2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 特色專題訓(xùn)練 專題03 直擊函數(shù)壓軸題中零點(diǎn)問題 理

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2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 特色專題訓(xùn)練 專題03 直擊函數(shù)壓軸題中零點(diǎn)問題 理_第1頁
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1、 專題03 直擊函數(shù)壓軸題中零點(diǎn)問題 一、解答題 1.已知函數(shù). (1)討論的單調(diào)性; (2)若在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn),證明: . 【答案】(1)答案見解析;(2)證明見解析. 【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可; (2)依題可知,若在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn),由(1)可知, 且,于是: ①, ② 由①②得,設(shè)g(x)=lnx?,(x∈(0,1)),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可. (2)依題可知,若在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn),由(1)可知, 且. 于是: ① ② 由①②得,設(shè),

2、 則,因此在上單調(diào)遞減, 又, 根據(jù)零點(diǎn)存在定理,故. 點(diǎn)睛:本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,零點(diǎn)問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明,零點(diǎn)存在性定理,考查分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,構(gòu)造函數(shù)的解題方法. 2.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bx-1(b∈R). (1)當(dāng)b=1時(shí)證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn); (2)若當(dāng)x∈[1,2],不等式f(x)<1有解.求實(shí)數(shù)b的取值范圍. 【答案】(1)見解析;(2) 【解析】試題分析:(1)先根據(jù)對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系確定函數(shù)f(x)在區(qū)間單調(diào)性,再根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào),結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)(2)先分離變量化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題:

3、 ,再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)最小值,即得實(shí)數(shù)b的取值范圍. (2)由題意可知x2+bx-1<1在區(qū)間[1,2]上有解, 所以b<=-x在區(qū)間[1,2]上有解. 令g(x)=-x,可得g(x)在區(qū)間[1,2]上遞減, 所以b

4、實(shí)數(shù)的取值范圍; (3)已知R且, ,求證:方程 在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根. 【答案】⑴見解析;⑵;⑶見解析. 【解析】試題分析:(1)利用判別式定二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù):(2)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,利用判別式處理即可;(3)方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根,即有零點(diǎn),結(jié)合零點(diǎn)存在定理可以證明. 試題解析: ⑴ , 當(dāng)時(shí), ,函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn); 當(dāng)時(shí), ,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) ⑶設(shè), 則 , 在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根, 即方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根. 點(diǎn)睛:已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路 (1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解

5、不等式確定參數(shù)范圍; (2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決; (3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解. 4.已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線方程為. (1)求的值; (2)若方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,求的取值范圍(其中 為自然對(duì)數(shù)的底). 【答案】(1)a=2,b=1.(2) . 【解析】試題分析: 本題考查函數(shù)與方程,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得出兩個(gè)方程,然后求解.(2)先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x2+m的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性與極值點(diǎn)確定關(guān)系然后求解.

6、 (2)由(1)得f(x)=2lnx﹣x2, 令h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x2+m, 則, 令h'(x)=0,得x=1(x=﹣1舍去). 故當(dāng)x∈時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x∈(1,e]時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減. ∵方程h(x)=0在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根, ∴,解得. ∴實(shí)數(shù)的取值范圍為. 點(diǎn)睛:根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值或范圍的方法 (1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解; (2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解,如果涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí),還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù); (3)利用方程根的分布求解,轉(zhuǎn)化為不等式問題. (4

7、)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式求解. 5.已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), (I)若,函數(shù) ①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 ②若函數(shù)的值域?yàn)?求實(shí)數(shù)的取值范圍 (II)若存在實(shí)數(shù),使得,且,求證: 【答案】(1)①詳見解析②實(shí)數(shù)的取值范圍是;(2); 試題解析: (1)當(dāng)時(shí), . ①. 由得,由得. 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為. ② 當(dāng)時(shí), ,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí), ,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增. 在上單調(diào)遞減,值域?yàn)? 因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?,所以? 即. (2). 若時(shí), ,此時(shí)在上單調(diào)遞增. 由可得,與相矛盾,

8、同樣不能有. 不妨設(shè),則有. 因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且, 所以當(dāng)時(shí), . 由,且,可得 故. 又在單調(diào)遞減,且,所以, 所以,同理. 即解得, 所以. 點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問題,涉及函數(shù)不等式的證明,綜合性強(qiáng),難度大,屬于難題.處理導(dǎo)數(shù)大題時(shí),注意分層得分的原則,力爭第一二問答對(duì),第三問爭取能寫點(diǎn),一般涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時(shí),比較容易入手,求導(dǎo)后注意分類討論,對(duì)于恒成立問題一般要分離參數(shù),然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值,對(duì)于含有不等式的函數(shù)問題,一般要構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性來解決,但涉及技巧比較多,需要多加體會(huì). 6.已知函數(shù).

9、 (1)當(dāng)時(shí),求在上的值域; (2)試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論. 【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí), 只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí), 有兩個(gè)零點(diǎn). (2)原方程等價(jià)于實(shí)根的個(gè)數(shù),原命題也等價(jià)于在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),討論, , ,三種情況,分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)圖象與零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果. 試題解析:(1)當(dāng)時(shí), ,則, 而在上恒成立,所以在上遞減, , , 所以在上存在唯一的,使得,而且 當(dāng)時(shí), , 遞增;當(dāng)時(shí), 遞減; 所以,當(dāng)時(shí), 取極大值,也是最大值,即, , 所以, 在上的值域?yàn)? (I)若,則 當(dāng)時(shí), 恒成立,則沒有零點(diǎn); 當(dāng)時(shí), , ,又在上單調(diào)遞增

10、的,所以有唯一的零點(diǎn)。 (II)若,則 當(dāng)時(shí), 恒成立,則沒有零點(diǎn); 當(dāng)時(shí), , ,又在上單調(diào)遞增的,所以有唯一的零點(diǎn) (III)若,則 當(dāng)時(shí),由 ,則, 則取,則,又,所以在有唯一的零點(diǎn), 當(dāng)時(shí), , ,又在上單調(diào)遞增的,所以有唯一的零點(diǎn) 綜上所述,當(dāng)時(shí), 只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí), 有兩個(gè)零點(diǎn). 7.已知函數(shù) (1)若不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍; (2)在(1)中, 取最小值時(shí),設(shè)函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍; (3)證明不等式: (且). 【答案】(1) ;(2) ;(3)證明見解析. (2)由(1)可知, ,當(dāng)時(shí), , ,

11、 在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn),即關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 整理方程得, ,令, , 令, , 則, ,于是, 在上單調(diào)遞增. 因?yàn)椋?dāng)時(shí), ,從而, 單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí), ,從而, 單調(diào)遞增, , , , 因?yàn)?,所以?shí)數(shù)的取值范圍是. (3)由(1)可知,當(dāng)時(shí),有, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 令,則有,其中 . 整理得: , 當(dāng)時(shí), , , , , 上面?zhèn)€式子累加得: . 且, 即.命題得證. 8.已知函數(shù),其中. (1)設(shè),討論的單調(diào)性; (2)若函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn),求的范圍. 【答案】(1)見解析;(2)的取值范圍是. 解析:(1

12、)定義域 故 則 若,則 在 上單調(diào)遞減; 若,則 . (i) 當(dāng) 時(shí),則 ,因此在 上恒有 ,即 在 上單調(diào)遞減; (ii)當(dāng)時(shí), ,因而在上有,在上有 ;因此 在 上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增. (ii)當(dāng),考察函數(shù) ,由于 在 上必存在零點(diǎn).設(shè)在 的第一個(gè)零點(diǎn)為,則當(dāng)時(shí), ,故 在 上為減函數(shù),又 , 所以當(dāng) 時(shí), ,從而 在 上單調(diào)遞減,故在 上恒有 。即 ,注意到 ,因此,令時(shí),則有,由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù) 在 上有零點(diǎn),符合題意. 點(diǎn)睛:導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的含參數(shù)的問題的討論,需要考慮下面的幾個(gè)方面:(1)把導(dǎo)函數(shù)充分變形,找出決定導(dǎo)數(shù)符

13、號(hào)的核心代數(shù)式,討論其零點(diǎn)是否存在,零點(diǎn)是否在給定的范圍中;(2)零點(diǎn)不容易求得時(shí),需要結(jié)合原函數(shù)的形式去討論,有時(shí)甚至需要把原函數(shù)放縮去討論,常見的放縮有等;(3)如果導(dǎo)數(shù)也比較復(fù)雜,可以進(jìn)一步求導(dǎo),討論導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 9.設(shè)函數(shù), (). (1)當(dāng)時(shí),若函數(shù)與的圖象在處有相同的切線,求的值; (2)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意和任意,總存在不相等的正實(shí)數(shù),使得,求的最小值; (3)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)與的圖象交于 兩點(diǎn).求證: . 【答案】(1)(2)(3)見解析 【解析】試題分析:(1)由導(dǎo)數(shù)幾何意義可得,又,解方程組可得的值;(2)先轉(zhuǎn)化條件為對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)不等實(shí)根,再根據(jù)實(shí)根分布充要條件列不等

14、式組,解得的最小值;(3)先根據(jù)零點(diǎn)表示b,代入要證不等式化簡得.再構(gòu)造函數(shù),以及,結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性,即證得結(jié)論 (2)當(dāng)時(shí),則,又,設(shè), 則題意可轉(zhuǎn)化為方程在上有相異兩實(shí)根. 即關(guān)于的方程在上有相異兩實(shí)根. 所以,得, 所以對(duì)恒成立. 因?yàn)?,所以(?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)), 又,所以的取值范圍是,所以. 故的最小值為. (3)當(dāng)時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象交于兩點(diǎn), 所以,兩式相減,得. 要證明,即

15、證, 即證,即證. 令,則,此時(shí)即證. 令,所以,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增. 又,所以,即成立; 再令,所以,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減, 又,所以,即也成立. 綜上所述, 實(shí)數(shù)滿足. 點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1) 構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào),確定差函數(shù)單調(diào)性,利用單調(diào)性得不等量關(guān)系,進(jìn)而證明不等式.(2)根據(jù)條件,尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系,或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù). 10.已知函數(shù). (Ⅰ)討論的單調(diào)性; (Ⅱ)當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)時(shí),證明: .

16、 【答案】(1)見解析(2)見解析 試題解析:(Ⅰ)當(dāng)時(shí), 在單調(diào)遞增; 當(dāng)時(shí), 在單調(diào)遞減; 在單調(diào)遞增; 點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略 (1) 構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào),確定差函數(shù)單調(diào)性,利用單調(diào)性得不等量關(guān)系,進(jìn)而證明不等式.(2)根據(jù)條件,尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系,或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù). 11.已知. (1)討論的單調(diào)性; (2)若存在及唯一正整數(shù),使得,求的取值范圍. 【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是;(2) 的取值范圍是. 【解析】試題分析: (1)求出

17、函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),通過對(duì)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的討論可得函數(shù)的單調(diào)性.(2)由題意得函數(shù)在上的值域?yàn)椋Y(jié)合題意可將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí),滿足的正整數(shù)解只有1個(gè).通過討論的單調(diào)性可得只需滿足,由此可得所求范圍. (2)由(1)知當(dāng)時(shí), 取得最小值, 又, 所以在上的值域?yàn)椋? 因?yàn)榇嬖诩拔ㄒ徽麛?shù),使得, 所以滿足的正整數(shù)解只有1個(gè). 因?yàn)椋? 所以, 所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減, 所以,即, 解得. 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. 點(diǎn)睛:本題中研究方程根的情況時(shí),通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大(?。┲?、函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)等,根據(jù)題目畫出函數(shù)圖象的草圖,通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題,使問題的解決有

18、一個(gè)直觀的形象,然后在此基礎(chǔ)上再轉(zhuǎn)化為不等式(組)的問題,通過求解不等式可得到所求的參數(shù)的取值(或范圍). 12.設(shè)函數(shù). (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (2)若存在、滿足.求證: (其中為的導(dǎo)函數(shù)) 【答案】(1)見解析(2)見解析 試題解析: (1)由題知 . 當(dāng),此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減. 當(dāng),此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞增. (2)因?yàn)?,由?)知 不妨設(shè),由得, 即, 所以. , 總成立, 原題得證. 點(diǎn)睛:導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具,而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn),所以在歷屆高考中,對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ,本

19、專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看,對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行: (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系. (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性,求參數(shù). (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決生活中的優(yōu)化問題. (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 13.已知函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)當(dāng)時(shí),若在上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ) 試題解析: 解:(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)椋? . 由得或. 當(dāng)時(shí), 在上恒成立, 所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,沒有單調(diào)遞增區(qū)間. 當(dāng)時(shí), 的變化情況如下表:

20、 所以的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是. 當(dāng)時(shí), 的變化情況如下表: 所以的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是. 點(diǎn)睛:根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值,也是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問題, (1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解; (2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解,如果涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí),還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù); (3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式求解. 14.已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). (1)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),試求實(shí)數(shù)的取值范圍; (2)已知函數(shù),且,若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1)

21、 (2) 【解析】試題分析:(1)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增等價(jià)于在區(qū)間上恒成立,可得,函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減等價(jià)于在區(qū)間上恒成立,可得,綜合兩種情況可得結(jié)果;(2),由,知在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn),設(shè)該零點(diǎn)為,則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào),所以在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn),同理, 在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn),所以只需在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)即可,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性討論的零點(diǎn),從而可得結(jié)果. (2). 由,知在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn), 設(shè)該零點(diǎn)為,則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào), 所以在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn), 同理, 在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn), 所以在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn). 由(1)知,當(dāng)時(shí), 在區(qū)間上單調(diào)遞增,故在區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)

22、零點(diǎn),不合題意. 當(dāng)時(shí), 在區(qū)間上單調(diào)遞減, 故在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意; 所以. 15.已知函數(shù),其中. (1)設(shè),討論的單調(diào)性; (2)若函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn),求的范圍. 【答案】(1)見解析;(2)的取值范圍是. 【解析】試題分析:(1)求導(dǎo)可以得到,分三種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào).(2)計(jì)算可以得到,其導(dǎo)數(shù)為,我們需要討論的符號(hào),故需再構(gòu)建新函數(shù),其導(dǎo)數(shù)為,結(jié)合原函數(shù)的形式和的形式,我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)恒成立;當(dāng)時(shí), 在上有極小值點(diǎn) ,結(jié)合可知 在上有零點(diǎn);當(dāng)時(shí), 恒成立,結(jié)合可知, 在上也是恒成立的,故而在上遞增恒成立. (i) 當(dāng) 時(shí),則 ,因此在 上恒有 ,

23、即 在 上單調(diào)遞減; (ii)當(dāng)時(shí), ,因而在上有,在上有 ;因此 在 上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增. (2)設(shè) , ,設(shè), 則 . 先證明一個(gè)命題:當(dāng)時(shí), .令, ,故在上是減函數(shù),從而當(dāng)時(shí), ,故命題成立. 若 ,由 可知, .,故 ,對(duì)任意都成立,故 在上無零點(diǎn),因此. (ii)當(dāng),考察函數(shù) ,由于 在 上必存在零點(diǎn).設(shè)在 的第一個(gè)零點(diǎn)為,則當(dāng)時(shí), ,故 在 上為減函數(shù),又 , 所以當(dāng) 時(shí), ,從而 在 上單調(diào)遞減,故在 上恒有 。即 ,注意到 ,因此,令時(shí),則有,由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù) 在 上有零點(diǎn),符合題意. 點(diǎn)睛:導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的含參數(shù)的問題的討論,需要考慮下面

24、的幾個(gè)方面:(1)把導(dǎo)函數(shù)充分變形,找出決定導(dǎo)數(shù)符號(hào)的核心代數(shù)式,討論其零點(diǎn)是否存在,零點(diǎn)是否在給定的范圍中;(2)零點(diǎn)不容易求得時(shí),需要結(jié)合原函數(shù)的形式去討論,有時(shí)甚至需要把原函數(shù)放縮去討論,常見的放縮有等;(3)如果導(dǎo)數(shù)也比較復(fù)雜,可以進(jìn)一步求導(dǎo),討論導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 16.已知函數(shù)(且) (1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (2)當(dāng)時(shí),設(shè),若有兩個(gè)相異零點(diǎn),求證: . 【答案】(1) 當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是,當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是.(2)見解析. 【解析】試題分析:(1)由知分, 兩種情況討論即得解;(2),設(shè)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為,設(shè),因?yàn)椋?,所以, ,相

25、減得,相加得.要證,即證,即,即,換元設(shè)上式轉(zhuǎn)化為.構(gòu)造函數(shù) 求導(dǎo)研究單調(diào)性即可得證. (2),設(shè)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為, 設(shè), ∵, , ∴, , ∴, . 要證,即證, 即,即, 設(shè)上式轉(zhuǎn)化為. 設(shè),∴,∴在上單調(diào)遞增, ∴,∴,∴. 點(diǎn)睛:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,考查了分類討論的思想,考查了不等式的證明,利用零點(diǎn)的式子進(jìn)行變形,采用變量集中的方法構(gòu)造新函數(shù)即可證明,綜合性強(qiáng)屬于中檔題 17.設(shè)函數(shù). (1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間; (2)若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2) 的取值范圍是. 試題解析: (1)函數(shù)的定義域?yàn)? ∵ ∵,則使的的取值范圍為, 故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根 即,解得: 綜上所述, 的取值范圍是 31

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