數(shù)學(xué)第五章 平面向量 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 理

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1、第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例總綱目錄教材研讀1.平面向量的數(shù)量積考點(diǎn)突破2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)3.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算4.平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合問題考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合問題教材研讀教材研讀1.平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積(1)向量a與b的夾角已知兩個非零向量a,b,過O點(diǎn)作=a,=b,則AOB=(0180)叫做向量a與b的夾角.當(dāng)=90時,a與b垂直,記作ab;當(dāng)=0時,a與b同向;當(dāng)=180時,a與b反向.OAOB(2)a與b的數(shù)量積已知兩個非零向量a和b

2、,它們的夾角為,則把數(shù)量|a|b|cos叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab=|a|b|cos.(3)規(guī)定0a=0.(4)一個向量在另一個向量方向上的投影設(shè)是a與b的夾角,則|a|cos叫做a在b的方向上的投影,|b|cos叫做b在a的方向上的投影.一個向量在另一個向量方向上的投影是一個實(shí)數(shù),而不是向量.(5)ab的幾何意義ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積.2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,是a與e的夾角,則(1)ea=ae=|a|cos.(2)abab=0.(3)當(dāng)a與b同向時,ab=|a|b|.當(dāng)a與b

3、反向時,ab=-|a|b|.特別地,aa=|a|2.(4)cos=.(5)|ab|a|b|.| |a bab3.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律向量的數(shù)量積的運(yùn)算律(1)ab=ba.(2)(a)b=(ab)=a(b)(R).(3)(a+b)c=ac+bc.4.平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),則aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),則|=,這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b為非零向量,則ab

4、x1x2+y1y2=0.22xyAB222121()()xxyy1.(2017北京東城一模,5)已知向量a,b滿足2a+b=0,ab=-2,則(3a+b)(a-b)=()A.1B.3C.4D.5B答案答案B2a+b=0,a與b的夾角為,且|b|=2|a|,又ab=-2,|a|b|cos=-2,|a|=1,|b|=2,故(3a+b)(a-b)=3|a|2-2ab-|b|2=31-2(-2)-4=3.2.已知向量a與向量b的夾角為60,|a|=|b|=1,則|a-b|=()A.3B.C.2-D.133D答案答案D|a-b|2=a2-2ab+b2=2-211cos60=1,|a-b|=1,故選D.3

5、.(2017北京,6,5分)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù),使得m=n”是“mn0”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件A答案答案A由存在負(fù)數(shù),使得m=n,可得m、n共線且反向,夾角為180,則mn=-|m|n|0,故充分性成立.由mn0,可得m,n的夾角為鈍角或180,故必要性不成立.故選A.4.已知等邊ABC的邊長為3,D是BC邊上一點(diǎn),若BD=1,則的值是6.ACAD答案答案6解析解析由題意知=(+)=+=9+32cos=6.ACADACACCD2ACACCD235.在平面向量a,b中,已知a=(1,3),b=(2,y).如果ab=5,

6、那么y=1;如果|a+b|=|a-b|,那么y=-.23答案答案1;-23解析解析因?yàn)閍b=12+3y=5,所以y=1.因?yàn)閨a+b|=|a-b|,所以|a+b|2=|a-b|2,即2ab=-2ab,所以ab=0,即12+3y=0,所以y=-.236.(2017北京海淀期中)已知正方形ABCD的邊長為1,E是線段CD的中點(diǎn),則=.AEBD12答案答案12解析解析由題意可得=0,AD=AB=1,=(-)=-=1-0-=.ADABAEBD2ABADADAB2AD12ABAD22AB1212考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1(1)(2017北京石景山一模,

7、7)如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若=,則的值是()A.2-B.1C.D.2(2)(2017北京海淀二模,13)在四邊形ABCD中,AB=2.若=(+),則=2.2ABAF2AEBF22DA12CACBABDCC答案答案(1)C(2)2解析解析(1)解法一:以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(,0),E(,1),設(shè)F(x,2),則=(x,2),又=(,0),=x=,x=1,F(1,2),易知=(,1),=(1-,2),=(1-)+2=.解法二:=|cosBAF=,|=,|cosBAF=1,即|=

8、1,|=-1,=(+)(+)=+=+22AFAB2ABAF22AE2BF2AEBF222ABAFABAF2AB2AFDFCF2AEBFABBEBCCFABBCABCFBEBCBECFABCFBEBC=(-1)(-1)+121=.(2)由題意可知=(+)=|2=2.222ABDCABDAACAB1()2ACCA CBAB1122ACCB12ABAB12AB方法技巧方法技巧向量數(shù)量積的兩種計算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即ab=|a|b|cos.(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時,可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.1-1(201

9、8北京朝陽高三期中,6)如圖,在直角梯形ABCD中,ABCD,ADDC,E是CD的中點(diǎn),DC=1,AB=2,則=()A.B.-C.1D.-1EAAB55答案答案DABCD,ADDC,ADAB,=0,=(+)=-2=-1,故選D.ADABEAABEDDAABEDAB12D典例典例2平面向量a與b的夾角是,且|a|=1,|b|=2,如果=a+b,=a-3b,D是BC的中點(diǎn),那么|=()A.B.2C.3D.63ABACAD33考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題方向一模的問題命題方向一模的問題A答案答案A解析解析因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以=(+).又因?yàn)?a+b,=a-3b,所以=

10、a-b,所以|2=(a-b)2=a2+b2-2ab=12+22-212cos=5-2=3.因此|=.故選A.AD12ABACABACADAD3AD3典例典例3已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,cos=,若n(tm+n),則實(shí)數(shù)t的值為()A.4B.-4C.D.-139494命題方向二垂直問題命題方向二垂直問題B答案答案B解析解析n(tm+n),n(tm+n)=0,即tmn+|n|2=0,t|m|n|cos+|n|2=0.又4|m|=3|n|,cos=,t|n|2+|n|2=0,n為非零向量,t+1=0,解得t=-4.13341314典例典例4(1)(2017北京海淀一模,12)若非零向

11、量a,b滿足a(a+b)=0,2|a|=|b|,則向量a,b的夾角為.(2)已知向量a,b滿足(a+2b)(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,則a與b的夾角為.命題方向三夾角問題命題方向三夾角問題233答案答案(1)(2)233解析解析(1)設(shè)a與b的夾角為,因?yàn)閍(a+b)=0,所以aa+ab=0|a|a|+|a|b|cos=0,又因?yàn)?|a|=|b|0,所以|a|a|+2|a|a|cos=0,所以1+2cos=0,所以cos=-,從而=.1223(2)由(a+2b)(a-b)=-6,得a2-2b2+ab=-6,又|a|=1,|b|=2,ab=1,設(shè)向量a與b的夾角為,則cos=,又

12、0,故=.| |a bab123方法技巧方法技巧平面向量數(shù)量積的應(yīng)用類型及求解策略(1)求兩向量的夾角:cos=,要注意0,.(2)兩向量垂直的應(yīng)用:abab=0|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模:利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有a2=aa=|a|2或|a|=.|ab|=.若a=(x,y),則|a|=.| |a baba a2()ab222aa bb 22xy2-1(2014北京,10,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),則|=.答案答案5解析解析a+b=0,即a=-b,|a|=|b|.|a|=1,|b|=,|=.5552-2已知平面向量a,b滿足a

13、=(1,-1),(a+b)(a-b),那么|b|=.答案答案2解析解析(a+b)(a-b),(a+b)(a-b)=0,即a2-b2=0,|a|=|b|.又a=(1,-1),|b|=|a|=.221( 1) 22典例典例5已知平面向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),xR,函數(shù)f(x)=a(b-c).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若f=,求sin的值.222考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合問題考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合問題解析解析(1)因?yàn)閎=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),所以b-c=(sinx+c

14、osx,sinx-cosx),又a=(sinx,cosx),所以f(x)=a(b-c)=sinx(sinx+cosx)+cosx(sinx-cosx),則f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x=sin.當(dāng)2k+2x-2k+,kZ,即k+xk+,kZ時,函數(shù)f(x)為減函數(shù),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是,kZ.224x2432387837,88kk(2)由(1)知f(x)=sin,因?yàn)閒=,所以sin=,所以sin=.又sin2+cos2=1,所以cos=.又sin=sin=sincos+cossin.所以當(dāng)cos=時,sin=+=;224x222242

15、24124443244444443212223222264當(dāng)cos=-時,sin=+=.綜上,sin的值為或.43212223222264264264方法技巧方法技巧求解平面向量與三角函數(shù)綜合問題的一般思路(1)求三角函數(shù)值,一般利用向量的相關(guān)運(yùn)算得出三角函數(shù)關(guān)系式.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及三角函數(shù)中的常用公式求解.(2)求角時通常將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,先求三角函數(shù)值再求角.(3)解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題所用的主要思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,即通過向量的相關(guān)運(yùn)算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.3-1已知ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,設(shè)向量m=(a,b),n=(si

16、nB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若mn,求證:ABC為等腰三角形;(2)若mp,邊長c=2,角C=,求ABC的面積.3解析解析(1)證明:mn,asinA=bsinB,即a=b,其中R是ABC外接圓的半徑,a=b.ABC為等腰三角形.(2)由題意可知mp=0,即a(b-2)+b(a-2)=0.a+b=ab.2aR2bR由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,ab=4(ab=-1舍去),ABC的面積S=absinC=4sin=.121233即(ab)2-3ab-4=0,ab=4(ab=-1舍去),ABC的面積S=absinC=4sin=.121233