5、<0，sin x＋cos x＝.
(1)求sin2x－cos2x的值；
(2)求的值．
變式遷移1 已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值．
(1)；(2)sin2α＋sin 2α.
探究點(diǎn)二 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、求值
例2 (2011·合肥模擬)已知sin＝－，α∈(0，π)．
(1)求的值；
(2)求cos的值．
變式遷移2 設(shè)f(α)＝
(1＋2sin α≠0)，則f＝________.
探究點(diǎn)三 綜合應(yīng)用
例3 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△A
6、BC的三個(gè)內(nèi)角．
變式遷移3 (2011·安陽(yáng)模擬)已知△ABC中，sin A＋cos A＝，
(1)求sin A·cos A；
(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；
(3)求tan A的值．
轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例 (12分)已知α是三角形的內(nèi)角，且sin α＋cos α＝.
(1)求tan α的值；
(2)把用tan α表示出來(lái)，并求其值．
多角度審題 由sin α＋cos α＝應(yīng)聯(lián)想到隱含條件sin2α＋cos2α＝1，要求tan α，應(yīng)當(dāng)切化弦，所以只要求出sin α，cos α即可．
【答題模板】
解 (1)聯(lián)立方
7、程
由①得cos α＝－sin α，將其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.[2分]
∵α是三角形的內(nèi)角，∴，[4分]
∴tan α＝－.[6分]
(2)＝＝＝，[8分]
∵tan α＝－，∴＝[10分]
＝＝－.[12分]
【突破思維障礙】
由sin α＋cos α＝及sin2α＋cos2α＝1聯(lián)立方程組，利用角α的范圍，應(yīng)先求sin α再求cos α.(1)問(wèn)切化弦即可求．(2)問(wèn)應(yīng)弦化切，這時(shí)應(yīng)注意“1”的活用．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
在求解sin α，cos α的過(guò)程中，若消去cos α得到關(guān)于sin α的方程，則求得兩解，然后應(yīng)根據(jù)α角的范圍舍去一個(gè)解
8、，若不注意，則誤認(rèn)為有兩解．
1．由一個(gè)角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意討論角的范圍．
2．注意公式的變形使用，弦切互換、三角代換、消元是三角代換的重要思想，要盡量少開(kāi)方運(yùn)算，慎重確定符號(hào)．注意“1”的靈活代換．
3．應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱(chēng)”與“正負(fù)號(hào)”的正確判斷．
(滿(mǎn)分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011·荊州模擬)已知△ABC中，＝－，則cos A等于 ( )
A. B.
C．－ D．－
2．已知tan α＝－，且α為第二象限角，則sin α的值等于
9、 ( )
A. B．－
C. D．－
3．(2011·許昌月考)已知f(α)＝，則f(－π)的值為 ( )
A. B．－ C．－ D.
4．設(shè)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零實(shí)數(shù)，若f(2 002)＝－1，則f(2 003)等于 ( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．(2010·全國(guó)Ⅰ
10、)記cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于 ( )
A. B．－
C. D．－
題號(hào)
1
2
3
4
5
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010·全國(guó)Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan α＝－，則cos α＝________.
7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
8．(2010·東北育才學(xué)校高三第一次模擬考試)若tan α＝2，則＋cos2α＝________.
三、解答題(共38分)
9．(12
11、分)已知f(α)＝.
(1)化簡(jiǎn)f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．
10．(12分)化簡(jiǎn)： (k∈Z)．
11．(14分)(2011·秦皇島模擬)已知sin θ，cos θ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個(gè)根．
(1)求cos3(－θ)＋sin3(－θ)的值；
(2)求tan(π－θ)－的值．
答案 自主梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1 (2)＝tan α 2.(1)sin α cos α tan α (2)－sin α?。璫os α tan α (3)－sin α c
12、os α?。璽an α (4)sin α －cos α?。璽an α (5)cos α sin α (6)cos α?。璼in α
自我檢測(cè)
1．C [cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝.]
2．A [∵3sin α＋cos α＝0，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝，
∴＝
＝＝.]
3．B
4．A [cos(－π)－sin(－π)＝cos(－4π－)－sin(－4π－)＝cos(－)－sin(－)＝cos＋sin＝.]
5．－
解析 sin(α－)＝－sin(－α)
＝－sin[(－α)＋]
＝－cos(－α)＝－.
課堂活
13、動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 學(xué)會(huì)利用方程思想解三角函數(shù)題，對(duì)于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意對(duì)符號(hào)的判斷．
解 由sin x＋cos x＝得，
1＋2sin xcos x＝，則2sin xcos x＝－.
∵－0，
即sin x－cos x<0.
則sin x－cos x
＝－
＝－＝－.
(1)sin2x－cos2x＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)
＝×＝－.
(2)由，
得，則tan x＝－.
即＝＝.
14、變式遷移1 解 ∵sin(3π＋α)＝2sin，
∴－sin α＝－2cos α.
∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.
方法一 (直接代入法)：
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝＝＝.
方法二 (同除轉(zhuǎn)化法)：
(1)原式＝＝＝－.
(2)原式＝sin2α＋2sin αcos α
＝＝＝.
例2 解題導(dǎo)引 三角誘導(dǎo)公式記憶有一定規(guī)律：的本質(zhì)是：奇變偶不變(對(duì)k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù))，符號(hào)看象限(看原函數(shù)，同時(shí)可把α看成是銳角)．誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：(1)負(fù)角變正角，再寫(xiě)成2kπ＋α，0≤α<2π；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)．
解
15、(1)∵sin＝－，α∈(0，π)，
∴cos α＝－，sin α＝.
∴＝＝－.
(2)∵cos α＝－，sin α＝，
∴sin 2α＝－，cos 2α＝－，
cos＝－cos 2α＋sin 2α＝－.
變式遷移2
解析 ∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝
＝＝＝.
例3 解題導(dǎo)引 先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知條件，再利用平方關(guān)系求得cos A．求角時(shí)，一般先求出該角的某一三角函數(shù)值，再確定該角的范圍，最后求角．誘導(dǎo)公式在三角形中常用結(jié)論有：A＋B＝π－C；＋＋＝.
解 由已知得
①2＋②2得2cos2A＝1，即cos A＝±.
(1)當(dāng)cos A＝時(shí)，cos B＝，
16、
又A、B是三角形的內(nèi)角，
∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π.
(2)當(dāng)cos A＝－時(shí)，cos B＝－.
又A、B是三角形的內(nèi)角，
∴A＝π，B＝π，不合題意．
綜上知，A＝，B＝，C＝π.
變式遷移3 解 (1)∵sin A＋cos A＝，①
∴兩邊平方得1＋2sin Acos A＝，
∴sin A·cos A＝－.
(2)由(1)sin A·cos A＝－<0，且00，cos A<0，∴sin A－c
17、os A>0，
∴sin A－cos A＝，②
∴由①，②得sin A＝，cos A＝－，
∴tan A＝＝－.
課后練習(xí)區(qū)
1．D [∵A為△ABC中的角，＝－，
∴sin A＝－cos A，A為鈍角，∴cos A<0.
代入sin2A＋cos2A＝1，求得cos A＝－.]
2．C [已知tan α＝－，且α為第二象限角，
有cos α＝－＝－，所以sin α＝.]
3．C [∵f(α)＝＝－cos α，∴f(－π)
＝－cos(－π)＝－cos(10π＋)＝－cos＝－.]
4．C [∵f(2 002)＝asin(2 002π＋α)＋bcos(2 002π＋β)
18、
＝asin α＋bcos β＝－1，
∴f(2 003)＝asin(2 003π＋α)＋bcos(2 003π＋β)
＝asin[2 002π＋(π＋α)]＋bcos[2 002π＋(π＋β)]
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asin α＋bcos β)＝1.]
5．B [∵cos(－80°)＝cos 80°＝k，
sin 80°＝＝.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.]
6．－
解析 ∵tan α＝－，∴＝－，
又∵sin2α＋cos2α＝1，α是第二象限的角，
∴cos α＝－.
7.
解析 sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋
19、sin289°
＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋
sin2(90°－1°)
＝sin21°＋sin22°＋…＋2＋…＋cos22°＋cos21°
＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋＝44＋＝.
8.
解析 原式＝＋
＝3＋＝3＋＝.
9．解 (1)f(α)＝
＝＝－cos α.…………………………………………………………(5分)
(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sin α＝，
∴sin α＝－，………………………………………………………………
20、……………(8分)
∴cos α＝－＝－＝－，
∴f(α)＝－cos α＝.…………………………………………………………………(12分)
10．解 當(dāng)k為偶數(shù)2n (n∈Z)時(shí)，
原式＝
＝
＝＝＝－1；……………………………………………………(6分)
當(dāng)k為奇數(shù)2n＋1 (n∈Z)時(shí)，
原式＝
＝＝＝－1.
∴當(dāng)k∈Z時(shí)，原式＝－1.………………………………………………………………(12分)
11．解 由已知原方程的判別式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分)
又，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，則a2－2a－1＝0，(6分)
從而a＝1－或a＝1＋(舍去)，
因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－.…………………………………………………(8分)
(1)cos3(－θ)＋sin3(－θ)＝sin3θ＋cos3θ
＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(1－)[1－(1－)]＝－2.………(11分)
(2)tan(π－θ)－＝－tan θ－
＝－(＋)＝－＝－＝1＋.
……………………………………………………………………………………………(14分)
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