第三講 最短距離問題
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1、word 第三講 最短距離問題 一、知識(shí)梳理 幾何模型1 條件:如圖,、是直線同旁的兩個(gè)定點(diǎn). 問題:在直線上確定一點(diǎn),使的值最?。? 方法:作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),連結(jié)交于點(diǎn), 如此的值最小 幾何模型2 條件:如圖,、是直線異側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn).且A、B到距離不相等 問題:在直線上確定一點(diǎn),使的值最大 方法:作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),連結(jié)交于點(diǎn),如此的值最小 二、方法歸納 對(duì)于幾何模型1,近年來,除了常見的“一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〞外,出現(xiàn)了“兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)〞、“三個(gè)動(dòng)點(diǎn)〞等變式問題的問題,而解決此類問題的關(guān)鍵在于:找點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn),實(shí)現(xiàn)“折〞轉(zhuǎn)“直〞。 對(duì)于幾何模型2,近年出現(xiàn)的中考題
2、都是直接應(yīng)用。 三、課堂精講例題 〔一〕、題中出現(xiàn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。 例1、在正方形ABCD中,點(diǎn)E為BC上一定點(diǎn),且BE=10,CE=14,P為BD上一動(dòng)點(diǎn),求PE+PC最小值。 【難度分級(jí)】A類 〖試題來源〗經(jīng)典例題 〖選題意圖〗使學(xué)生掌握幾何模型1的應(yīng)用 〖解題思路〗作關(guān)于對(duì)稱點(diǎn),可以證明在上, 易求 解:作關(guān)于對(duì)稱點(diǎn) 四邊形ABCD是正方形 在上,且 即是的最小值 【搭配課堂訓(xùn)練題】 1、:拋物線的對(duì)稱軸為x=-1與軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)其中、 〔1〕求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式. 〔2〕在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P,使得的周長最?。?qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo) 【
3、難度分級(jí)】A類 〖試題來源〗2009年中考真題。 〖答案〗 解:〔1〕由題意得解得 ∴此拋物線的解析式為 〔2〕連結(jié)、.因?yàn)榈拈L度一定,所以周長最小,就是使最小.點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn),與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn). 設(shè)直線的表達(dá)式為如此 解得 ∴此直線的表達(dá)式為 把代入得 ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為 例2::直線與軸交于A,與軸交于D,拋物線與直線交于A、E兩點(diǎn),與軸交于B、C兩點(diǎn),且B點(diǎn)坐標(biāo)為〔1,0〕. 〔1〕求拋物線的解析式; 〔2〕在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M,使的值最大,求出點(diǎn)M的坐標(biāo). 【難度分級(jí)】A類 〖試題來源〗2009眉山中考數(shù)學(xué)真題 〖選題意圖〗使學(xué)生
4、掌握幾何模型2的應(yīng)用 〖解題思路〗直接應(yīng)用幾何模型2,由于B是C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn),所以連接AB,如此AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)M即為所求。 〔1〕將A〔0,1〕、B〔1,0〕坐標(biāo)代入得解得 ∴拋物線的解折式為 〔2〕拋物線的對(duì)稱軸為 ∵B、C關(guān)于x=對(duì)稱∴MC=MB 要使最大,即是使最大 由三角形兩邊之差小于第三邊得,當(dāng)A、B、M在同一直線上時(shí)的值最大易知直線AB的解析式為∴由得∴M〔,-〕 〔二〕、題中出現(xiàn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。 例3、如圖:在△ABC中,,,M、N分別AB,AC上動(dòng)點(diǎn),求BN+MN+MC最小值 【難度分級(jí)】B類 〖試題來源〗2
5、003年余中學(xué)保送生測(cè)試題 〖選題意圖〗①使學(xué)生體會(huì)如何實(shí)現(xiàn)由“折〞轉(zhuǎn)“直〞 ②掌握雙動(dòng)點(diǎn)問題的解題方法 〖解題思路〗當(dāng)題中出現(xiàn)兩個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),應(yīng)作兩次定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn).利用兩點(diǎn)之間線段最短求出最值。 解:作關(guān)于對(duì)稱點(diǎn),關(guān)于對(duì)稱點(diǎn), 有 (當(dāng)、運(yùn)動(dòng)到、時(shí)等號(hào)成立), 、 為正三角形 【搭配課堂訓(xùn)練題】 1、州自然風(fēng)光無限,特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)〞著稱于世.著名的大峽谷和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè),、到直線的距離分別為和,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū),向、兩景區(qū)運(yùn)送游客.小民設(shè)計(jì)了兩種方案,圖9是方案一的示意圖〔與直線垂
6、直,垂足為〕,到、的距離之和,圖10是方案二的示意圖〔點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是,連接交直線于點(diǎn)〕,到、的距離之和. 〔1〕求、,并比擬它們的大?。? 〔2〕請(qǐng)你說明的值為最??; 〔3〕擬建的到高速公路與滬渝高速公路垂直,建立如圖11所示的直角坐標(biāo)系,到直線的距離為,請(qǐng)你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、,使、、、組成的四邊形的周長最?。⑶蟪鲞@個(gè)最小值. 【難度分級(jí)】B類 〖試題來源〗2009年自治州中考真題。 〖答案〗 解:⑴圖9中過B作BC⊥AP,垂足為C,如此PC=40,又AP=10, ∴AC=30 在Rt△ABC 中,AB=50 AC=30
7、 ∴BC=40 ∴BP= S1= ⑵圖10中,過B作BC⊥AA′垂足為C,如此A′C=50, 又BC=40 ∴BA'= 由軸對(duì)稱知:PA=PA' ∴S2=BA'= ∴﹥ (2)如 圖10,在公路上任找一點(diǎn)M,連接MA,MB,MA',由軸對(duì)稱知MA=MA' ∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B ∴S2=BA'為最小 〔3〕如 圖12,過A作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A', 過B作關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B',連接A'B',交X軸于點(diǎn)P, 交Y軸于點(diǎn)Q,如此P,Q即為所求 A'B'= ∴所求四邊形的周長為 例4、如圖,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,假設(shè)AC,AB
8、是各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,N,求BM+MN最小值. 【難度分級(jí)】B類 〖試題來源〗經(jīng)典例題 〖選題意圖〗①使學(xué)生體會(huì)如何實(shí)現(xiàn)由“折〞轉(zhuǎn)“直〞 ②使學(xué)生掌握,在由“折〞轉(zhuǎn)“直〞的過程中,如何做到最短。 〖解題思路〗 解:作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn), 在上運(yùn)動(dòng),當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí),即 ,最短為 【搭配課堂訓(xùn)練題】 如圖,在銳角中,,的平分線交于點(diǎn)分別是和上的動(dòng)點(diǎn),如此的最小值是________. 【難度分級(jí)】B類 〖試題來源〗2009年省中考真題。 〖答案〗4 〔三〕、題中出現(xiàn)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí) 例5、如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E,F,P分別為AB,BC,AC上動(dòng)
9、點(diǎn),求PE+PF最小值 【難度分級(jí)】B類 〖試題來源〗經(jīng)典例題 〖選題意圖〗①使學(xué)生體會(huì)如何實(shí)現(xiàn)由“折〞轉(zhuǎn)“直〞 ②掌握三動(dòng)點(diǎn)問題的解題方法 〖解題思路〗 當(dāng)題中出現(xiàn)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),在求解時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn),(1)作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn),(2)同時(shí)要考慮點(diǎn)點(diǎn),點(diǎn)線,線線之間的最短問題. 解:作關(guān)于所直線的對(duì)稱點(diǎn), 如此 , 因?yàn)樵谏线\(yùn)動(dòng),故當(dāng)和、垂直時(shí),最短,且 【搭配課堂訓(xùn)練題】 12.如圖,∠AOB=45°,角有一動(dòng)點(diǎn)P ,PO=10,在AO,BO上有兩動(dòng)點(diǎn)Q,R,求△PQR周長的最小值。 【難度分級(jí)】B類 〖試題來源〗經(jīng)典例題。 〖答案〗 在任取一點(diǎn),過
10、做、的對(duì)稱點(diǎn)、 如此有 由對(duì)稱性易知為等腰三角形 又因?yàn)?,所以為等腰直角三角? 在中,, 所以的最小周長為: 〔四〕、綜合壓軸 例6、如圖,四邊形ABCD是正方形,△ABE是等邊三角形,M為對(duì)角線BD〔不含B點(diǎn)〕上任意一點(diǎn),將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM、CM. ⑴ 求證:△AMB≌△ENB; ⑵①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AM+CM的值最??; ②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AM+BM+CM的值最小,并說明理由; ⑶ 當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí),求正方形的邊長. 【難度分級(jí)】C類 〖試題來源〗2010中考真題 〖選題意圖〗強(qiáng)化應(yīng)用 〖解題思路〗 〔1〕由題意
11、得MB=NB,∠ABN=15°,所以∠EBN=45,容易證出△AMB≌△ENB; 〔2〕①根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短〞,可得,當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí),AM+CM的值最??; ②根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短〞,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長〔如圖18〕; 〔3〕作輔助線,過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長線于F,由題意求出∠EBF=30°, 設(shè)正方形的邊長為x,在Rt△EFC中,根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長 解:⑴∵△ABE是等邊三角形, ∴BA=BE,∠ABE=60°. ∵∠MBN=60°, ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN. 即∠MBA=∠
12、NBE. 又∵M(jìn)B=NB, ∴△AMB≌△ENB〔SAS〕. ⑵①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí),AM+CM的值最小. ②如圖,連接CE,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí), AM+BM+CM的值最小. 理由如下:連接MN.由⑴知,△AMB≌△ENB, ∴AM=EN. ∵∠MBN=60°,MB=NB, ∴△BMN是等邊三角形. ∴BM=MN. ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM. 根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短〞,得EN+MN+CM=EC最短 ∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長 ⑶過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長線于F, ∴∠EBF=90°-
13、60°=30°. 設(shè)正方形的邊長為x,如此BF=x,EF=. 在Rt△EFC中, ∵EF2+FC2=EC2, ∴〔〕2+〔x+x〕2=. 解得,x=〔舍去負(fù)值〕. ∴正方形的邊長為. 【搭配課堂訓(xùn)練題】 1、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ,,,延長AC到點(diǎn)D,使CD=,過點(diǎn)D作DE∥AB交BC的延長線于點(diǎn)E. 〔1〕求D點(diǎn)的坐標(biāo); 〔2〕作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F,分別連結(jié)DF、EF,假設(shè)過B點(diǎn)的直線將四邊形CDFE分成周長相等的兩個(gè)四邊形,確定此直線的解析式; 〔3〕設(shè)G為y軸上一點(diǎn),點(diǎn)P從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā),先沿y軸到達(dá)G點(diǎn),再沿GA
14、到達(dá)A點(diǎn),假設(shè)P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍,試確定G點(diǎn)的位置,使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短?!惨螅汉喪龃_定G點(diǎn)位置的方法,但不要求證明〕 【難度分級(jí)】C類 〖試題來源〗2009中考真題 〖答案〗 解:〔1〕∵,, ∴. 設(shè)與軸交于點(diǎn). 由可得. 又, ∴. ∴,. 同理可得. ∴. ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. 〔2〕由〔1〕可得點(diǎn)的坐標(biāo)為. 由, 可得軸所在直線是線段的垂直平分線. ∴點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在軸上. ∴與互相垂直平分. ∴. ∴四邊形為菱形,且點(diǎn)為其對(duì)稱中心. 作直線. 設(shè)與分別交于點(diǎn)、點(diǎn).可證. ∴. ∵,
15、 ∴. ∵, ∴. ∴直線將四邊形分成周長相等的兩個(gè)四邊形. 由點(diǎn),點(diǎn)在直線上, 可得直線的解析式為. 〔3〕確定點(diǎn)位置的方法:過點(diǎn)作于點(diǎn).如此與軸的交點(diǎn)為所求的點(diǎn). 由, 可得, ∴. 在中,. ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.〔或點(diǎn)的位置為線段的中點(diǎn)〕 四、鞏固練習(xí) 根底訓(xùn)練題〔A類〕 1、如圖,AC、BD為正方形ABCD對(duì)角線,相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn),正方形邊長為2cm,在BD上找點(diǎn)P,使EP+CP之和最小,且最小值為________。 【答案】 2、〔1〕如圖22,等腰直角三角形ABC的直角邊長為2,E是斜邊AB的中點(diǎn),P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn),如此PB+PE的最小
16、值為; 〔2〕幾何拓展:如圖23, △ABC中,AB=2,∠BAC=30,假設(shè)在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的值最小, 這個(gè)最小值為; 【答案】 1、 2、 3、如如下圖,正方形的面積為12,是等邊三角形,點(diǎn)在正方形,在對(duì)角線上有一點(diǎn),使的值最小,如此這個(gè)最小值為〔〕 A.B. C.3 D. 【答案】A 4、直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,點(diǎn)P在BC上移動(dòng),如此當(dāng)PA+PD取最小值時(shí),△APD中邊AP上的高為〔〕 A、B、 C、D、3 【答案】C 提高訓(xùn)練〔B類〕 1、如圖
17、,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔-2,0〕,連結(jié)OA,將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段OB. 〔1〕求點(diǎn)B的坐標(biāo); 〔2〕求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式; 〔3〕在〔2〕中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C,使△BOC的周長最???假設(shè)存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由.〔注意:此題中的結(jié)果均保存根號(hào)〕 【解析】:〔1〕過點(diǎn)B作BD⊥軸于點(diǎn)D,由可得:OB=OA=2,∠BOD=60。.在Rt△OBD中,∠ODB=90。,∠OBD=30。. ∴OD=1,DB= ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是〔1,〕. 〔2〕設(shè)所求拋物線的解析式為,由可得: 解得: ∴所求拋物線解析式為
18、 〔3〕存在. 由配方后得: ∴拋物線的對(duì)稱軸為=-1. 〔也寫用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出〕 ∵OB=2,要使△BOC的周長最小,必須BC+CO最小. ∵點(diǎn)O與點(diǎn)A關(guān)于直線=-1對(duì)稱,有CO=CA. △ BOC的周長=OB+BC+CO=OB+BC+CA. ∴當(dāng)A、C、B三點(diǎn)共線,即點(diǎn)C為直線AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí),BC+CA最小,此時(shí)△BOC的周長最小. 設(shè)直線AB的解析式為 解得: ∴直線AB的解析式為 當(dāng)=-1時(shí), ∴所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔-1,〕. 2、如圖,拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為,交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn). 〔1〕求拋物線的表達(dá)式. 〔2〕把△ABC繞AB的
19、中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°,得到四邊形ADBC. 判斷四邊形ADBC的形狀,并說明理由. 〔3〕試問在線段AC上是否存在一點(diǎn)F,使得△FBD的周長最小, 假設(shè)存在,請(qǐng)寫出點(diǎn)F的坐標(biāo);假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由. 【解析】 解:〔1〕由題意知 解得, ∴拋物線的解析式為 〔2〕設(shè)點(diǎn)A〔,0〕,B〔,0〕,如此, 解得 ∴∣OA∣=1,∣OB∣=3.又∵tan∠OCB= ∴∠OCB=60°,同理可求∠OCA=30°.∴∠ACB=90° 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知AC=BD,BC=AD ∴四邊形ADBC是平行四邊形 又∵∠ACB=90°.∴四邊形ADBC是矩形 〔3〕延長BC至N,使.假設(shè)
20、存在一點(diǎn)F,使△FBD的周長最?。? 即最?。? ∵DB固定長.∴只要FD+FB最?。帧逤A⊥BN ∴FD+FB=FD+FN. ∴當(dāng)N、F、D在一條直線上時(shí),F(xiàn)D+FB最小 . 又∵C為BN的中點(diǎn), ∴〔即F為AC的中點(diǎn)〕. 又∵A〔-1,0〕,C〔0,-〕 ∴ 點(diǎn)F的坐標(biāo)為F〔,〕 ∴ 存在這樣的點(diǎn)F〔,〕,使得△FBD的周長最小. 綜合遷移〔C類〕 1、如圖,點(diǎn)A(-4,8)和點(diǎn)B(2,n)在拋物線上. (1) 求a的值與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo),并在x軸上找一點(diǎn)Q,使得AQ+QB最短,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo); (2) 平移拋物線,記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′,點(diǎn)
21、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,點(diǎn)C(-2,0)和點(diǎn)D(-4,0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn). ① 當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí),A′C+CB′最短,求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式; ② 當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí),是否存在某個(gè)位置,使四邊形A′B′CD的周長最短?假設(shè)存在,求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式;假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由. 【解析】(1) 將點(diǎn)A(-4,8)的坐標(biāo)代入,解得. 將點(diǎn)B(2,n)的坐標(biāo)代入,求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2), 如此點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-2). 直線AP的解析式是. 令y=0,得.即所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(,0). (2)① 設(shè)將拋物線向左平移m個(gè)單位,如此平移后A′,B
22、′的坐標(biāo)分別為A′(-4-m,8)和B′(2-m,2),點(diǎn)A′關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′′(-4-m,-8). 直線A′′B′的解析式為. 要使A′C+CB′最短,點(diǎn)C應(yīng)在直線A′′B′上, 將點(diǎn)C(-2,0)代入直線A′′B′的解析式,解得. 故將拋物線向左平移個(gè)單位時(shí)A′C+CB′最短,此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為. ②左右平移拋物線,因?yàn)榫€段A′B′和CD的長是定值,所以要使四邊形A′B′CD的周長最短,只要使A′D+CB′最短; 第一種情況:如果將拋物線向右平移,顯然有A′D+CB′>AD+CB,因此不存在某個(gè)位置,使四邊形A′B′CD的周長最短. 第二種情況:設(shè)拋物線向左平
23、移了b個(gè)單位,如此點(diǎn)A′和點(diǎn)B′的坐標(biāo)分別為A′(-4-b,8)和B′(2-b,2). 因?yàn)镃D=2,因此將點(diǎn)B′向左平移2個(gè)單位得B′′(-b,2), 要使A′D+CB′最短,只要使A′D+DB′′最短. 點(diǎn)A′關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′′(-4-b,-8), 直線A′′B′′的解析式為.要使A′D+DB′′最短,點(diǎn)D應(yīng)在直線A′′B′′上,將點(diǎn)D(-4,0)代入直線A′′B′′的解析式,解得. 故將拋物線向左平移時(shí),存在某個(gè)位置,使四邊形A′B′CD的周長最短,此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為. 2、定義一種變換:平移拋物線得到拋物線,使經(jīng)過的頂點(diǎn).設(shè)的對(duì)稱軸分別交于點(diǎn),點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線
24、的對(duì)稱點(diǎn). 〔1〕如圖30,假設(shè):,經(jīng)過變換后,得到:,點(diǎn)的坐標(biāo)為,如此①的值等于______________; ②四邊形為〔 〕 A.平行四邊形 B.矩形C.菱形 D.正方形 〔2〕如圖31,假設(shè):,經(jīng)過變換后,點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的面積; 〔3〕如圖32,假設(shè):,經(jīng)過變換后,,點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離之和的最小值. 【解析】 (1) -2;D; (2) ∵:y=a(x-2)2+c-1,而〔0,c〕在上,可得a=. ∴DB=〔4a+c〕-〔c-1〕=2,∴=2. 〔3〕當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)〔如圖33〕, 設(shè)AC與BD交于點(diǎn)N,拋物線,配方得, 其頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔1,2〕,∵AC=2,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為. ∵過點(diǎn), ∴解析式為,∴B〔, ∴D〔, ∴,∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱, ∴,且 ∴四邊形ABCD是菱形.∴PD=PB. 作交于點(diǎn),如此PD+PH=PB+PH. 要使PD+PH最小,即要使PB+PH最小, 此最小值是點(diǎn)B到AD的距離,即△ABD邊AD上的高. ∵=1,=,,∴=, 故是等邊三角形. ∴∴最小值為. 當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)〔如圖34〕,同理,最小值為. 綜上,點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離之和 的最小值為. 25 / 25
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