2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 考點35 圖形的平移和旋轉(zhuǎn)(含解析)
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1、 2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編:考點35 圖形的平移和旋轉(zhuǎn) 一.選擇題(共4小題) 1.(2018?海南)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC位于第一象限,點A的坐標(biāo)是(4,3),把△ABC向左平移6個單位長度,得到△A1B1C1,則點B1的坐標(biāo)是( ) A.(﹣2,3) B.(3,﹣1) C.(﹣3,1) D.(﹣5,2) 【分析】根據(jù)點的平移的規(guī)律:向左平移a個單位,坐標(biāo)P(x,y)?P(x﹣a,y),據(jù)此求解可得. 【解答】解:∵點B的坐標(biāo)為(3,1), ∴向左平移6個單位后,點B1的坐標(biāo)(﹣3,1), 故選:C. 2.(2018?黃石)如圖,將“笑臉”圖標(biāo)
2、向右平移4個單位,再向下平移2個單位,點P的對應(yīng)點P'的坐標(biāo)是( ?。? A.(﹣1,6) B.(﹣9,6) C.(﹣1,2) D.(﹣9,2) 【分析】根據(jù)平移規(guī)律:橫坐標(biāo),右移加,左移減;縱坐標(biāo),上移加,下移減即可解決問題; 【解答】解:由題意P(﹣5,4),向右平移4個單位,再向下平移2個單位,點P的對應(yīng)點P'的坐標(biāo)是(﹣1,2), 故選:C. 3.(2018?宜賓)如圖,將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面積為9,陰影部分三角形的面積為4.若AA'=1,則A'D等于( ?。? A.2 B.3 C. D. 【分析】由S△ABC
3、=9、S△A′EF=4且AD為BC邊的中線知S△A′DE=S△A′EF=2,S△ABD=S△ABC=,根據(jù)△DA′E∽△DAB知()2=,據(jù)此求解可得. 【解答】解:如圖, ∵S△ABC=9、S△A′EF=4,且AD為BC邊的中線, ∴S△A′DE=S△A′EF=2,S△ABD=S△ABC=, ∵將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△A'B'C', ∴A′E∥AB, ∴△DA′E∽△DAB, 則()2=,即()2=, 解得A′D=2或A′D=﹣(舍), 故選:A. 4.(2018?溫州)如圖,已知一個直角三角板的直角頂點與原點重合,另兩個頂點A,B的坐標(biāo)分別為(
4、﹣1,0),(0,).現(xiàn)將該三角板向右平移使點A與點O重合,得到△OCB′,則點B的對應(yīng)點B′的坐標(biāo)是( ) A.(1,0) B.(,) C.(1,) D.(﹣1,) 【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出平移后坐標(biāo)的特點,進(jìn)而解答即可. 【解答】解:因為點A與點O對應(yīng),點A(﹣1,0),點O(0,0), 所以圖形向右平移1個單位長度, 所以點B的對應(yīng)點B'的坐標(biāo)為(0+1,),即(1,), 故選:C. 二.填空題(共4小題) 5.(2018?長沙)在平面直角坐標(biāo)系中,將點A′(﹣2,3)向右平移3個單位長度,再向下平移2個單位長度,那么平移后對應(yīng)的點A′的坐標(biāo)是?。?,1)
5、. 【分析】直接利用平移的性質(zhì)分別得出平移后點的坐標(biāo)得出答案. 【解答】解:∵將點A′(﹣2,3)向右平移3個單位長度, ∴得到(1,3), ∵再向下平移2個單位長度, ∴平移后對應(yīng)的點A′的坐標(biāo)是:(1,1). 故答案為:(1,1). 6.(2018?宿遷)在平面直角坐標(biāo)系中,將點(3,﹣2)先向右平移2個單位長度,再向上平移3個單位長度,則所得點的坐標(biāo)是?。?,1) . 【分析】直接利用平移的性質(zhì)得出平移后點的坐標(biāo)即可. 【解答】解:∵將點(3,﹣2)先向右平移2個單位長度, ∴得到(5,﹣2), ∵再向上平移3個單位長度, ∴所得點的坐標(biāo)是:(5,1).
6、故答案為:(5,1). 7.(2018?曲靖)如圖:圖象①②③均是以P0為圓心,1個單位長度為半徑的扇形,將圖形①②③分別沿東北,正南,西北方向同時平移,每次移動一個單位長度,第一次移動后圖形①②③的圓心依次為P1P2P3,第二次移動后圖形①②③的圓心依次為P4P5P6…,依次規(guī)律,P0P2018= 673 個單位長度. 【分析】根據(jù)P0P1=1,P0P2=1,P0P3=1;P0P4=2,P0P5=2,P0P6=2;P0P7=3,P0P8=3,P0P9=3;可知每移動一次,圓心離中心的距離增加1個單位,依據(jù)2018=3×672+2,即可得到點P2018在正南方向上,P0P2018
7、=672+1=673. 【解答】解:由圖可得,P0P1=1,P0P2=1,P0P3=1; P0P4=2,P0P5=2,P0P6=2; P0P7=3,P0P8=3,P0P9=3; ∵2018=3×672+2, ∴點P2018在正南方向上, ∴P0P2018=672+1=673, 故答案為:673. 8.(2018?株洲)如圖,O為坐標(biāo)原點,△OAB是等腰直角三角形,∠OAB=90°,點B的坐標(biāo)為(0,2),將該三角形沿x軸向右平移得到Rt△O′A′B′,此時點B′的坐標(biāo)為(2,2),則線段OA在平移過程中掃過部分的圖形面積為 4?。? 【分析】利用平移的性質(zhì)得出AA′的
8、長,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AA′對應(yīng)的高,再結(jié)合平行四邊形面積公式求出即可. 【解答】解:∵點B的坐標(biāo)為(0,2),將該三角形沿x軸向右平移得到Rt△O′A′B′,此時點B′的坐標(biāo)為(2,2), ∴AA′=BB′=2, ∵△OAB是等腰直角三角形, ∴A(,), ∴AA′對應(yīng)的高, ∴線段OA在平移過程中掃過部分的圖形面積為2×=4. 故答案為:4. 三.解答題(共14小題) 9.(2018?棗莊)如圖,在4×4的方格紙中,△ABC的三個頂點都在格點上. (1)在圖1中,畫出一個與△ABC成中心對稱的格點三角形; (2)在圖2中,畫出一個與△ABC成軸對稱且與
9、△ABC有公共邊的格點三角形; (3)在圖3中,畫出△ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的三角形. 【分析】(1)根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可作出圖形; (2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可作出圖形; (3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求出圖形. 【解答】解:(1)如圖所示, △DCE為所求作 (2)如圖所示, △ACD為所求作 (3)如圖所示 △ECD為所求作 10.(2018?吉林)如圖是由邊長為1的小正方形組成的8×4網(wǎng)格,每個小正方形的頂點叫做格點,點A,B,C,D均在格點上,在網(wǎng)格中將點D按下列步驟移動: 第一步:點D繞點A順時針旋轉(zhuǎn)180°得到點D1; 第二步
10、:點D1繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點D2; 第三步:點D2繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°回到點D. (1)請用圓規(guī)畫出點D→D1→D2→D經(jīng)過的路徑; (2)所畫圖形是 軸對稱 對稱圖形; (3)求所畫圖形的周長(結(jié)果保留π). 【分析】(1)利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖象即可; (2)根據(jù)軸對稱圖形的定義即可判斷; (3)利用弧長公式計算即可; 【解答】解:(1)點D→D1→D2→D經(jīng)過的路徑如圖所示: (2)觀察圖象可知圖象是軸對稱圖形, 故答案為軸對稱. (3)周長=4×=8π. 11.(2018?南充)如圖,矩形ABCD中,AC=2AB,將矩形ABCD
11、繞點A旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′,使點B的對應(yīng)點B'落在AC上,B'C'交AD于點E,在B'C′上取點F,使B'F=AB. (1)求證:AE=C′E. (2)求∠FBB'的度數(shù). (3)已知AB=2,求BF的長. 【分析】(1)在直角三角形ABC中,由AC=2AB,得到∠ACB=30°,再由折疊的性質(zhì)得到一對角相等,利用等角對等邊即可得證; (2)由(1)得到△ABB′為等邊三角形,利用矩形的性質(zhì)及等邊三角形的內(nèi)角為60°,即可求出所求角度數(shù); (3)由AB=2,得到B′B=B′F=2,∠B′BF=15°,過B作BH⊥BF,在直角三角形BB′H中,利用銳角三角函數(shù)定義求出BH的
12、長,由BF=2BH即可求出BF的長. 【解答】(1)證明:∵在Rt△ABC中,AC=2AB, ∴∠ACB=∠AC′B′=30°,∠BAC=60°, 由旋轉(zhuǎn)可得:AB′=AB,∠B′AC=∠BAC=60°, ∴∠EAC′=∠AC′B′=30°, ∴AE=C′E; (2)解:由(1)得到△ABB′為等邊三角形, ∴∠AB′B=60°, ∴∠FBB′=15°; (3)解:由AB=2,得到B′B=B′F=2,∠B′BF=15°, 過B作BH⊥BF, 在Rt△BB′H中,cos15°=,即BH=2×=, 則BF=2BH=+. 12.(2018?徐州)如圖,方格紙中的每
13、個小方格都是邊長為1個單位的正方形,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點均在格點上,點B的坐標(biāo)為(1,0) ①畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1; ②畫出將△ABC繞原點O按逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得的△A2B2C2; ③△A1B1C1與△A2B2C2成軸對稱圖形嗎?若成軸對稱圖形,畫出所有的對稱軸; ④△A1B1C1與△A2B2C2成中心對稱圖形嗎?若成中心對稱圖形,寫出所有的對稱中心的坐標(biāo). 【分析】(1)將三角形的各頂點,向x軸作垂線并延長相同長度得到三點的對應(yīng)點,順次連接; (2)將三角形的各頂點,繞原點O按逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到三點的對應(yīng)點.順次連接各對應(yīng)點得△A2B
14、2C2; (3)從圖中可發(fā)現(xiàn)成軸對稱圖形,根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)畫出對稱軸即連接兩對應(yīng)點的線段,做它的垂直平分線; (4)成中心對稱圖形,畫出兩條對應(yīng)點的連線,交點就是對稱中心. 【解答】解:如下圖所示: (3)成軸對稱圖形,根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)畫出對稱軸即連接兩對應(yīng)點的線段,作它的垂直平分線, 或連接A1C1,A2C2的中點的連線為對稱軸. (4)成中心對稱,對稱中心為線段BB2的中點P,坐標(biāo)是(,). 13.(2018?溫州)如圖,P,Q是方格紙中的兩格點,請按要求畫出以PQ為對角線的格點四邊形. (1)在圖1中畫出一個面積最小的?PAQB. (2)在圖2中畫出一
15、個四邊形PCQD,使其是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形,且另一條對角線CD由線段PQ以某一格點為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)得到.注:圖1,圖2在答題紙上. 【分析】(1)畫出面積是4的格點平行四邊形即為所求; (2)畫出以PQ為對角線的等腰梯形即為所求. 【解答】解:(1)如圖①所示: (2)如圖②所示: 14.(2018?臨沂)將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<360°),得到矩形AEFG. (1)如圖,當(dāng)點E在BD上時.求證:FD=CD; (2)當(dāng)α為何值時,GC=GB?畫出圖形,并說明理由. 【分析】(1)先運(yùn)用SAS判定△AED≌△FDE,可得DF=AE,再
16、根據(jù)AE=AB=CD,即可得出CD=DF; (2)當(dāng)GB=GC時,點G在BC的垂直平分線上,分兩種情況討論,依據(jù)∠DAG=60°,即可得到旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù). 【解答】解:(1)由旋轉(zhuǎn)可得,AE=AB,∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°,EF=BC=AD, ∴∠AEB=∠ABE, 又∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF, ∴∠EDA=∠DEF, 又∵DE=ED, ∴△AED≌△FDE(SAS), ∴DF=AE, 又∵AE=AB=CD, ∴CD=DF; (2)如圖,當(dāng)GB=GC時,點G在BC的垂直平分線上, 分兩種情況討論: ①當(dāng)點G在AD右側(cè)時,取B
17、C的中點H,連接GH交AD于M, ∵GC=GB, ∴GH⊥BC, ∴四邊形ABHM是矩形, ∴AM=BH=AD=AG, ∴GM垂直平分AD, ∴GD=GA=DA, ∴△ADG是等邊三角形, ∴∠DAG=60°, ∴旋轉(zhuǎn)角α=60°; ②當(dāng)點G在AD左側(cè)時,同理可得△ADG是等邊三角形, ∴∠DAG=60°, ∴旋轉(zhuǎn)角α=360°﹣60°=300°. 15.(2018?寧波)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB邊上一點(點D與A,B不重合),連結(jié)CD,將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連結(jié)DE交BC于點F,連接BE.
18、 (1)求證:△ACD≌△BCE; (2)當(dāng)AD=BF時,求∠BEF的度數(shù). 【分析】(1)由題意可知:CD=CE,∠DCE=90°,由于∠ACB=90°,所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB,∠BCE=∠DCE﹣∠DCB,所以∠ACD=∠BCE,從而可證明△ACD≌△BCE(SAS) (2)由△ACD≌△BCE(SAS)可知:∠A=∠CBE=45°,BE=BF,從而可求出∠BEF的度數(shù). 【解答】解:(1)由題意可知:CD=CE,∠DCE=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB, ∠BCE=∠DCE﹣∠DCB, ∴∠ACD=∠BCE, 在△ACD與
19、△BCE中, ∴△ACD≌△BCE(SAS) (2)∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠A=45°, 由(1)可知:∠A=∠CBE=45°, ∵AD=BF, ∴BE=BF, ∴∠BEF=67.5° 16.(2018?黑龍江)如圖,正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都是一個單位長度,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(1,4),B(1,1),C(3,1). (1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1; (2)畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2; (3)在(2)的條件下,求線段BC掃過的面積(結(jié)果保留π). 【分析】(1)
20、利用軸對稱的性質(zhì)畫出圖形即可; (2)利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖形即可; (3)BC掃過的面積=﹣,由此計算即可; 【解答】解:(1)△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1如圖所示; (2)△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2如圖所示; (3)BC掃過的面積=﹣=﹣=2π. 17.(2018?廣西)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別是A(1,1),B(4,1),C(3,3). (1)將△ABC向下平移5個單位后得到△A1B1C1,請畫出△A1B1C1; (2)將△ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B2C2,請畫出△A2B2C2;
21、 (3)判斷以O(shè),A1,B為頂點的三角形的形狀.(無須說明理由) 【分析】(1)利用點平移的坐標(biāo)特征寫出A1、B1、C1的坐標(biāo),然后描點即可得到△A1B1C1為所作; (2)利用網(wǎng)格特定和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B、C的對應(yīng)點A2、B2、C2,從而得到△A2B2C2, (3)根據(jù)勾股定理逆定理解答即可. 【解答】解:(1)如圖所示,△A1B1C1即為所求: (2)如圖所示,△A2B2C2即為所求: (3)三角形的形狀為等腰直角三角形,OB=OA1=,A1B=, 即, 所以三角形的形狀為等腰直角三角形. 18.(2018?眉山)在邊長為1個單位長度的正方形網(wǎng)格中建立如圖
22、所示的平面直角坐標(biāo)系,△ABC的頂點都在格點上,請解答下列問題: (1)作出△ABC向左平移4個單位長度后得到的△A1B1C1,并寫出點C1的坐標(biāo); (2)作出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A2B2C2,并寫出點C2的坐標(biāo); (3)已知△ABC關(guān)于直線l對稱的△A3B3C3的頂點A3的坐標(biāo)為(﹣4,﹣2),請直接寫出直線l的函數(shù)解析式. 【分析】(1)利用網(wǎng)格特點和平移的性質(zhì)寫出點A、B、C的對應(yīng)點A1、B1、C1的坐標(biāo),然后描點得到△A1B1C1; (2)根據(jù)關(guān)于原點中心對稱的點的坐標(biāo)特征寫出點A2、B2、C2的坐標(biāo),然后描點即可; (3)根據(jù)對稱的特點解答即可. 【解答】解:
23、(1)如圖,△A1B1C1為所作,C1(﹣1,2); (2)如圖,△A2B2C2為所作,C2(﹣3,﹣2); (3)因為A的坐標(biāo)為(2,4),A3的坐標(biāo)為(﹣4,﹣2), 所以直線l的函數(shù)解析式為y=﹣x, 19.(2018?自貢)如圖,已知∠AOB=60°,在∠AOB的平分線OM上有一點C,將一個120°角的頂點與點C重合,它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點D、E. (1)當(dāng)∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(如圖1),請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由; (2)當(dāng)∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時,到達(dá)圖2的位置,(1)中的結(jié)論是否成立?并說明理由
24、; (3)當(dāng)∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線相交時,上述結(jié)論是否成立?請在圖3中畫出圖形,若成立,請給于證明;若不成立,線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想,不需證明. 【分析】(1)先判斷出∠OCE=60°,再利用特殊角的三角函數(shù)得出OD=OC,同OE=OC,即可得出結(jié)論; (2)同(1)的方法得OF+OG=OC,再判斷出△CFD≌△CGE,得出DF=EG,最后等量代換即可得出結(jié)論; (3)同(2)的方法即可得出結(jié)論. 【解答】解:(1)∵OM是∠AOB的角平分線, ∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°, ∵CD⊥OA, ∴∠ODC=90°,
25、 ∴∠OCD=60°, ∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°, 在Rt△OCD中,OD=OC?cos30°=OC, 同理:OE=OC, ∴OD+OE=OC; (2)(1)中結(jié)論仍然成立,理由: 過點C作CF⊥OA于F,CG⊥OB于G, ∴∠OFC=∠OGC=90°, ∵∠AOB=60°, ∴∠FCG=120°, 同(1)的方法得,OF=OC,OG=OC, ∴OF+OG=OC, ∵CF⊥OA,CG⊥OB,且點C是∠AOB的平分線OM上一點, ∴CF=CG, ∵∠DCE=120°,∠FCG=120°, ∴∠DCF=∠ECG, ∴△CFD≌△CGE, ∴DF
26、=EG, ∴OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE﹣EG, ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE, ∴OD+OE=OC; (3)(1)中結(jié)論不成立,結(jié)論為:OE﹣OD=OC, 理由:過點C作CF⊥OA于F,CG⊥OB于G, ∴∠OFC=∠OGC=90°, ∵∠AOB=60°, ∴∠FCG=120°, 同(1)的方法得,OF=OC,OG=OC, ∴OF+OG=OC, ∵CF⊥OA,CG⊥OB,且點C是∠AOB的平分線OM上一點, ∴CF=CG,∵∠DCE=120°,∠FCG=120°, ∴∠DCF=∠ECG, ∴△CFD≌△CGE, ∴DF=EG,
27、 ∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD,OG=OE﹣EG, ∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD, ∴OE﹣OD=OC. 20.(2018?岳陽)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,CD為∠ACB的平分線,將∠ACB沿CD所在的直線對折,使點B落在點B′處,連結(jié)AB',BB',延長CD交BB'于點E,設(shè)∠ABC=2α(0°<α<45°). (1)如圖1,若AB=AC,求證:CD=2BE; (2)如圖2,若AB≠AC,試求CD與BE的數(shù)量關(guān)系(用含α的式子表示); (3)如圖3,將(2)中的線段BC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角(α+45°),得到線段FC,連結(jié)EF交BC于
28、點O,設(shè)△COE的面積為S1,△COF的面積為S2,求(用含α的式子表示). 【分析】(1)由翻折可知:BE=EB′,再利用全等三角形的性質(zhì)證明CD=BB′即可; (2)如圖2中,結(jié)論:CD=2?BE?tan2α.只要證明△BAB′∽△CAD,可得==,推出=,可得CD=2?BE?tan2α; (3)首先證明∠ECF=90°,由∠BEC+∠ECF=180°,推出BB′∥CF,推出===sin(45°﹣α),由此即可解決問題; 【解答】解:(1)如圖1中, ∵B、B′關(guān)于EC對稱, ∴BB′⊥EC,BE=EB′, ∴∠DEB=∠DAC=90°, ∵∠EDB=∠ADC, ∴∠
29、DBE=∠ACD, ∵AB=AC,∠BAB′=∠DAC=90°, ∴△BAB′≌CAD, ∴CD=BB′=2BE. (2)如圖2中,結(jié)論:CD=2?BE?tan2α. 理由:由(1)可知:∠ABB′=∠ACD,∠BAB′=∠CAD=90°, ∴△BAB′∽△CAD, ∴==, ∴=, ∴CD=2?BE?tan2α. (3)如圖 3中, 在Rt△ABC中,∠ACB=90°﹣2α, ∵EC平分∠ACB, ∴∠ECB=(90°﹣2α)=45°﹣α, ∵∠BCF=45°+α, ∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°, ∴∠BEC+∠ECF=180°,
30、 ∴BB′∥CF, ∴===sin(45°﹣α), ∵=, ∴=sin(45°﹣α). 21.(2018?廣東)已知Rt△OAB,∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜邊OB=4,將Rt△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°,如題圖1,連接BC. (1)填空:∠OBC= 60 °; (2)如圖1,連接AC,作OP⊥AC,垂足為P,求OP的長度; (3)如圖2,點M,N同時從點O出發(fā),在△OCB邊上運(yùn)動,M沿O→C→B路徑勻速運(yùn)動,N沿O→B→C路徑勻速運(yùn)動,當(dāng)兩點相遇時運(yùn)動停止,已知點M的運(yùn)動速度為1.5單位/秒,點N的運(yùn)動速度為1單位/秒,設(shè)運(yùn)動時間為x秒,△OMN的面積為y,
31、求當(dāng)x為何值時y取得最大值?最大值為多少? 【分析】(1)只要證明△OBC是等邊三角形即可; (2)求出△AOC的面積,利用三角形的面積公式計算即可; (3)分三種情形討論求解即可解決問題:①當(dāng)0<x≤時,M在OC上運(yùn)動,N在OB上運(yùn)動,此時過點N作NE⊥OC且交OC于點E.②當(dāng)<x≤4時,M在BC上運(yùn)動,N在OB上運(yùn)動. ③當(dāng)4<x≤4.8時,M、N都在BC上運(yùn)動,作OG⊥BC于G. 【解答】解:(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知:OB=OC,∠BOC=60°, ∴△OBC是等邊三角形, ∴∠OBC=60°. 故答案為60. (2)如圖1中, ∵OB=4,∠ABO=30°,
32、 ∴OA=OB=2,AB=OA=2, ∴S△AOC=?OA?AB=×2×2=2, ∵△BOC是等邊三角形, ∴∠OBC=60°,∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°, ∴AC==2, ∴OP===. (3)①當(dāng)0<x≤時,M在OC上運(yùn)動,N在OB上運(yùn)動,此時過點N作NE⊥OC且交OC于點E. 則NE=ON?sin60°=x, ∴S△OMN=?OM?NE=×1.5x×x, ∴y=x2. ∴x=時,y有最大值,最大值=. ②當(dāng)<x≤4時,M在BC上運(yùn)動,N在OB上運(yùn)動. 作MH⊥OB于H.則BM=8﹣1.5x,MH=BM?sin60°=(8﹣1.5x),
33、 ∴y=×ON×MH=﹣x2+2x. 當(dāng)x=時,y取最大值,y<, ③當(dāng)4<x≤4.8時,M、N都在BC上運(yùn)動,作OG⊥BC于G. MN=12﹣2.5x,OG=AB=2, ∴y=?MN?OG=12﹣x, 當(dāng)x=4時,y有最大值,最大值=2, 綜上所述,y有最大值,最大值為. 22.(2018?德州)再讀教材: 寬與長的比是(約為0.618)的矩形叫做黃金矩形,黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感,世界各國許多著名的建筑,為取得最佳的視覺效果,都采用了黃金矩形的設(shè)計,下面,我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形.(提示:MN=2) 第一步,在矩形紙片一端,利用圖①的方法折
34、出一個正方形,然后把紙片展平. 第二步,如圖②,把這個正方形折成兩個相等的矩形,再把紙片展平. 第三步,折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB,并把AB折到圖①中所示的AD處. 第四步,展平紙片,按照所得的點D折出DE,使DE⊥ND,則圖④中就會出現(xiàn)黃金矩形. 問題解決: (1)圖③中AB= ?。ūA舾枺?; (2)如圖③,判斷四邊形BADQ的形狀,并說明理由; (3)請寫出圖④中所有的黃金矩形,并選擇其中一個說明理由. 實際操作 (4)結(jié)合圖④,請在矩形BCDE中添加一條線段,設(shè)計一個新的黃金矩形,用字母表示出來,并寫出它的長和寬. 【分析】(1)理由勾股定理計算即可; (2
35、)根據(jù)菱形的判定方法即可判斷; (3)根據(jù)黃金矩形的定義即可判斷; (4)如圖④﹣1中,在矩形BCDE上添加線段GH,使得四邊形GCDH為正方形,此時四邊形BGHE為所求是黃金矩形; 【解答】解:(1)如圖3中,在Rt△ABC中,AB===, 故答案為. (2)結(jié)論:四邊形BADQ是菱形. 理由:如圖③中, ∵四邊形ACBF是矩形, ∴BQ∥AD, ∵AB∥DQ, ∴四邊形ABQD是平行四邊形, 由翻折可知:AB=AD, ∴四邊形ABQD是菱形. (3)如圖④中,黃金矩形有矩形BCDE,矩形MNDE. ∵AD=.AN=AC=1, CD=AD﹣AC=﹣1, ∵BC=2, ∴=, ∴矩形BCDE是黃金矩形. ∵==, ∴矩形MNDE是黃金矩形. (4)如圖④﹣1中,在矩形BCDE上添加線段GH,使得四邊形GCDH為正方形,此時四邊形BGHE為所求是黃金矩形. 長GH=﹣1,寬HE=3﹣. 26
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