:利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1) 構造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號,確定差函數(shù)單調性,利用單調性得不等量關系,進而證明不等式.(2)根據(jù)條件,尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉化為對應項之間大小關系,或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉化為一元函數(shù).
10.已知函數(shù).
(Ⅰ)討論的單調性;
(Ⅱ)當函數(shù)有兩個不相等的零點時,證明: .
16、
【答案】(1)見解析(2)見解析
試題解析:(Ⅰ)當時, 在單調遞增;
當時, 在單調遞減; 在單調遞增;
點睛:利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略
(1) 構造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號,確定差函數(shù)單調性,利用單調性得不等量關系,進而證明不等式.(2)根據(jù)條件,尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉化為對應項之間大小關系,或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉化為一元函數(shù).
11.已知.
(1)討論的單調性;
(2)若存在及唯一正整數(shù),使得,求的取值范圍.
【答案】(1)的單調遞減區(qū)間是,單調遞增區(qū)間是;(2) 的取值范圍是.
【解析】試題分析:
(1)求出 17、函數(shù)的導函數(shù),通過對導函數(shù)符號的討論可得函數(shù)的單調性.(2)由題意得函數(shù)在上的值域為.結合題意可將問題轉化為當時,滿足的正整數(shù)解只有1個.通過討論的單調性可得只需滿足,由此可得所求范圍.
(2)由(1)知當時, 取得最小值,
又,
所以在上的值域為.
因為存在及唯一正整數(shù),使得,
所以滿足的正整數(shù)解只有1個.
因為,
所以,
所以在上單調遞增,在上單調遞減,
所以,即,
解得.
所以實數(shù)的取值范圍是.
點睛:本題中研究方程根的情況時,通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最大(?。┲怠⒑瘮?shù)圖象的變化趨勢等,根據(jù)題目畫出函數(shù)圖象的草圖,通過數(shù)形結合的思想去分析問題,使問題的解決有 18、一個直觀的形象,然后在此基礎上再轉化為不等式(組)的問題,通過求解不等式可得到所求的參數(shù)的取值(或范圍).
12.設函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)若存在、滿足.求證: (其中為的導函數(shù))
【答案】(1)見解析(2)見解析
試題解析:
(1)由題知 .
當,此時函數(shù)在單調遞增,在單調遞減.
當,此時函數(shù)在單調遞增.
(2)因為,由(1)知
不妨設,由得,
即,
所以.
, 總成立,
原題得證.
點睛:導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具,而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點,所以在歷屆高考中,對導數(shù)的應用的考查都非常突出 ,本 19、專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看,對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行: (1)考查導數(shù)的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系. (2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間,判斷單調性;已知單調性,求參數(shù). (3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決生活中的優(yōu)化問題. (4)考查數(shù)形結合思想的應用.
13.已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)當時,若在上有零點,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)
試題解析:
解:(Ⅰ)函數(shù)的定義域為,
.
由得或.
當時, 在上恒成立,
所以的單調遞減區(qū)間是,沒有單調遞增區(qū)間.
當時, 的變化情況如下表:
20、
所以的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是.
當時, 的變化情況如下表:
所以的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是.
點睛:根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)取值,也是高考經(jīng)常涉及的重點問題,
(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解;
(2)分離參數(shù)后轉化為函數(shù)的值域(最值)問題求解,如果涉及由幾個零點時,還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點個數(shù);
(3)轉化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關系問題,從而構建不等式求解.
14.已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù),試求實數(shù)的取值范圍;
(2)已知函數(shù),且,若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) 21、 (2)
【解析】試題分析:(1)函數(shù)在區(qū)間上單調遞增等價于在區(qū)間上恒成立,可得,函數(shù)在區(qū)間單調遞減等價于在區(qū)間上恒成立,可得,綜合兩種情況可得結果;(2),由,知在區(qū)間內恰有一個零點,設該零點為,則在區(qū)間內不單調,所以在區(qū)間內存在零點,同理, 在區(qū)間內存在零點,所以只需在區(qū)間內恰有兩個零點即可,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,結合函數(shù)單調性討論的零點,從而可得結果.
(2).
由,知在區(qū)間內恰有一個零點,
設該零點為,則在區(qū)間內不單調,
所以在區(qū)間內存在零點,
同理, 在區(qū)間內存在零點,
所以在區(qū)間內恰有兩個零點.
由(1)知,當時, 在區(qū)間上單調遞增,故在區(qū)間內至多有一個 22、零點,不合題意.
當時, 在區(qū)間上單調遞減,
故在內至多有一個零點,不合題意;
所以.
15.已知函數(shù),其中.
(1)設,討論的單調性;
(2)若函數(shù)在內存在零點,求的范圍.
【答案】(1)見解析;(2)的取值范圍是.
【解析】試題分析:(1)求導可以得到,分三種情況討論導數(shù)的符號.(2)計算可以得到,其導數(shù)為,我們需要討論的符號,故需再構建新函數(shù),其導數(shù)為,結合原函數(shù)的形式和的形式,我們發(fā)現(xiàn)當時恒成立;當時, 在上有極小值點 ,結合可知 在上有零點;當時, 恒成立,結合可知, 在上也是恒成立的,故而在上遞增恒成立.
(i) 當 時,則 ,因此在 上恒有 , 23、即 在 上單調遞減;
(ii)當時, ,因而在上有,在上有 ;因此 在 上單調遞減,在單調遞增.
(2)設 ,
,設,
則 .
先證明一個命題:當時, .令, ,故在上是減函數(shù),從而當時, ,故命題成立.
若 ,由 可知, .,故 ,對任意都成立,故 在上無零點,因此.
(ii)當,考察函數(shù) ,由于 在 上必存在零點.設在 的第一個零點為,則當時, ,故 在 上為減函數(shù),又 ,
所以當 時, ,從而 在 上單調遞減,故在 上恒有 。即 ,注意到 ,因此,令時,則有,由零點存在定理可知函數(shù) 在 上有零點,符合題意.
點睛:導數(shù)中函數(shù)的含參數(shù)的問題的討論,需要考慮下面 24、的幾個方面:(1)把導函數(shù)充分變形,找出決定導數(shù)符號的核心代數(shù)式,討論其零點是否存在,零點是否在給定的范圍中;(2)零點不容易求得時,需要結合原函數(shù)的形式去討論,有時甚至需要把原函數(shù)放縮去討論,常見的放縮有等;(3)如果導數(shù)也比較復雜,可以進一步求導,討論導函數(shù)的導數(shù).
16.已知函數(shù)(且)
(1)若,求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)當時,設,若有兩個相異零點,求證: .
【答案】(1) 當時,函數(shù)的單調增區(qū)間是,單調減區(qū)間是,當時,函數(shù)的單調增區(qū)間是,單調減區(qū)間是.(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)由知分, 兩種情況討論即得解;(2),設的兩個相異零點為,設,因為, ,所以, ,相 25、減得,相加得.要證,即證,即,即,換元設上式轉化為.構造函數(shù)
求導研究單調性即可得證.
(2),設的兩個相異零點為,
設,
∵, ,
∴, ,
∴, .
要證,即證,
即,即,
設上式轉化為.
設,∴,∴在上單調遞增,
∴,∴,∴.
點睛:本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)單調性,考查了分類討論的思想,考查了不等式的證明,利用零點的式子進行變形,采用變量集中的方法構造新函數(shù)即可證明,綜合性強屬于中檔題
17.設函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調遞減區(qū)間;
(2)若關于的方程在區(qū)間內恰有兩個相異的實根,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) 函數(shù)的單調遞增區(qū)間為;(2) 的取值范圍是.
試題解析:
(1)函數(shù)的定義域為
∵
∵,則使的的取值范圍為,
故函數(shù)的單調遞減區(qū)間為
故在區(qū)間內恰有兩個相異實根
即,解得:
綜上所述, 的取值范圍是
31
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