云南省2019年中考數學總復習 提分專練（五）與全等三角形有關的中檔計算題與證明題練習

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1、 提分專練(五)　與全等三角形有關的中檔計算題與證明題 |類型1|　全等三角形與等腰三角形的結合問題1.如圖T5-1,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE. 求證:(1)△AEF≌△CEB; (2)AF=2CD. 圖T5-1 2.[2017·蘇州] 如圖T5-2,∠A=∠B,AE=BE,點D在AC邊上,∠1=∠2,AE和BD相交于點O. (1)求證:△AEC≌△BED; (2)若∠1=42°,求∠BDE的度數. 圖T5-2 3.[2017·呼和浩特] 如圖T5-3,等腰三角形ABC中,B

2、D,CE分別是兩腰上的中線. (1)求證:BD=CE; (2)設BD與CE相交于點O,點M,N分別為線段BO和CO的中點.當△ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等時,判斷四邊形DEMN的形狀,無需說明理由. 圖T5-3 4.如圖T5-4,△ACB和△DCE均為等腰三角形,點A,D,E在同一直線上,連接BE.若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°. (1)求證:AD=BE; (2)求∠AEB的度數. 圖T5-4 |類型2|　全等三角形與直角三角形的結合問題 5.如圖T5-5,在△ABC中,AD⊥BC

3、,CE⊥AB,垂足分別為D,E,AD,CE交于點H,請你添加一個適當條件　　　　,使△AEH≌△CEB.? 圖T5-5 6.如圖T5-6,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于點D,過點D作DE⊥AB于點E. (1)求證:△ACD≌△AED; (2)若∠B=30°,CD=1,求BD的長. 圖T5-6 |類型3|　全等三角形與等腰直角三角形的結合問題 7.已知:如圖T5-7,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D為AB邊上一點. (1)求證:△ACE≌△BCD;

4、 (2)求證:2CD2=AD2+DB2. 圖T5-7 8.如圖T5-8,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延長CA至點E,使AE=AC;延長CB至點F,使BF=BC.連接AD,AF,DF,EF,延長DB交EF于點N. (1)求證:AD=AF; (2)求證:BD=EF. 圖T5-8 參考答案 1.證明:(1)∵AD⊥BC,CE⊥AB, ∴∠BCE+∠B=90°,∠FAE+∠B=90°, ∴∠FAE=∠BCE. 在△AEF和△CEB中, ∴△AEF≌△CEB(ASA).

5、 (2)∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BC=2CD. ∵△AEF≌△CEB, ∴AF=BC,∴AF=2CD. 2.[解析] (1)用ASA證明兩三角形全等;(2)利用全等三角形的性質得出EC=ED,∠C=∠BDE,再利用等腰三角形的性質:等邊對等角,即可求出∠C的度數,進而得到∠BDE的度數. 解:(1)證明:∵AE和BD相交于點O, ∴∠AOD=∠BOE. 在△AOD和△BOE中,∠A=∠B, ∴∠BEO=∠2. 又∵∠1=∠2, ∴∠1=∠BEO, ∴∠AEC=∠BED. 在△AEC和△BED中, ∴△AEC≌△BED(ASA). (2)∵△AEC≌△BED,

6、 ∴EC=ED,∠C=∠BDE. 在△EDC中, ∵EC=ED,∠1=42°, ∴∠C=∠EDC=69°, ∴∠BDE=∠C=69°. 3.解:(1)證明:∵AB,AC為等腰三角形的兩腰, ∴AB=AC. ∵BD,CE分別是兩腰上的中線, ∴AE=AD. 在△AEC與△ADB中, ∴△AEC≌△ADB, ∴BD=CE. (2)四邊形DEMN為正方形. 4.解:(1)證明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°, ∴AC=BC,DC=EC, ∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°. ∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BC

7、E, ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中, ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE. (2)∵△ACD≌△BCE, ∴∠ADC=∠BEC. ∵點A,D,E在同一直線上,且∠CDE=50°, ∴∠ADC=180°-∠CDE=130°, ∴∠BEC=130°. ∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°, ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°. 5.AE=EC(答案不唯一)　[解析] 根據垂直關系,可以判斷△AEH與△CEB有兩對對應角相等,所以只需要找它們的一對對應邊相等就可以了. ∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為

8、D,E, ∴∠BEC=∠AEC=∠HDC=90°, 在Rt△AEH中,∠EAH=90°-∠AHE, 在Rt△CDH中,∠DCH=90°-∠DHC, 又∠AHE=∠DHC, ∴∠EAH=∠BCE. 所以根據AAS可添加AH=CB或EH=EB; 根據ASA可添加AE=CE. 故答案為AH=CB或EH=EB或AE=CE等. 6.解:(1)證明:∵AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠EAD. ∵DE⊥AB,∠C=90°, ∴∠ACD=∠AED=90°. 又∵AD=AD, ∴△ACD≌△AED. (2)∵△ACD≌△AED, ∴DE=CD=1. ∵∠B=30°,∠DEB=

9、90°, ∴BD=2DE=2. 7.證明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形, ∴AC=BC,CD=CE, ∵∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD, ∴∠ACE=∠BCD, 在△ACE和△BCD中, ∴△ACE≌△BCD(SAS). (2)∵△ACB是等腰直角三角形, ∴∠B=∠BAC=45°. ∵△ACE≌△BCD, ∴∠B=∠CAE=45°. ∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°, ∴AD2+AE2=DE2. 由(1)知AE=DB, ∴AD2+DB2=DE2, 又DE2=2CD2,∴2CD2=AD2+DB2. 8.證明:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABF=135°. ∵∠BCD=90°, ∴∠ACD=135°. ∴∠ABF=∠ACD, ∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD. 在△ABF和△ACD中, ∴△ABF≌△ACD(SAS),∴AD=AF. (2)由(1)知,AF=AD,△ABF≌△ACD, ∴∠FAB=∠DAC. ∵∠BAC=90°,∴∠EAB=∠BAC=90°, ∴∠EAF=∠BAD. 在△AEF和△ABD中, ∴△AEF≌△ABD(SAS),∴BD=EF. 12