專題四 第1講 等差數(shù)列和等比數(shù)列

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1、 第1講 等差數(shù)列和等比數(shù)列 考情解讀 1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點,經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點,考查分析問題、解決問題的綜合能力. 1.a(chǎn)n與Sn的關(guān)系Sn=a1+a2+…+an,an= 2.等差數(shù)列和等比數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 定義 an-an-1=常數(shù)(n≥2) =常數(shù)(n≥2) 通項公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1(q≠0) 判定方法 (1)定義法 (2)中項公式法:2an+1=an+ an+2(n≥1)?{an}為等差數(shù)列 (3)通項公式法:an=p

2、n+q(p、q為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列 (4)前n項和公式法:Sn=An2+Bn(A、B為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列 (5){an}為等比數(shù)列,an>0?{logaan}為等差數(shù)列 (1)定義法 (2)中項公式法:a=an· an+2(n≥1)(an≠0)? {an}為等比數(shù)列 (3)通項公式法: an=c·qn(c、q均是不為0的常數(shù),n∈N*)?{an}為等比數(shù)列 (4){an}為等差數(shù)列?{aan}為等比數(shù)列(a>0且a≠1) 性質(zhì) (1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq (2)an=am+(n-m)d (3)Sm,S2m-S

3、m,S3m-S2m,…,仍成等差數(shù)列 (1)若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am·an=ap·aq (2)an=amqn-m (3)等比數(shù)列依次每n項和(Sn≠0)仍成等比數(shù)列 前n項和 Sn==na1+d (1)q≠1,Sn== (2)q=1,Sn=na1 熱點一 等差數(shù)列 例1 (1)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a2+a4+a6=12,則S7的值是(  ) A.21 B.24 C.28 D.7 (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若-1

4、2a4建立S7和已知條件的聯(lián)系;(2)將a3,a6的范圍整體代入. 答案 (1)C (2)(-3,21) 解析 (1)由題意可知,a2+a6=2a4,則3a4=12,a4=4,所以S7==7a4=28. (2)S9=9a1+36d=3(a1+2d)+6(a1+5d) 又-1

5、S2m,…,仍成等差數(shù)列; ③am-an=(m-n)d?d=(m,n∈N*); ④=(A2n-1,B2n-1分別為{an},{bn}的前2n-1項的和). (3)等差數(shù)列前n項和的問題可以利用函數(shù)的性質(zhì)或者轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的項,利用性質(zhì)解決.  (1)已知等差數(shù)列{an}中,a7+a9=16,S11=,則a12的值是(  ) A.15 B.30 C.31 D.64 (2)在等差數(shù)列{an}中,a5<0,a6>0且a6>|a5|,Sn是數(shù)列的前n項的和,則下列說法正確的是(  ) A.S1,S2,S3均小于0,S4,S5,S6…均大于0 B.S1,S2,…S5均小于0,S

6、6,S7,…均大于0 C.S1,S2,…S9均小于0,S10,S11…均大于0 D.S1,S2,…S11均小于0,S12,S13…均大于0 答案 (1)A (2)C 解析 (1)因為a8是a7,a9的等差中項,所以2a8=a7+a9=16?a8=8,再由等差數(shù)列前n項和的計算公式可得S11===11a6,又因為S11=,所以a6=,則d==,所以a12=a8+4d=15,故選A. (2)由題意可知a6+a5>0,故 S10==>0, 而S9===9a5<0,故選C. 熱點二 等比數(shù)列 例2 (1)(2014·安徽)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比

7、為q的等比數(shù)列,則q=_____________________. (2)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1+a3=,a2+a4=,則等于(  ) A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1 思維啟迪 (1)列方程求出d,代入q即可;(2)求出a1,q,代入化簡. 答案 (1)1 (2)D 解析 (1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則a3=a1+2d, a5=a1+4d, ∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1, ∴q===1. (2)∵∴ 由①②可得=2,∴q=,代入①得a1=2, ∴an=2×()n-1=, ∴S

8、n==4(1-), ∴==2n-1,故選D. 思維升華 (1){an}為等比數(shù)列,其性質(zhì)如下: ①若m、n、r、s∈N*,且m+n=r+s,則am·an=ar·as; ②an=amqn-m; ③Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列(q≠-1). (2)等比數(shù)列前n項和公式 Sn= ①能“知三求二”;②注意討論公比q是否為1;③a1≠0.  (1)已知各項不為0的等差數(shù)列{an}滿足a4-2a+3a8=0,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b7=a7,則b2b8b11等于(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 (2)在等比數(shù)列{an}中,a1+an=34,a2·

9、an-1=64,且前n項和Sn=62,則項數(shù)n等于(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 (1)D (2)B 解析 (1)∵a4-2a+3a8=0,∴2a=a4+3a8,即2a=4a7,∴a7=2,∴b7=2,又∵b2b8b11=b1qb1q7b1q10=bq18=(b7)3=8,故選D. (2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a2an-1=a1an=64,又a1+an=34,解得a1=2,an=32或a1=32,an=2.當(dāng)a1=2,an=32時,Sn====62,解得q=2.又an=a1qn-1,所以2×2n-1=2n=32,解得n=5.同理,當(dāng)a1=32,an=

10、2時,由Sn=62,解得q=.由an=a1qn-1=32×()n-1=2,得()n-1==()4,即n-1=4,n=5.綜上,項數(shù)n等于5,故選B. 熱點三 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 例3 已知等差數(shù)列{an}的公差為-1,且a2+a7+a12=-6. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn; (2)將數(shù)列{an}的前4項抽去其中一項后,剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項,記{bn}的前n項和為Tn,若存在m∈N*,使對任意n∈N*,總有Sn

11、題通過分離法轉(zhuǎn)化為最值. 解 (1)由a2+a7+a12=-6得a7=-2,∴a1=4, ∴an=5-n,從而Sn=. (2)由題意知b1=4,b2=2,b3=1, 設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q, 則q==, ∴Tm==8[1-()m], ∵()m隨m增加而遞減, ∴{Tm}為遞增數(shù)列,得4≤Tm<8. 又Sn==-(n2-9n) =-[(n-)2-], 故(Sn)max=S4=S5=10, 若存在m∈N*,使對任意n∈N*總有Sn6.即實數(shù)λ的取值范圍為(6,+∞). 思維升華 等差(比)數(shù)列的綜合問題的常見類型及解法 (1)

12、等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題,常用“基本量法”求解,但有時靈活地運用性質(zhì),可使運算簡便. (2)等差數(shù)列、等比數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等的交匯問題,求解時用等差(比)數(shù)列的相關(guān)知識,將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)、方程、不等式等問題求解即可.  已知數(shù)列{an}前n項和為Sn,首項為a1,且,an,Sn成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)數(shù)列{bn}滿足bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3),求證:+++…+<. (1)解 ∵,an,Sn成等差數(shù)列,∴2an=Sn+, 當(dāng)n=1時,2a1=S1+,∴a1=, 當(dāng)n≥2時,Sn=2an-,Sn-1=2an-1

13、-, 兩式相減得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, ∴=2, ∴數(shù)列{an}是首項為,公比為2的等比數(shù)列, ∴an=×2n-1=2n-2. (2)證明 bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3)=log222n+1-2×log222n+3-2=(2n-1)(2n+1), =×=(-), +++…+=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)<(n∈N*). 即+++…+<. 1.在等差(比)數(shù)列中,a1,d(q),n,an,Sn五個量中知道其中任意三個,就可以求出其他兩個.解這類問題時,一般是轉(zhuǎn)化為首項a1和公差d(公比q)這兩個基本量的有關(guān)運算. 2

14、.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn),是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具,應(yīng)有意識地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件,有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形. 3.等差、等比數(shù)列的單調(diào)性 (1)等差數(shù)列的單調(diào)性 d>0?{an}為遞增數(shù)列,Sn有最小值. d<0?{an}為遞減數(shù)列,Sn有最大值. d=0?{an}為常數(shù)列. (2)等比數(shù)列的單調(diào)性 當(dāng)或時,{an}為遞增數(shù)列,當(dāng)或時,{an}為遞減數(shù)列. 4.常用結(jié)論 (1)若{an},{bn}均是等差數(shù)列,Sn是{an}的前n項和,則{man+kbn},{}仍為等差數(shù)列,其中m,k為常數(shù). (2)若{an}

15、,{bn}均是等比數(shù)列,則{can}(c≠0),{|an|},{an·bn},{manbn}(m為常數(shù)),{a},{}仍為等比數(shù)列. (3)公比不為1的等比數(shù)列,其相鄰兩項的差也依次成等比數(shù)列,且公比不變,即a2-a1,a3-a2,a4-a3,…,成等比數(shù)列,且公比為==q. (4)等比數(shù)列(q≠-1)中連續(xù)k項的和成等比數(shù)列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,成等比數(shù)列,其公差為qk. 等差數(shù)列中連續(xù)k項的和成等差數(shù)列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,成等差數(shù)列,公差為k2d. 5.易錯提醒 (1)應(yīng)用關(guān)系式an=時,一定要注意分n=1,n≥2兩種情況,在求出結(jié)果

16、后,看看這兩種情況能否整合在一起. (2)三個數(shù)a,b,c成等差數(shù)列的充要條件是b=,但三個數(shù)a,b,c成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac. 真題感悟 1.(2014·大綱全國)等比數(shù)列{an}中,a4=2,a5=5,則數(shù)列{lg an}的前8項和等于(  ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案 C 解析 數(shù)列{lg an}的前8項和S8=lg a1+lg a2+…+lg a8=lg(a1·a2·…·a8)=lg(a1·a8)4 =lg(a4·a5)4=lg(2×5)4=4. 2.(2014·北京)若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當(dāng)n=

17、________時,{an}的前n項和最大. 答案 8 解析 ∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0. ∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<-a8<0. ∴數(shù)列的前8項和最大,即n=8. 押題精練 1.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則下列一定成立的是(  ) A.若a3>0,則a2 013<0 B.若a4>0,則a2 014<0 C.若a3>0,則a2 013>0 D.若a4>0,則a2 014>0 答案 C 解析 因為a3=a1q2,a2 013=a1q2 012,而q2與q2 012均為正數(shù),若a3>0,則a1>0,所以a2 013>0,故選C.

18、2.已知數(shù)列{an}是首項為a,公差為1的等差數(shù)列,bn=.若對任意的n∈N*,都有bn≥b8成立,則實數(shù)a的取值范圍為________. 答案 (-8,-7) 解析 an=a+(n-1)×1=n+a-1,所以bn==,因為對任意的n∈N*,都有bn≥b8成立,即≥(n∈N*)恒成立,即≤0(n∈N*),則有解得-8

19、n-6恒成立,求實數(shù)k的取值范圍. 解 (1)當(dāng)n≥2時,由題設(shè)知4Sn-1=a-4(n-1)-1, ∴4an=4Sn-4Sn-1=a-a-4, ∴a=a+4an+4=(an+2)2, ∵an>0,∴an+1=an+2. ∴當(dāng)n≥2時,{an}是公差d=2的等差數(shù)列. ∵a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列, ∴a=a2·a14,(a2+6)2=a2·(a2+24),解得a2=3, 由條件可知,4a1=a-5=4,∴a1=1, ∵a2-a1=3-1=2, ∴{an}是首項a1=1,公差d=2的等差數(shù)列. ∴等差數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1. ∵等比數(shù)列{bn}的公比

20、q===3, ∴等比數(shù)列{bn}的通項公式為bn=3n. (2)Tn===, ∴(+)k≥3n-6對任意的n∈N*恒成立, ∴k≥對任意的n∈N*恒成立, 令cn=,cn-cn-1=-=, 當(dāng)n≤3時,cn>cn-1; 當(dāng)n≥4時,cn

21、列{an}的前n項和為Sn,若2a6=6+a7,則S9的值是(  ) A.27 B.36 C.45 D.54 答案 D 解析 由2a6=6+a7得a5=6,所以S9=9a5=54.故選D. 3.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,則m等于(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C 解析 由已知得,Sm-Sm-1=am=-16,Sm+1-Sm=am+1=32,故公比q=-2,又Sm==-11,故a1=-1,又am=a1·qm-1=-16,代入可求得m=5. 4.?dāng)?shù)列{an}的首項為3,{bn}為等差數(shù)列且b

22、n=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b10=12,則a8等于(  ) A.0 B.3 C.8 D.11 答案 B 解析 ∵{bn}為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d, 由b3=-2,b10=12, ∴7d=b10-b3=12-(-2)=14,∴d=2, ∵b3=-2,∴b1=b3-2d=-2-4=-6, ∴b1+b2+…+b7=7b1+·d =7×(-6)+21×2=0, 又b1+b2+…+b7=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=a8-a1=a8-3, ∴a8-3=0,a8=3.故選B. 5.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=2,an=,其前n項積為Tn,則T

23、2 014等于(  ) A. B.- C.6 D.-6 答案 D 解析 由an=得an+1=,而a1=2,所以a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,則數(shù)列是以4為周期,且a1a2a3a4=1,所以T2 014=(a1a2a3a4)503a1a2=1503×2×(-3)=-6,故選D. 6.已知{an}是等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若S21=S4 000,O為坐標(biāo)原點,點P(1,an), Q(2 011,a2 011),則·等于(  ) A.2 011 B.-2 011 C.0 D.1 答案 A 解析 由S21=S4 000得a22+a23+…+a4 000=0

24、, 由于a22+a4 000=a23+a3 999=…=2a2 011, 所以a22+a23+…+a4 000=3 979a2 011=0, 從而a2 011=0,而·=2 011+a2 011an=2 011. 二、填空題 7.在等比數(shù)列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,則a9+a11+a13+a15=________. 答案 3 解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 由已知,得解得q4=. 又a9+a11=a1q8+a3q8=(a1+a3)q8=8×()2=2, a13+a15=a1q12+a3q12=(a1+a3)q12=8×()3=1, 所以a9+a

25、11+a13+a15=2+1=3. 8.(2014·廣東)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+…+ln a20=______. 答案 50 解析 因為a10a11+a9a12=2a10a11=2e5, 所以a10a11=e5. 所以ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20) =ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10ln e5=50ln e=50. 9.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=-11,a4+a6=-6

26、,則當(dāng)Sn取最小值時,n=________. 答案 6 解析 設(shè)等差數(shù)列的公差為d, 則由a4+a6=-6得2a5=-6,∴a5=-3. 又∵a1=-11,∴-3=-11+4d,∴d=2, ∴Sn=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36, 故當(dāng)n=6時,Sn取最小值. 10.已知數(shù)列{an}的首項為a1=2,且an+1=(a1+a2+…+an) (n∈N*),記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則Sn=________,an=________. 答案 2×n-1  解析 由an+1=(a1+a2+…+an) (n∈N*),可得an+1=Sn,所以Sn+1-Sn=Sn,即

27、Sn+1=Sn,由此可知數(shù)列{Sn}是一個等比數(shù)列,其中首項S1=a1=2,公比為,所以Sn=2×n-1, 由此得an= 三、解答題 11.成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式; (2)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求證:數(shù)列{Sn+}是等比數(shù)列. (1)解 設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a-d,a,a+d. 依題意,得a-d+a+a+d=15. 解得a=5. 所以{bn}中的b3,b4,b5依次為7-d,10,18+d. 依題意,有(7-d)(18+d)=100, 解

28、得d=2或d=-13(舍去). 故{bn}的第3項為5,公比為2. 由b3=b1·22,即5=b1·22, 解得b1=. 所以bn=b1·qn-1=·2n-1=5·2n-3, 即數(shù)列{bn}的通項公式bn=5·2n-3. (2)證明 由(1)得數(shù)列{bn}的前n項和 Sn==5·2n-2-, 即Sn+=5·2n-2. 所以S1+=,==2. 因此{(lán)Sn+}是以為首項,2為公比的等比數(shù)列. 12.若數(shù)列{bn}對于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數(shù)),則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列,如數(shù)列{cn},若cn=則數(shù)列{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列{an}滿足

29、a1=a,對于n∈N*,都有an+an+1=2n. (1)求證:{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列; (2)求{an}的通項公式及前20項和S20. (1)證明 ∵an+1+an=2n,① ∴an+2+an+1=2n+2.② 由②-①得an+2-an=2(n∈N*), ∴{an}是公差為2的準(zhǔn)等差數(shù)列. (2)解 已知a1=a,an+1+an=2n(n∈N*), ∴a1+a2=2,即a2=2-a. ∴由(1)可知a1,a3,a5,…,成以a為首項,2為公差的等差數(shù)列,a2,a4,a6,…,成以2-a為首項,2為公差的等差數(shù)列. ∴當(dāng)n為偶數(shù)時,an=2-a+(-1)×2=n-a, 當(dāng)n

30、為奇數(shù)時,an=a+(-1)×2=n+a-1, ∴an= S20=a1+a2+…+a19+a20 =(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20) =2×1+2×3+…+2×19=2×=200. 13.(2013·湖北)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,S4,S2,S3成等差數(shù)列,且a2+a3+a4=-18. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)是否存在正整數(shù)n,使得Sn≥2 013?若存在,求出符合條件的所有n的集合;若不存在,說明理由. 解 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 則a1≠0,q≠0.由題意得 即 解得 故數(shù)列{an}的通項公式為an=3×(-2)n-1. (2)由(1)有Sn==1-(-2)n. 假設(shè)存在n,使得Sn≥2 013, 則1-(-2)n≥2 013,即(-2)n≤-2 012. 當(dāng)n為偶數(shù)時,(-2)n>0,上式不成立; 當(dāng)n為奇數(shù)時,(-2)n=-2n≤-2 012, 即2n≥2 012,得n≥11. 綜上,存在符合條件的正整數(shù)n,且所有這樣的n的集合為{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.

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