《山東省棗莊市2018中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 聚焦棗莊 專題三 圓的證明與計(jì)算試題》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《山東省棗莊市2018中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 聚焦棗莊 專題三 圓的證明與計(jì)算試題(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
專題三 圓的證明與計(jì)算
類型一 切線的判定
判定某直線是圓的切線,首先看圓的半徑是否過(guò)直線與圓的交點(diǎn),有半徑則證垂直;沒(méi)有半徑,則連接圓心與切點(diǎn),構(gòu)造半徑證垂直.
(2016·黃石)如圖,⊙O的直徑為AB,點(diǎn)C在圓周上(異于A,B),AD⊥CD.
(1)若BC=3,AB=5,求AC的長(zhǎng);
(2)若AC是∠DAB的平分線,求證:直線CD是⊙O的切線.
【分析】 (1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角,利用勾股定理求AC的長(zhǎng);(2)連接OC,利用AC是∠DAB的平分線,證得∠OAC=∠CAD,再結(jié)合半徑相等,可得OC∥AD,進(jìn)而結(jié)論得證.
1.(2016·六盤水)如圖
2、,在⊙O中,AB為直徑,D,E為圓上兩點(diǎn),C為圓外一點(diǎn),且∠E+∠C=90°.
(1)求證:BC為⊙O的切線;
(2)若sin A=,BC=6,求⊙O的半徑.
2.(2017·濟(jì)寧)如圖,已知⊙O的直徑AB=12,弦AC=10,D是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)求AE的長(zhǎng).
類型二 切線的性質(zhì)
已知某條直線是圓的切線,當(dāng)圓心與切點(diǎn)有線段連接時(shí),直接利用切線的性質(zhì):圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑;當(dāng)圓心與切點(diǎn)沒(méi)有線段相連時(shí),則作輔助線連接圓心與切點(diǎn),再利用切線的性
3、質(zhì)解題.
(2016·資陽(yáng))如圖,在⊙O中,點(diǎn)C是直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線,切點(diǎn)為D,連接BD.
(1)求證:∠A=∠BDC;
(2)若CM平分∠ACD,且分別交AD,BD于點(diǎn)M,N,當(dāng)DM=1時(shí),求MN的長(zhǎng).
【分析】 (1)連接OD,由切線的性質(zhì)可得∠CDB+∠ODB=90°,由AB是直徑,可得∠ADB=90°,進(jìn)而可得∠A+∠ABD=90°,從而證得∠A=∠BDC;(2)由角平分線及三角形外角性質(zhì)可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM,即∠DMN=∠DNM,再根據(jù)勾股定理求得MN的長(zhǎng).
3.(2016·南平)如圖,PA,PB是⊙O切線,A,B為
4、切點(diǎn),點(diǎn)C在PB上,OC∥AP,CD⊥AP于點(diǎn)D.
(1)求證:OC=AD;
(2)若∠P=50°,⊙O的半徑為4,求四邊形AOCD的周長(zhǎng).(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):sin 50°≈0.766,cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.92)
4.(2017·長(zhǎng)沙)如圖,AB與⊙O相切于點(diǎn)C,OA,OB分別交⊙O于點(diǎn)D,E,=.
(1)求證:OA=OB;
(2)已知AB=4,OA=4,求陰影部分的面積.
類型三 圓與相似的綜合
圓與相似的綜合主要體現(xiàn)在圓與相似三角形的綜合,一般結(jié)合切線的性質(zhì)及判定綜合考查,
5、求線段長(zhǎng)或半徑.一般的解題思路是利用切線的性質(zhì)構(gòu)造角相等,進(jìn)而構(gòu)造相似三角形,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出所求線段或半徑.
(2016·荊門)如圖,AB是⊙O的直徑,AD是⊙O的弦,點(diǎn)F是DA延長(zhǎng)線的一點(diǎn),AC平分∠FAB交⊙O于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DF,垂足為點(diǎn)E.
(1)求證:CE是⊙O的切線;
(2)若AE=1,CE=2,求⊙O的半徑.
【分析】 (1)連接CO,證得∠OCA=∠CAE,由平行線的判定得到OC∥FD,再證得OC⊥CE即可;(2)連接BC,由圓周角定理得到∠BCA=90°,再證得△ABC∽△ACE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得半徑.
6、
5.(2017·德州)如圖,已知Rt△ABC,∠C=90°,D為BC的中點(diǎn).以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AE∶EB=1∶2,BC=6,求AE的長(zhǎng).
6.(2017·黃岡)如圖,已知MN為⊙O的直徑,ME是⊙O的弦,MD垂直于過(guò)點(diǎn)E的直線DE,垂足為點(diǎn)D,且ME平分∠DMN.
求證:(1)DE是⊙O的切線;
(2)ME2=MD·MN.
參考答案
【聚焦棗莊】
【例
7、1】 (1)∵AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,
∴∠ACB=90°,
∴AC==4.
(2)如圖,連接OC,
∵AC平分∠DAB,∴∠OAC=∠CAD.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∴∠OCA=∠CAD,∴OC∥AD.
∵AD⊥CD,∴OC⊥CD.
∵OC是⊙O的半徑,∴直線CD是⊙O的切線.
變式訓(xùn)練
1.(1)證明:∵∠A與∠E所對(duì)的弧都是,
∴∠A=∠E.
∵∠E+∠C=90°,
∴∠A+∠C=90°,
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=90°,即AB⊥BC.
∵AB是直徑,∴BC為⊙O的切線.
(2)解:∵sin A==,BC=6,
∴
8、AC=10.
在Rt△ABC中,AB==8,
∴AO=AB=4,即⊙O的半徑是4.
2.(1)證明:如圖,連接OD.
∵D是的中點(diǎn),∴=,
∴∠BOD=∠BAE,
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC,∴∠AED=90°,∴∠ODE=90°.
∴OD⊥DE,∴DE是⊙O 的切線.
(2)解:如圖,過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F.
∵AC=10,
∴AF=CF=AC=×10=5.
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°,
∴四邊形OFED是矩形,
∴FE=OD=AB=6,
∴AE=AF+FE=5+6=11.
【例2】 (1)如圖,連接OD,
∵CD是⊙O的切線,
∴
9、∠ODC=90°,
∴∠BDC+∠ODB=90°.
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠A+∠ABD=90°.
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,
∴∠A+∠ODB=90°,
∴∠A=∠BDC.
(2)∵CM平分∠ACD,∴∠DCM=∠ACM.
∵∠A=∠BDC,
∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM,
即∠DMN=∠DNM.
∵∠ADB=90°,DM=1,∴DN=DM=1,
∴MN==.
變式訓(xùn)練
3.(1)證明:∵PA是⊙O的切線,A為切點(diǎn),
∴OA⊥PA,即∠OAD=90°.
∵OC∥AP,
∴∠COA=180°-∠OAD=180°-90
10、°=90°.
∵CD⊥PA,∴∠CDA=∠OAD=∠COA=90°,
∴四邊形AOCD是矩形,∴OC=AD.
(2)解:∵PB切⊙O于點(diǎn)B,∴∠OBP=90°.
∵OC∥AP,∴∠BCO=∠P=50°.
在Rt△OBC中,sin∠BCO=,OB=4,
∴OC=≈5.22,
∴矩形OADC的周長(zhǎng)為2(OA+OC)=2×(4+5.22)≈18.4.
4.(1)證明:如圖,連接OC.
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)C,∴∠ACO=90°.
∵=,∴∠AOC=∠BOC,∴∠A=∠B,
∴OA=OB.
(2)解:由(1)可知△OAB是等腰三角形,
∴BC=AB=2,∴sin∠COB=
11、=,
∴∠COB=60°,∴∠B=30°,
∴OC=OB=2,∴S扇形OCE==,
S△OCB=×2×2=2,
∴S陰影=S△OCB-S扇形OCE=2-.
【例3】 (1)如圖,連接CO,
∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.
∵AC平分∠FAB,∴∠OAC=∠FAC,
∴∠OCA=∠FAC,∴OC∥FD.
∵CE⊥FD,∴CE⊥OC.
∵OC是⊙O的半徑,∴CE是⊙O的切線.
(2)如圖,連接BC,
在Rt△ACE中,AC==.
∵AB是⊙O的直徑,∴∠BCA=90°,
∴∠BCA=∠CEA.
∵∠CAE=∠BAC,∴△ACE∽△ABC,
∴=,即=,∴A
12、B=5,
∴AO=AB=2.5,
即⊙O的半徑是2.5.
變式訓(xùn)練
5.(1)證明:如圖,連接OE,CE.
∵AC是⊙O的直徑,∴∠AEC=∠BEC=90°.
∵D是BC的中點(diǎn),
∴ED=BC=DC,∴∠1=∠2.
∵OE=OC,∴∠3=∠4,
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD.
∵∠ACD=90°,∴∠OED=90°,即OE⊥DE.
又∵E是⊙O上一點(diǎn),∴DE是⊙O的切線.
(2)解:由(1)知∠BEC=90°.
在Rt△BEC與Rt△BCA中,∠B為公共角,
∴△BEC∽△BCA,∴=,
即BC2=BE·BA.
∵AE∶EB=1∶2,設(shè)AE=x,則BE=2x,BA=3x.
又∵BC=6,∴62=2x·3x,
∴x=,即AE=.
6.證明:(1)∵M(jìn)E平分∠DMN,∴∠OME=∠DME.
∵OM=OE,∴∠OME=∠OEM,
∴∠DME=∠OEM,∴OE∥DM.
∵DM⊥DE,∴OE⊥DE.
∵OE是⊙O的半徑,∴DE是⊙O的切線.
(2)如圖,連接EN,
∵DM⊥DE,MN為⊙O的直徑,
∴∠MDE=∠MEN=90°,
∵∠NME=∠DME,∴△MDE∽△MEN,
∴=,∴ME2=MD·MN.
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