2018中考數(shù)學試題分類匯編 考點22 勾股定理(含解析)

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1、 2018中考數(shù)學試題分類匯編:考點22 勾股定理  一.選擇題(共7小題) 1.(2018?濱州)在直角三角形中,若勾為3,股為4,則弦為( ?。? A.5 B.6 C.7 D.8 【分析】直接根據(jù)勾股定理求解即可. 【解答】解:∵在直角三角形中,勾為3,股為4, ∴弦為=5. 故選:A.   2.(2018?棗莊)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,AF平分∠CAB,交CD于點E,交CB于點F.若AC=3,AB=5,則CE的長為( ?。? A. B. C. D. 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°,∠FAD+∠A

2、ED=90°,根據(jù)角平分線和對頂角相等得出∠CEF=∠CFE,即可得出EC=FC,再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案. 【解答】解:過點F作FG⊥AB于點G, ∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠CDA=90°, ∴∠CAF+∠CFA=90°,∠FAD+∠AED=90°, ∵AF平分∠CAB, ∴∠CAF=∠FAD, ∴∠CFA=∠AED=∠CEF, ∴CE=CF, ∵AF平分∠CAB,∠ACF=∠AGF=90°, ∴FC=FG, ∵∠B=∠B,∠FGB=∠ACB=90°, ∴△BFG∽△BAC, ∴=, ∵AC=3,AB=5,∠ACB=90°, ∴BC=4,

3、 ∴=, ∵FC=FG, ∴=, 解得:FC=, 即CE的長為. 故選:A.   3.(2018?瀘州)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理,是我國古代數(shù)學的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形.設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b.若ab=8,大正方形的面積為25,則小正方形的邊長為(  ) A.9 B.6 C.4 D.3 【分析】由題意可知:中間小正方形的邊長為:a﹣b,根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長. 【解答】解:由題意可知:中間小正方形的邊長為:a﹣b, ∵每一個

4、直角三角形的面積為: ab=×8=4, ∴4×ab+(a﹣b)2=25, ∴(a﹣b)2=25﹣16=9, ∴a﹣b=3, 故選:D.   4.(2018?溫州)我國古代偉大的數(shù)學家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形,得到一個恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理,如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成,若a=3,b=4,則該矩形的面積為(  ) A.20 B.24 C. D. 【分析】欲求矩形的面積,則求出小正方形的邊長即可,由此可設(shè)小正方形的邊長為x,在直角三角形ACB中,利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程,解方程求出x

5、的值,進而可求出該矩形的面積. 【解答】解:設(shè)小正方形的邊長為x, ∵a=3,b=4, ∴AB=3+4=7, 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2, 即(3+x)2+(x+4)2=72, 整理得,x2+7x﹣12=0, 解得x=或x=(舍去), ∴該矩形的面積=(+3)(+4)=24, 故選:B.   5.(2018?婁底)如圖,由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169,小正方形的面積為49,則sinα﹣cosα=(  ) A. B.﹣ C. D.﹣ 【分析】分別求出大正方形和小正方形的邊長,再利用勾股定理列式求出AC,然后根據(jù)正弦和余弦的定義即

6、可求sinα和cosα的值,進而可求出sinα﹣cosα的值. 【解答】解:∵小正方形面積為49,大正方形面積為169, ∴小正方形的邊長是7,大正方形的邊長是13, 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2, 即AC2+(7+AC)2=132, 整理得,AC2+7AC﹣60=0, 解得AC=5,AC=﹣12(舍去), ∴BC==12, ∴sinα==,cosα==, ∴sinα﹣cosα=﹣=﹣, 故選:D.   6.(2018?長沙)我國南宋著名數(shù)學家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題:“問有沙田一塊,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知為

7、田幾何?”這道題講的是:有一塊三角形沙田,三條邊長分別為5里,12里,13里,問這塊沙田面積有多大?題中“里”是我國市制長度單位,1里=500米,則該沙田的面積為(  ) A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米 【分析】直接利用勾股定理的逆定理進而結(jié)合直角三角形面積求法得出答案. 【解答】解:∵52+122=132, ∴三條邊長分別為5里,12里,13里,構(gòu)成了直角三角形, ∴這塊沙田面積為:×5×500×12×500=7500000(平方米)=7.5(平方千米). 故選:A.   7.(2018?東營)如圖所示,圓柱的高AB=3,底面直徑B

8、C=3,現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對角C處捕食,則它爬行的最短距離是(  ) A. B. C. D. 【分析】要求最短路徑,首先要把圓柱的側(cè)面展開,利用兩點之間線段最短,然后利用勾股定理即可求解. 【解答】解:把圓柱側(cè)面展開,展開圖如右圖所示,點A、C的最短距離為線段AC的長. 在Rt△ADC中,∠ADC=90°,CD=AB=3,AD為底面半圓弧長,AD=1.5π, 所以AC=, 故選:C.   二.填空題(共8小題) 8.(2018?吉林)如圖,在平面直角坐標系中,A(4,0),B(0,3),以點A為圓心,AB長為半徑畫弧,交x軸的負半軸于點C,則點C坐

9、標為?。ī?,0)?。? 【分析】求出OA、OB,根據(jù)勾股定理求出AB,即可得出AC,求出OC長即可. 【解答】解:∵點A,B的坐標分別為(4,0),(0,3), ∴OA=4,OB=3, 在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB==5, ∴AC=AB=5, ∴OC=5﹣4=1, ∴點C的坐標為(﹣1,0), 故答案為:(﹣1,0),   9.(2018?玉林)如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,則AD的取值范圍是 2<AD<8 . 【分析】如圖,延長BC交AD的延長線于E,作BF⊥AD于F.解直角三角形求出AE、AF即可判斷; 【解答

10、】解:如圖,延長BC交AD的延長線于E,作BF⊥AD于F. 在Rt△ABE中,∵∠E=30°,AB=4, ∴AE=2AB=8, 在Rt△ABF中,AF=AB=2, ∴AD的取值范圍為2<AD<8, 故答案為2<AD<8.   10.(2018?襄陽)已知CD是△ABC的邊AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,則BC的長為 2或2?。? 【分析】分兩種情況: ①當△ABC是銳角三角形,如圖1, ②當△ABC是鈍角三角形,如圖2, 分別根據(jù)勾股定理計算AC和BC即可. 【解答】解:分兩種情況: ①當△ABC是銳角三角形,如圖1, ∵CD⊥AB, ∴∠CDA=

11、90°, ∵CD=,AD=1, ∴AC=2, ∵AB=2AC, ∴AB=4, ∴BD=4﹣1=3, ∴BC===2; ②當△ABC是鈍角三角形,如圖2, 同理得:AC=2,AB=4, ∴BC===2; 綜上所述,BC的長為2或2. 故答案為:2或2.   11.(2018?鹽城)如圖,在直角△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,P、Q分別為邊BC、AB上的兩個動點,若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形,則AQ= 或?。? 【分析】分兩種情形分別求解:①如圖1中,當AQ=PQ,∠QPB=90°時,②當AQ=PQ,∠PQB=90°時; 【

12、解答】解:①如圖1中,當AQ=PQ,∠QPB=90°時,設(shè)AQ=PQ=x, ∵PQ∥AC, ∴△BPQ∽△BCA, ∴=, ∴=, ∴x=, ∴AQ=. ②當AQ=PQ,∠PQB=90°時,設(shè)AQ=PQ=y. ∵△BQP∽△BCA, ∴=, ∴=, ∴y=. 綜上所述,滿足條件的AQ的值為或.   12.(2018?黔南州)如圖,已知在△ABC中,BC邊上的高AD與AC邊上的高BE交于點F,且∠BAC=45°,BD=6,CD=4,則△ABC的面積為 60 . 【分析】首先證明△AEF≌△BEC,推出AF=BC=10,設(shè)DF=x.由△ADC∽△BDF,推出=

13、,構(gòu)建方程求出x即可解決問題; 【解答】解:∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°, ∵∠BAC=45°, ∴AE=EB, ∵∠EAF+∠C=90°,∠CBE+∠C=90°, ∴∠EAF=∠CBE, ∴△AEF≌△BEC, ∴AF=BC=10,設(shè)DF=x. ∵△ADC∽△BDF, ∴=, ∴=, 整理得x2+10x﹣24=0, 解得x=2或﹣12(舍棄), ∴AD=AF+DF=12, ∴S△ABC=?BC?AD=×10×12=60. 故答案為60.   13.(2018?濱州)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點E、F分別在

14、BC、CD上,若AE=,∠EAF=45°,則AF的長為  . 【分析】取AB的中點M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x,則NF=x,再利用矩形的性質(zhì)和已知條件證明△AME∽△FNA,利用相似三角形的性質(zhì):對應(yīng)邊的比值相等可求出x的值,在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長. 【解答】解:取AB的中點M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x, ∵四邊形ABCD是矩形, ∴∠D=∠BAD=∠B=90°,AD=BC=4, ∴NF=x,AN=4﹣x, ∵AB=2, ∴AM=BM=1, ∵AE=,AB=2, ∴BE=1, ∴ME==,

15、∵∠EAF=45°, ∴∠MAE+∠NAF=45°, ∵∠MAE+∠AEM=45°, ∴∠MEA=∠NAF, ∴△AME∽△FNA, ∴, ∴, 解得:x=, ∴AF==. 故答案為:.   14.(2018?湘潭)《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學著作之一,在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折者高幾何?”翻譯成數(shù)學問題是:如圖所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的長,如果設(shè)AC=x,則可列方程為 x2+32=(10﹣x)2 . 【分析】設(shè)AC=x,可知AB=10﹣x,再根據(jù)勾股定理

16、即可得出結(jié)論. 【解答】解:設(shè)AC=x, ∵AC+AB=10, ∴AB=10﹣x. ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10﹣x)2. 故答案為:x2+32=(10﹣x)2.   15.(2018?黃岡)如圖,圓柱形玻璃杯高為14cm,底面周長為32cm,在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處,則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為 20 cm(杯壁厚度不計). 【分析】將杯子側(cè)面展開,建立A關(guān)于EF的對稱點A′,根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求. 【解

17、答】解:如圖: 將杯子側(cè)面展開,作A關(guān)于EF的對稱點A′, 連接A′B,則A′B即為最短距離,A′B===20(cm). 故答案為20.   三.解答題(共2小題) 16.(2018?杭州)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,交線段AB于點D;以點A為圓心,AD長為半徑畫弧,交線段AC于點E,連結(jié)CD. (1)若∠A=28°,求∠ACD的度數(shù). (2)設(shè)BC=a,AC=b. ①線段AD的長是方程x2+2ax﹣b2=0的一個根嗎?說明理由. ②若AD=EC,求的值. 【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求

18、出∠BCD,計算即可; (2)①根據(jù)勾股定理求出AD,利用求根公式解方程,比較即可; ②根據(jù)勾股定理列出算式,計算即可. 【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,∠A=28°, ∴∠B=62°, ∵BD=BC, ∴∠BCD=∠BDC=59°, ∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°; (2)①由勾股定理得,AB==, ∴AD=﹣a, 解方程x2+2ax﹣b2=0得,x==﹣a, ∴線段AD的長是方程x2+2ax﹣b2=0的一個根; ②∵AD=AE, ∴AE=EC=, 由勾股定理得,a2+b2=(b+a)2, 整理得, =.   17.(2018?臺灣)嘉嘉參加機器

19、人設(shè)計活動,需操控機器人在5×5的方格棋盤上從A點行走至B點,且每個小方格皆為正方形,主辦單位規(guī)定了三條行走路徑R1,R2,R3,其行經(jīng)位置如圖與表所示: 路徑 編號 圖例 行徑位置 第一條路徑 R1 _ A→C→D→B 第二條路徑 R2 … A→E→D→F→B 第三條路徑 R3 ▂ A→G→B 已知A、B、C、D、E、F、G七點皆落在格線的交點上,且兩點之間的路徑皆為直線,在無法使用任何工具測量的條件下,請判斷R1、R2、R3這三條路徑中,最長與最短的路徑分別為何?請寫出你的答案,并完整說明理由. 【分析】利用勾股定理分別計算出三條路徑的長,比較大小即可得. 【解答】解:第一條路徑的長度為++=2+, 第二條路徑的長度為++1+=+++1, 第三條路徑的長度為+=2+, ∵2+<2+<+++1, ∴最長路徑為A→E→D→F→B;最短路徑為A→G→B.   13

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