《高三數(shù)學(xué)理高考二輪復(fù)習(xí)專題學(xué)案系列課件：專題五立體幾何新人教版學(xué)案17 空間向量與立體幾何》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)理高考二輪復(fù)習(xí)專題學(xué)案系列課件：專題五立體幾何新人教版學(xué)案17 空間向量與立體幾何（78頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、1.1.空間向量及其運(yùn)算空間向量及其運(yùn)算: :了解空間向量的概念了解空間向量的概念, ,了解空了解空 間向量的基本定理及其意義間向量的基本定理及其意義, ,掌握空間向量的正交分掌握空間向量的正交分 解及其坐標(biāo)表示解及其坐標(biāo)表示. .掌握空間向量的線性運(yùn)算及坐標(biāo)掌握空間向量的線性運(yùn)算及坐標(biāo) 表示表示. .掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示, ,能運(yùn)能運(yùn) 用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直. .2.2.空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用: :理解直線的方向向量與平面的理解直線的方向向量與平面的 法向量法向量, ,能運(yùn)用向量語言表述直線與直線
2、能運(yùn)用向量語言表述直線與直線, ,直線與平直線與平學(xué)案學(xué)案17 17 空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何 面面, ,平面與平面的垂直關(guān)系與平行關(guān)系平面與平面的垂直關(guān)系與平行關(guān)系. .能運(yùn)用向量能運(yùn)用向量的方法證明有關(guān)直線與平面位置關(guān)系的一些定理的方法證明有關(guān)直線與平面位置關(guān)系的一些定理( (包包括三垂線定理括三垂線定理).).能運(yùn)用向量的方法解決直線與直能運(yùn)用向量的方法解決直線與直線線, ,直線與平面直線與平面, ,平面與平面的夾角的計算平面與平面的夾角的計算, ,了解向量了解向量方法在研究立體幾何中的應(yīng)用方法在研究立體幾何中的應(yīng)用. . 1.(20091.(2009北京北京) )若正四棱柱
3、若正四棱柱ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面的底面 邊長為邊長為1,1,ABAB1 1與底面與底面ABCDABCD成成6060角角, ,則則A A1 1C C1 1到底面到底面 ABCDABCD的距離為的距離為 ( )( ) A. B.1 C. D. A. B.1 C. D. 解析解析 如圖所示如圖所示, ,直線直線ABAB1 1與底面與底面 ABCDABCD所成的角為所成的角為B B1 1ABAB, ,而而A A1 1C C1 1到到 底面底面ABCDABCD的距離為的距離為AAAA1 1, ,在在RtRtABBABB1 1 中中, ,B B1 1B B=
4、 =ABABtan 60tan 60= ,= ,所以所以AAAA1 1 = =BBBB1 1= = 3332. 33D D2.(20092.(2009全國全國)已知正四棱柱已知正四棱柱ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, , AAAA1 1=2=2ABAB, ,E E為為AAAA1 1的中點，則異面直線的中點，則異面直線BEBE與與CDCD1 1所成所成 角的余弦值為角的余弦值為 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 如圖如圖, ,連結(jié)連結(jié)A A1 1B B, ,則則A A1 1B BCDCD1 1, , 故異面直線故異面直線
5、BEBE與與CDCD1 1所成的角即為所成的角即為 BEBE與與A A1 1B B所成的角所成的角. .設(shè)設(shè)ABAB= =a a, ,則則A A1 1E E= = a a, ,A A1 1B B= = BEBE= = A A1 1BEBE中中, ,由余弦定理得由余弦定理得 1010531010351,5a.2a.10103522522cos2221212121aaaaaBABEEABABEBEAC C3.(20093.(2009四川四川) )如圖如圖, ,已知正三棱柱已知正三棱柱 ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1的各條棱長都相等的各條棱長都相等, , MM是側(cè)棱是側(cè)棱CCCC1
6、 1的中點的中點, ,則異面直線則異面直線 ABAB1 1和和BMBM所成的角的大小是所成的角的大小是_._. 解析解析 延長延長A A1 1B B1 1至至D D, ,使使A A1 1B B1 1= =B B1 1D D, , 則則ABAB1 1BDBD,MBDMBD就是直線就是直線ABAB1 1和和 BMBM所成的角所成的角. . 設(shè)三棱柱的各條棱長為設(shè)三棱柱的各條棱長為2 2， 則則BMBM= = BDBD= = = =16+4-216+4-24=12.4=12. ,5,2260cos21112112121CADACADADC DM DM2 2= =C C1 1D D2 2+ +C C1
7、 1MM2 2=13,=13, DBMDBM=90=90. . 答案答案 90904.4.若一個底面邊長為若一個底面邊長為 棱長為棱長為 的正六棱柱的所有的正六棱柱的所有 頂點都在一個球的面上頂點都在一個球的面上, ,則此球的體積為則此球的體積為_._. 解析解析 根據(jù)條件正六棱柱的最長的對角線為球的直根據(jù)條件正六棱柱的最長的對角線為球的直 徑徑, ,由由 球體積為球體積為, 02cos222BDBMDMBDBMDBM,26, 3,12)6()6()2(222RR得.34343R34,6題型一題型一 利用空間向量證明空間位置關(guān)系利用空間向量證明空間位置關(guān)系【例【例1 1】(2009(2009北
8、京北京) )如圖如圖, ,四棱錐四棱錐P P ABCDABCD的底面是正方形的底面是正方形, ,PDPD底面底面 ABCDABCD, ,點點E E在棱在棱PBPB上上. . (1) (1)求證求證: :平面平面AECAEC平面平面PDBPDB; ; (2) (2)當(dāng)當(dāng)PDPD= = ABAB且且E E為為PBPB的中點時的中點時, , 求求AEAE與平面與平面PDBPDB所成的角的大小所成的角的大小. .2方法一方法一 (1)(1)證明證明 四邊形四邊形ABCDABCD是正方形，是正方形，ACACBDBD. .PDPD平面平面ABCDABCD,PDPDACAC. .ACAC平面平面PDBPDB
9、.平面平面AECAEC平面平面PDBPDB. . (2)(2)解解 設(shè)設(shè)ACACBDBD= =O O, ,連結(jié)連結(jié)OEOE. .由由(2)(2)知知ACAC平面平面PDBPDB于于O O. .AEOAEO為為AEAE與平面與平面PDBPDB所成的角所成的角. .O O、E E分別為分別為DBDB、PBPB的中點，的中點，OEOEPDPD且且OEOE= = PDPD. .又又PDPD底面底面ABCDABCD，OEOE底面底面ABCDABCD, ,OEOEAOAO. .在在RtRtAOEAOE中中, ,AEOAEO=45=45, ,即即AEAE與平面與平面PDBPDB所成的角為所成的角為4545.
10、 . 21,2221AOABPDOE方法二方法二 如圖如圖, ,以以D D為原點建立空間直為原點建立空間直角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系D Dxyzxyz. .設(shè)設(shè)ABAB= =a a, ,PDPD= =h h, ,則則A A( (a a,0,0),0,0),B B( (a a, ,a a,0),0),C C(0,(0,a a,0),0),D D(0,0,0),(0,0,0),P P(0,0,(0,0,h h).).(1)(1)證明證明 =(-=(-a a, ,a a,0), =,0), =(0,0,(0,0,h h), =(), =(a a, ,a a,0),0),ACACDPDP, ,ACACBDBD.
11、 .又又BDBDDPDP= =D D, ,ACAC平面平面PDBPDB. .平面平面AECAEC平面平面PDBPDB. . ACDPDB. 0, 0DBACDPAC(2)(2)解解 當(dāng)當(dāng)PDPD= = ABAB且且E E為為PBPB的中點時的中點時, ,P P(0,0, ),(0,0, ),設(shè)設(shè)ACACBDBD= =O O, ,則則 連結(jié)連結(jié)OEOE. .由由(1)(1)知知ACAC平面平面PDBPDB于于O O. .AEOAEO為為AEAE與平面與平面PDBPDB所成的角所成的角. .AEOAEO=45=45, ,即即AEAE與平面與平面PDBPDB所成的角為所成的角為4545. .【探究拓
12、展探究拓展】本題主要考查直線和平面垂直、平面與】本題主要考查直線和平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查空平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力等間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力等. . 2a2).22,21,21(aaaE),0 ,21,21(aaO.22|cos),22, 0 , 0(),22,21,21(EOEAEOEAAEOaEOaaaEA變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1 1 如圖所示，四棱錐如圖所示，四棱錐P P ABCDABCD的底面的底面ABCDABCD是邊長為是邊長為1 1的菱的菱 形形,BCDBCD=60=60, ,E E是
13、是CDCD的中點的中點, , PAPA底面底面ABCDABCD, ,PAPA= = (1) (1)證明證明: :平面平面PBEPBE平面平面PABPAB； (2)(2)求二面角求二面角A ABEBEP P的大小的大小. .方法一方法一 (1)(1)證明證明 如圖所示如圖所示, ,連接連接BDBD, , 由由ABCDABCD是菱形且是菱形且BCDBCD=60=60知知, , BCDBCD是等邊三角形是等邊三角形. . 因為因為E E是是CDCD的中點的中點, ,所以所以BEBECDCD, ,. 3又又ABABCDCD, ,所以所以BEBEABAB. .又因為又因為PAPA平面平面ABCDABCD
14、, ,BEBE平面平面ABCDABCD, ,所以所以PAPABEBE. .而而PAPAABAB= =A A, ,因此因此BEBE平面平面PABPAB. .又又BEBE平面平面PBEPBE, ,所以平面所以平面PBEPBE平面平面PABPAB. .(2)(2)解解 由由(1)(1)知知, ,BEBE平面平面PABPAB, ,PBPB平面平面PABPAB, ,所以所以PBPBBEBE. .又又ABABBEBE, ,所以所以PBAPBA是二面角是二面角A ABEBEP P的平面角的平面角. .在在RtRtPABPAB中中,tan,tanPBAPBA= = PBAPBA=60=60. .故二面角故二面
15、角A ABEBEP P的大小是的大小是6060. . , 3ABPA方法二方法二 如圖所示如圖所示, ,以以A A為原點為原點, ,建建立空間直角坐標(biāo)系立空間直角坐標(biāo)系. .則相關(guān)各點的則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是坐標(biāo)分別是A A(0,0,0),(0,0,0),B B(1,0,0),(1,0,0),(1)(1)證明證明 因為因為 =(0, ,0),=(0, ,0),平面平面PABPAB的一個法向的一個法向量是量是n n0 0=(0,1,0),=(0,1,0),所以所以 和和n n0 0共線共線. .從而從而BEBE平面平面PABPAB. .又因為又因為BEBE平面平面PBEPBE, ,所以平面所以平
16、面PBEPBE平面平面PABPAB. . ).0 ,23, 1 (),3, 0 , 0(),0 ,23,21(),0 ,23,23(EPDCBE23BE(2)(2)解解 易知易知 =(1,0, ), =(0, ,0),=(1,0, ), =(0, ,0),設(shè)設(shè)n n1 1=(=(x x1 1, ,y y1 1, ,z z1 1) )是平面是平面PBEPBE的一個法向量，的一個法向量，所以所以y y1 1=0,=0,x x1 1= = z z1 1. .故可取故可取n n1 1=( ,0,1).=( ,0,1).而平面而平面ABEABE的一個法向量是的一個法向量是n n2 2=(0,0,1).=
17、(0,0,1).于是于是,cos,cosn n1 1, ,n n2 2故二面角故二面角A ABEBEP P的大小是的大小是6060. . 233PBBE. 00230, 030111111zyxzyx則有33.21|2121nnnn題型二題型二 利用空間向量求空間角利用空間向量求空間角【例【例2 2】如圖所示】如圖所示, ,在三棱錐在三棱錐S SABCABC 中中, ,側(cè)面?zhèn)让鍿ABSAB與側(cè)面與側(cè)面SACSAC均為等邊三均為等邊三 角形角形,BACBAC=90=90, ,O O為為BCBC中點中點. . (1) (1)證明證明: :SOSO平面平面ABCABC; ; (2) (2)求二面角求
18、二面角A ASCSCB B的余弦值的余弦值. . (1)(1)證明證明 由題設(shè)由題設(shè)ABAB= =ACAC= =SBSB= =SCSC= =SASA. .ABCABC為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，連結(jié)連結(jié)OAOA, ,所以所以O(shè)AOA= =OBOB= =OCOC= = SASA, ,且且AOAOBCBC, ,又又SBCSBC為等腰三角形為等腰三角形, ,故故SOSOBCBC, ,且且SOSO= = SASA, ,從而從而OAOA2 2+ +SOSO2 2= =SASA2 2，所以所以SOASOA為直角三角形為直角三角形, ,SOSOAOAO. .又又AOAOBCBC= =O O, ,所以
19、所以SOSO平面平面ABCABC. . 2222(2)(2)解解 方法一方法一 取取SCSC中點中點MM, ,連結(jié)連結(jié)AMAM, ,OMOM, ,由由(1)(1)知知SOSO= =OCOC, ,SASA= =ACAC, ,得得OMOMSCSC, ,AMAMSCSC. .OMAOMA為二面角為二面角A ASCSCB B的平面角的平面角. .由由AOAOBCBC, ,AOAOSOSO, ,SOSOBCBC= =O O得得AOAO平面平面SBCSBC, ,所以所以AOAOOMOM, ,又又AMAM= = SASA, ,所以二面角所以二面角A ASCSCB B的余弦值為的余弦值為 23,3632sin
20、AMAOAMO故.33方法二方法二 以以O(shè) O為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點, ,射線射線OBOB、OAOA、OSOS分別為分別為x x軸軸, ,y y軸軸, ,z z軸的正半軸的正半軸軸, ,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系系O Oxyzxyz, ,設(shè)設(shè)B B(1,0,0),(1,0,0),則則C C(-1,0,0),(-1,0,0),A A(0,1,0),(0,1,0),S S(0,0,1).(0,0,1). 0, 0).1, 0 , 1(),21, 1 ,21(),21, 0 ,21(),21, 0 ,21(SCMASCMOSCMAMOMSC的中點 故故MOMOSCSC, ,
21、MAMASCSC, , 的大小等于二面角的大小等于二面角A ASCSCB B的平面角的平面角. . 所以二面角所以二面角A ASCSCB B的余弦值為的余弦值為 【探究拓展探究拓展】利用向量解決二面角的問題時】利用向量解決二面角的問題時, ,一定要一定要 注意法向量的方向注意法向量的方向, ,否則易求成其補(bǔ)角否則易求成其補(bǔ)角, ,再觀察圖形再觀察圖形 才能確定其具體值才能確定其具體值. . MAMO,33|,cosMAMOMAMOMAMO.33變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2 2 如圖所示如圖所示, ,正四棱柱正四棱柱AB-AB- CD CDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,AAAA
22、1 1=2=2ABAB=4,=4,點點E E在在 CCCC1 1上且上且C C1 1E E=3=3ECEC. . (1) (1)證明證明: :A A1 1C C平面平面BEDBED; ; (2) (2)求二面角求二面角A A1 1DEDEB B的余弦值的余弦值. . 方法一方法一 (1)(1)證明證明 依題設(shè)依題設(shè), ,ABAB=2,=2,CECE=1.=1. 連接連接ACAC交交BDBD于點于點F F, ,則則BDBDACAC. . 由三垂線定理知由三垂線定理知, ,BDBDA A1 1C C. . 在平面在平面A A1 1CACA內(nèi)內(nèi), ,連接連接EFEF交交A A1 1C C于點于點G
23、G, , 故故RtRtA A1 1ACACRtRtFCEFCE,AAAA1 1C C=CFECFE, ,221CEACFCAA由于CFECFE與與FCAFCA1 1互余互余. .于是于是A A1 1C CEFEF. . A A1 1C C與平面與平面BEDBED內(nèi)兩條相交直線內(nèi)兩條相交直線BDBD, ,EFEF都垂直都垂直, ,所以所以A A1 1C C平面平面BEDBED. .(2)(2)解解 作作GHGHDEDE, ,垂足為垂足為H H, ,連接連接A A1 1H H. .由三垂線定理知由三垂線定理知A A1 1H HDEDE, ,故故A A1 1HGHG是二面角是二面角A A1 1DED
24、EB B的平面角的平面角. .32, 322EFCFCECGCECFEF所以二面角所以二面角A A1 1DEDEB B的余弦值為的余弦值為 . 55tan.365,62.15231,31,331111221122HGGAHGACGCAGAACAACADEFDEFGHEFEGCGCEEG又.4214方法二方法二 以以D D為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點, ,分別以分別以DADA、DCDC、DDDD1 1為為x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸軸, ,建立如圖所示直角坐標(biāo)系建立如圖所示直角坐標(biāo)系D Dxyzxyz. .依題設(shè)依題設(shè), ,B B(2,2,0),(2,2,0),C C(0,2,0),(0,2,0
25、),E E(0,2,1),(0,2,1),A A1 1(2,0,4).(2,0,4). =(0,2,1), =(2,2,0), =(0,2,1), =(2,2,0), =(-2,2,-4), =(2,0,4). =(-2,2,-4), =(2,0,4).(1)(1)證明證明 因為因為故故A A1 1C CBDBD, ,A A1 1C CDEDE. .又又DBDBDEDE= =D D，所以，所以A A1 1C C平面平面DBEDBE. . DECA11DADB, 0, 011DECADBCA(2)(2)解解 設(shè)向量設(shè)向量n n=(=(x x, ,y y, ,z z) )是平面是平面DADA1 1
26、E E的法向量的法向量, ,則則n n , ,n n 故故2 2y y+ +z z=0,2=0,2x x+4+4z z=0,=0,令令y y=1,=1,則則z z=-2,=-2,x x=4,=4,n n=(4,1,-2).=(4,1,-2). 等于二面角等于二面角A A1 1DEDEB B的平面角的大小的平面角的大小, ,所以二面角所以二面角A A1 1DEDEB B的余弦值為的余弦值為 DE.1DACAn1,.4214|,cos111CAnCAnCAn.4214題型三題型三 利用空間向量求距離利用空間向量求距離【例【例3 3】(2009(2009江西江西) )在四棱錐在四棱錐 P PABCD
27、ABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是矩形是矩形, , PAPA平面平面ABCDABCD, ,PAPA= =ADAD=4,=4,ABAB= = 2, 2,以以ACAC中點中點O O為球心為球心, ,ACAC為直徑為直徑 的球面交的球面交PDPD于點于點MM, ,交交PCPC于點于點N N. . (1) (1)求證求證: :平面平面ABMABM平面平面PCDPCD, , (2) (2)求直線求直線CDCD與平面與平面ACMACM所成的角的大??；所成的角的大??； (3)(3)求點求點N N到平面到平面ACMACM的距離的距離. . 方法一方法一 (1)(1)證明證明 依題設(shè)知依題設(shè)知, ,A
28、CAC是所作球面的直徑是所作球面的直徑, ,則則AMAMMCMC. .又因為又因為PAPA平面平面ABCDABCD, ,所以所以PAPACDCD. .又又CDCDADAD, ,ADADPAPA= =A A, ,所以所以CDCD平面平面PADPAD. .所以所以CDCDAMAM. .AMAMMCMC= =MM, ,所以所以AMAM平面平面PCDPCD, ,AMAM平面平面ABMABM, ,所以平面所以平面ABMABM平面平面PCDPCD. . (2)(2)解解 由由(1)(1)知知, ,AMAMPDPD, ,又又PAPA= =ADAD, ,則則MM是是PDPD的中的中點點, ,可得可得AMAM=
29、 = 且且MM到平面到平面ABCDABCD的距離為的距離為2.2.設(shè)設(shè)D D到平面到平面ACMACM的距離為的距離為h h, ,由由V VD DACMACM= =V VMMACDACD, ,設(shè)所求角為設(shè)所求角為 , ,則則22. 4,6221. 3222ACDACMSMCAMSCDMDMC則.362, 862hh可求得即.36arcsin,36sinCDh(3)(3)解解 由由(1)(1)可求得可求得PCPC=6,=6,因為因為ANANNCNC, ,由由得得PNPN= = 所以所以NCNC: :PCPC=5:9.=5:9.故點故點N N到平面到平面ACMACM的距離等于點的距離等于點P P到平
30、面到平面ACMACM距離的距離的又因為又因為MM是是PDPD的中點的中點, ,則則P P、D D到平面到平面ACMACM的距離相等的距離相等. .由由(2)(2)可知所求的距離為可知所求的距離為,PCPAPAPN,38.95.2761095h方法二方法二 (1)(1)同方法一同方法一; ;(2)(2)解解 如圖所示如圖所示, ,建立空間直角坐建立空間直角坐標(biāo)系標(biāo)系, ,則則A A(0,0,0),(0,0,0),P P(0,0,4),(0,0,4),B B(2,0,(2,0,0),0),C C(2,4,0),(2,4,0),D D(0,4,0),(0,4,0),MM(0,2,2).(0,2,2)
31、.設(shè)平面設(shè)平面ACMACM的一個法向量的一個法向量n n=(=(x x, ,y y, ,z z),),令令z z=1,=1,則則n n=(2,-1,1).=(2,-1,1).設(shè)所求角為設(shè)所求角為 , ,則則所求角的大小為所求角的大小為022, 042,zyyxAMnACn可得由.36|,cos|sinnCDnCDnCD.36arcsin(3)(3)解解 由條件可得由條件可得, ,ANANNCNC, ,在在RtRtPACPAC中中, ,PAPA2 2= =PNPNPCPC, ,所以所以PNPN= =所求距離等于點所求距離等于點P P到平面到平面ACMACM距離的距離的 設(shè)點設(shè)點P P到平面到平面
32、ACMACM的距離為的距離為h h, ,則則 所以所求距離為所以所求距離為 ,38.95,310PCNCPNPCNC則.95.2761095h,362|nnAPh【探究拓展探究拓展】在空間圖形中】在空間圖形中, ,如果線段較多如果線段較多, ,關(guān)系較為關(guān)系較為 復(fù)雜復(fù)雜( (如平行、垂直、角和距離等均有涉及如平行、垂直、角和距離等均有涉及),),常常需常常需 要多種方法靈活使用要多種方法靈活使用, ,合理結(jié)合合理結(jié)合, ,才能達(dá)到較為理想才能達(dá)到較為理想 的效果的效果, ,在建立坐標(biāo)后在建立坐標(biāo)后, ,應(yīng)根據(jù)條件首先確定相應(yīng)點應(yīng)根據(jù)條件首先確定相應(yīng)點 的坐標(biāo)，然后通過向量的坐標(biāo)計算解決相應(yīng)問題
33、的坐標(biāo)，然后通過向量的坐標(biāo)計算解決相應(yīng)問題. . 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3 3 如圖所示如圖所示, ,在四棱錐在四棱錐P PABCDABCD中中, ,側(cè)面?zhèn)让?PADPAD底面底面ABCDABCD, ,側(cè)棱側(cè)棱PAPA= =PDPD= = , ,底面底面ABCDABCD為直角梯形為直角梯形, ,其中其中 BCBCADAD, ,ABABADAD, ,ADAD=2=2ABAB= = 2 2BCBC=2,=2,O O為為ADAD中點中點. . (1) (1)求證求證: :POPO平面平面ABCDABCD; ; (2) (2)求異面直線求異面直線PBPB與與CDCD所成角的余弦值；所成角的余弦值； (3)(
34、3)求點求點A A到平面到平面PCDPCD的距離的距離. . 2方法一方法一 (1)(1)證明證明 在在PADPAD中中, ,PAPA= =PDPD, ,O O為為ADAD中點中點, ,所以所以POPOADAD. .又側(cè)面又側(cè)面PADPAD底面底面ABCDABCD, ,平面平面PADPAD平面平面ABCDABCD= =ADAD, ,POPO平面平面PADPAD, ,所以所以POPO平面平面ABCDABCD. .(2)(2)解解 連接連接BOBO, ,在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中中, ,BCBCADAD, ,ADAD=2=2ABAB=2=2BCBC，又又ODODBCBC且且OD=BCO
35、D=BC，所以四邊形所以四邊形OBCDOBCD是平行四邊形，是平行四邊形，所以所以O(shè)BOBDCDC. . 由由(1)(1)知知, ,POPOOBOB,PBOPBO為銳角為銳角, ,所以所以PBOPBO是異面直線是異面直線PBPB與與CDCD所成的角所成的角. .因為因為ADAD=2=2ABAB=2=2BCBC=2=2，在在RtRtAOBAOB中中, ,ABAB=1,=1,AOAO=1,=1,所以所以O(shè)BOB= = 在在RtRtPOAPOA中中, ,因為因為APAP= = AOAO=1,=1,所以所以O(shè)POP=1,=1,在在RtRtPBOPBO中中, ,所以異面直線所以異面直線PBPB與與CDC
36、D所成的角的余弦值為所成的角的余弦值為 ,2,2, 322OBOPPB,3632cosPBOBPBO.36(3)(3)解解 由由(2)(2)得得CDCD= =OBOB= = 在在RtRtPOCPOC中中, ,所以所以PCPC= =CDCD= =DPDP, ,S SPCDPCD= =又又S SACDACD= = ADADABAB=1,=1,設(shè)點設(shè)點A A到平面到平面PCDPCD的距離為的距離為h h, ,由由V VP PACDACD= =V VA APCDPCD, ,得得 S SACDACDOPOP= = S SPCDPCDh h, ,方法二方法二 (1)(1)同方法一同方法一. .2,222O
37、POCPC.23243213131.332,23311131hh 解得即(2)(2)解解 以以O(shè) O為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點, , 的方向分別為的方向分別為x x 軸軸、y y軸軸、z z軸的正方向軸的正方向, ,建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系O Oxyzxyz. .則則A A(0,-1,0),(0,-1,0),B B(1,-1,0),(1,-1,0),C C(1,0,0),(1,0,0),D D(0,1,0),(0,1,0),P P(0,0,1).(0,0,1).所以異面直線所以異面直線PBPB與與CDCD所成的角的余弦值為所成的角的余弦值為 ,362311|,cos),1, 1, 1 (
38、),0 , 1 , 1(CDPBCDPBCDPBPBCD則所以.36OP、OD、OC(3)(3)解解 設(shè)平面設(shè)平面PCDPCD的法向量為的法向量為n n=(=(x x0 0, ,y y0 0, ,z z0 0),),由由(2)(2)知知 =(-1,0,1), =(-1,1,0),=(-1,0,1), =(-1,1,0),即即x x0 0= =y y0 0= =z z0 0, ,取取x x0 0=1,=1,得平面的一個法向量為得平面的一個法向量為n n=(1,1,1),=(1,1,1),又又 =(1,1,0).=(1,1,0).從而點從而點A A到平面到平面PCDPCD的距離的距離CPCD,00
39、,000000yxzxCDnCPn所以則AC.33232|nnACd題型四題型四 利用空間向量解決探索性問題利用空間向量解決探索性問題【例【例4 4】(2009(2009北京北京) )如圖如圖, ,在三棱錐在三棱錐 P PABCABC中中, ,PAPA底面底面ABCABC, ,PAPA= =ABAB, , ABCABC=60=60,BCABCA=90=90, ,點點D D、E E 分別在棱分別在棱PBPB、PCPC上上, ,且且DEDEBCBC. . (1) (1)求證求證: :BCBC平面平面PACPAC. . (2) (2)當(dāng)當(dāng)D D為為PBPB的中點時的中點時, ,求求ADAD與平面與平
40、面PACPAC所成的角的所成的角的 大小大小. . (3) (3)是否存在點是否存在點E E使得二面角使得二面角A ADEDEP P為直二面角？為直二面角？ 并說明理由并說明理由. . 方法一方法一 (1)(1)證明證明 PAPA底面底面ABCABC,PAPABCBC. .又又BCABCA=90=90,ACACBCBC. .又又ACACPAPA= =A A,BCBC平面平面PACPAC. .(2)(2)解解 D D為為PBPB的中點的中點, ,DEDEBCBC,DEDE= = BCBC. .又由又由(1)(1)知知, ,BCBC平面平面PACPAC, ,DEDE平面平面PACPAC, ,垂足為
41、點垂足為點E E. .DAEDAE是是ADAD與平面與平面PACPAC所成的角所成的角. .PAPA底面底面ABCABC,PAPAABAB. .又又PAPA= =ABAB,ABPABP為等腰直角三角形為等腰直角三角形. .ADAD= = ABAB. .在在RtRtABCABC中中,ABCABC=60=60, ,2122BCBC= = ABAB.DEDE= = ABAB. .在在RtRtADEADE中，中，sinsinDAEDAE= =ADAD與平面與平面PACPAC所成的角的大小為所成的角的大小為(3)(3)解解 DEDEBCBC, ,又由又由(1)(1)知知, ,BCBC平面平面PACPAC
42、, ,DEDE平面平面PACPAC. .又又AEAE平面平面PACPAC, ,PEPE平面平面PACPAC, ,DEDEAEAE, ,DEDEPEPE. .AEPAEP為二面角為二面角A ADEDEP P的平面角的平面角. .PAPA底面底面ABCABC,PAPAACAC,PACPAC=90=90. .在棱在棱PCPC上存在一點上存在一點E E, ,使得使得AEAEPCPC. .這時這時,AEPAEP=90=90, ,故存在點故存在點E E使得二面角使得二面角A ADEDEP P是直二面角是直二面角. . 2141.42ADDE.42arcsin方法二方法二 如圖所示如圖所示, ,以以A A為
43、原點建立為原點建立空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) Axyzxyz, ,設(shè)設(shè)PAPA= =a a, ,由已知可得由已知可得A(A(0,0,0),0,0,0),P P(0,0,(0,0,a a).).(1)(1)證明證明 =(0,0, =(0,0,a a),), =( ,0,0), =( ,0,0), BCBCAPAP. .又又BCABCA=90=90,BCBCACAC, ,又又ACACAPAP= =A A,BCBC平面平面PACPAC. . ),0 ,23, 0(),0 ,23,21(aCaaB APBCa21, 0APBC(2)(2)解解 D D為為PBPB的中點的中點, ,DEDEBCBC,
44、E E為為PCPC的中點的中點, ,又由又由(1)(1)知知, ,BCBC平面平面PACPAC, ,DEDE平面平面PACPAC, ,垂足為點垂足為點E E. .DAEDAE是是ADAD與平面與平面PACPAC所成的角，所成的角，ADAD與平面與平面PACPAC所成的角的大小為所成的角的大小為),21,43, 0(),21,43,41(aaEaaaD .414|cos),21,43, 0(),21,43,41(AEADAEADDAEaaAEaaaAD.414arccos (3) (3)同方法一同方法一. .【探究拓展探究拓展】本題主要考查直線和平面垂直、直線與】本題主要考查直線和平面垂直、直線
45、與 平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識, ,考查空間想象能考查空間想象能 力、運(yùn)算能力和推理論證能力力、運(yùn)算能力和推理論證能力. . 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練4 4 (2009 (2009福建福建) )如圖所如圖所 示示, ,四邊形四邊形ABCDABCD是邊長為是邊長為1 1的正方的正方 形形, ,MDMD平面平面ABCDABCD, ,NBNB平面平面 ABCDABCD, ,且且MDMD= =NBNB=1,=1,E E為為BCBC的中點的中點. . (1) (1)求異面直線求異面直線NENE與與AMAM所成角的余弦值；所成角的余弦值； (2)(2)在線段在線段ANAN上是否存
46、在點上是否存在點S S, ,使得使得ESES平面平面AMNAMN？ 若存在，求線段若存在，求線段ASAS的長；若不存在，請說明理由的長；若不存在，請說明理由. . 解解 (1)(1)如圖如圖, ,以以D D為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點, ,建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系 D Dxyzxyz. . 依題意依題意, ,易得易得D D(0,0,0),(0,0,0),A A(1,0,0),(1,0,0), MM(0,0,1),(0,0,1),C C(0,1,0),(0,1,0),B B(1,1,0),(1,1,0), N N(1,1,1),(1,1,1),E E( ,1,0).( ,1,0). 異面直線
47、異面直線NENE與與AMAM所成角的余弦值為所成角的余弦值為 21.101022521|,cos).1 , 0 , 1(),1, 0 ,21(AMNEAMNEAMNEAMNE.1010(2)(2)假設(shè)在線段假設(shè)在線段ANAN上存在點上存在點S S, ,使得使得ESES平面平面AMNAMN. .由由ESES平面平面AMNAMN, ,得得經(jīng)檢驗經(jīng)檢驗, ,當(dāng)當(dāng)ASAS= = 時時, ,ESES平面平面AMNAMN. .故線段故線段ANAN上存在點上存在點S S, ,使得使得ESES平面平面AMNAMN, ,此時此時ASAS= = )., 1,21(),0 , 1,21(), 0(),1 , 1 ,
48、 0(ASEAESEAANASAN又可設(shè), 0, 0ANESAMES.22|),21,21, 0(,21. 0) 1(, 021ASAS此時故即22.22【考題再現(xiàn)】【考題再現(xiàn)】(2009(2009四川四川) )如圖如圖, ,正方形正方形ABCDABCD所所 在平面與平面四邊形在平面與平面四邊形ABEFABEF所在平所在平 面互相垂直面互相垂直, ,ABEABE是等腰直角三是等腰直角三 角形角形, ,ABAB= =AEAE, ,FAFA= =FEFE,AEFAEF=45=45. . (1) (1)求證求證: :EFEF平面平面BCEBCE. . (2) (2)設(shè)線段設(shè)線段CDCD的中點為的中點
49、為P P, ,在直線在直線AEAE上是否存在一點上是否存在一點 MM, ,使得使得PMPM平面平面BCEBCE？若存在？若存在, ,請指出點請指出點MM的位置的位置, , 并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論; ;若不存在若不存在, ,請說明理由請說明理由; ; (3) (3)求二面角求二面角F FBDBDA A的余弦值的余弦值. . 【解題示范解題示范】(1)(1)證明證明 因為因為ABEABE為等為等腰直角三角形腰直角三角形, ,ABAB= =AEAE, ,所以所以AEAEABAB. .又因為平面又因為平面ABEFABEF平面平面ABCDABCD, ,AEAE平面平面ABEFABEF, ,平面平面
50、ABEFABEF平面平面ABCDABCD= =ABAB, ,所以所以AEAE平面平面ABCDABCD. .所以所以AEAEADAD. .因此因此, ,ADAD, ,ABAB, ,AEAE兩兩垂直兩兩垂直, ,以以A A為坐標(biāo)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)系原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ) Axyzxyz. .設(shè)設(shè)ABAB=1,=1,則則AEAE=1,=1,B B(0,1,0),(0,1,0),D D(1,0,0),(1,0,0),E E(0,0,1),(0,0,1),C C(1,1,0).(1,1,0).因為因為FAFA= =FEFE,AEFAEF=45=45, ,所以所以AFEAFE=90=
51、90. . 從而從而, , 所以所以 =(0,-1,1), =(1,0,0).=(0,-1,1), =(1,0,0).所以所以EFEFBEBE, ,EFEFBCBC. .因為因為BEBE平面平面BCEBCE, ,BCBC平面平面BCEBCE, ,BCBCBEBE= =B B, ,所以所以EFEF平面平面BCEBCE. . 4 4分分).21,21, 0( F),21,21, 0(EFBEBC. 0, 021210BCEFBEEF(2)(2)解解 存在點存在點MM, ,當(dāng)當(dāng)MM為為AEAE中點時中點時, ,PMPM平面平面BCEBCE. .所以所以PMPMFEFE, ,又又EFEF平面平面BCE
52、BCE, ,直線直線PMPM平面平面BCEBCE, ,故故PMPM平面平面BCEBCE. . 8 8分分(3)(3)解解 設(shè)平面設(shè)平面BDFBDF的一個法向量為的一個法向量為n n1 1, ,并設(shè)并設(shè)n n1 1=(=(x x, ,y y, ,z z) ). .0)21,21, 0()21,21, 1(),21,21, 1().0 ,21, 1 (),21, 0 , 0(EFPMPMPM于是從而. 02132. 0, 0, 0).21,23, 0(),0 , 1, 1 (11zyyxBFnBDnBFBD即取取y y=1,=1,則則x x=1,=1,z z=3.=3.從而從而n n1 1=(1,
53、1,3).=(1,1,3).取平面取平面ABDABD的一個法向量為的一個法向量為n n2 2=(0,0,1).=(0,0,1).故二面角故二面角F FBDBDA A的余弦值為的余弦值為 1212分分.111131113|,cos212121nnnnnn.11113從近幾年的高考試題看，立體幾何解答題大多為可用從近幾年的高考試題看，立體幾何解答題大多為可用向量向量( (坐標(biāo)坐標(biāo)) )法求解法求解, ,從而使解題更簡捷有效從而使解題更簡捷有效, ,對空間向?qū)臻g向量的考查主要集中于對向量概念和運(yùn)算的考查，特別量的考查主要集中于對向量概念和運(yùn)算的考查，特別是平行、垂直關(guān)系及夾角、距離的運(yùn)算，要結(jié)合直
54、線是平行、垂直關(guān)系及夾角、距離的運(yùn)算，要結(jié)合直線的方向向量及平面的法向量，這些方法比傳統(tǒng)的空間的方向向量及平面的法向量，這些方法比傳統(tǒng)的空間關(guān)系幾何法具備明顯的優(yōu)越性關(guān)系幾何法具備明顯的優(yōu)越性. .利用空間向量解決立體幾何問題的策略：利用空間向量解決立體幾何問題的策略：1.1.基向量法基向量法: :利用空間向量基本定理利用空間向量基本定理, ,用一組基底把有用一組基底把有 關(guān)空間向量表示出來，然后通過向量的有關(guān)運(yùn)算解關(guān)空間向量表示出來，然后通過向量的有關(guān)運(yùn)算解 決決. .2.2.坐標(biāo)法坐標(biāo)法: :通過建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系通過建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系, ,通過向量通過向量 的坐標(biāo)運(yùn)算解決問題
55、，其步驟為的坐標(biāo)運(yùn)算解決問題，其步驟為: :建立立體圖形與建立立體圖形與 空間向量的聯(lián)系，首先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系空間向量的聯(lián)系，首先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系, ,正確找到正確找到 相關(guān)點的坐標(biāo)，用空間向量表示問題中涉及的直線相關(guān)點的坐標(biāo)，用空間向量表示問題中涉及的直線 平面平面. .把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題. .通過向量通過向量 運(yùn)算運(yùn)算, ,研究點研究點、直線直線、平面之間的位置關(guān)系平面之間的位置關(guān)系( (如平行如平行、 垂直、共面垂直、共面) )以及它們之間的距離和夾角等問題以及它們之間的距離和夾角等問題. . 把向量的運(yùn)算結(jié)果把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成相應(yīng)的幾何
56、意義成相應(yīng)的幾何意義. . 一、選擇題一、選擇題 1.1.如圖在平行六面體如圖在平行六面體ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,MM是面是面BCCBCC1 1B B1 1的中的中 心心, ,若若 給出以下結(jié)論：給出以下結(jié)論： a a+ +b b+ +c c=2;=2; a a=1;=1;a a=2=2c c; ;a a= =b b, , 其中正確結(jié)論的個數(shù)是其中正確結(jié)論的個數(shù)是 ( )( ) A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.3 D.4 ;3231 b.1AAcADbABaAM解析解析 由題意知由題意知所以所以a a=1,=1,b b=
57、=c c= = 則則a a+ +b b+ +c c=2, =2, a a=1,=1,a a=2=2c c. .答案答案 D D 2.2.如圖如圖, ,在正方體在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中中, ,E E、F F、G G分別為分別為CDCD、AAAA1 1、BBBB1 1 的中點，則異面直線的中點，則異面直線EFEF與與D D1 1G G所成所成 的角的余弦值等于的角的余弦值等于 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. ,2121)(2111AAADABBBBCABBMABAM;21,3231 b183186126123解析解析
58、 建立以建立以DADA為為x x軸軸, ,DCDC為為y y軸軸, ,DDDD1 1為為z z軸的空間坐標(biāo)系軸的空間坐標(biāo)系, ,設(shè)設(shè)ABAB=2=2a a, ,則則F F(2(2a a,0,0,a a),),E E(0,(0,a a,0),0),G G(2(2a a,2,2a a, ,a a),),D D1 1(0,0,2(0,0,2a a),),所以所以 =(2=(2a a,-,-a a, ,a a),), =(2=(2a a,2,2a a,-,-a a),),答案答案 B BEFGD1.18663|cos2211aaGDEFGDEF所以3.3.已知點已知點P P, ,A A, ,B B,
59、,C C共面共面, ,點點O O不在該平面內(nèi)不在該平面內(nèi), ,S Sn n是等差是等差 數(shù)列數(shù)列 a an n 的前的前n n項和項和, ,且滿足且滿足: : 則則S S2 0092 009的值為的值為 ( )( ) A.2 007 B.2 008 A.2 007 B.2 008 C.2 009 D.2 010 C.2 009 D.2 010 解析解析 因點因點P P, ,A A, ,B B, ,C C共面共面, ,點點O O不在該面內(nèi)不在該面內(nèi), , 所以所以a a1 1+ +a a2 0092 009= =a a5 5+ +a a2 0052 005=2,=2,410074OCaOBaOA
60、aOP532141, 1)(21, 141214100525007453aaaaa即則.00922)(0092009210092aaS則C C4.(20084.(2008北京北京) )如圖所示如圖所示, ,動點動點P P在正在正 方體方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的對角線的對角線BDBD1 1 上上, ,過點過點P P作垂直于平面作垂直于平面BBBB1 1D D1 1D D的直的直 線線, ,與正方體表面相交于與正方體表面相交于MM、N N兩點兩點, , 設(shè)設(shè)BPBP= =x x, ,MNMN= =y y, ,則函數(shù)則函數(shù)y y= =f f( (x x)
61、)的圖象大致是的圖象大致是 ( )( )解析解析 如圖所示如圖所示, ,由題意知由題意知MNMN始終始終與平面與平面BBBB1 1D D1 1D D垂直垂直, ,則則MNMN應(yīng)在過應(yīng)在過BDBD1 1且與平面且與平面BBBB1 1D D1 1D D垂直的平面內(nèi)垂直的平面內(nèi), ,取取AAAA1 1的中點為的中點為O O, ,連結(jié)連結(jié)D D1 1O O、B B1 1O O, ,則平面則平面D D1 1OBOB即為過即為過BDBD1 1且與平面且與平面BBBB1 1D D1 1D D垂直的平面垂直的平面, ,則則MM的軌跡為線段的軌跡為線段OBOB或或ODOD1 1. .然后根據(jù)解三角形的知然后根據(jù)
62、解三角形的知識得識得y y關(guān)于關(guān)于x x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式, ,從而可知圖象應(yīng)為兩條折從而可知圖象應(yīng)為兩條折線段線段. .答案答案 B B 5.5.在正四面體在正四面體S SABCABC中中, ,E E為為SASA的的 中點中點, ,F F為為ABCABC的中心的中心, ,則異面直則異面直 線線EFEF與與ABAB所成的角是所成的角是 ( )( ) A.30 A.30 B.45 B.45 C.60 C.60 D.90 D.90 解析解析 過過F F作作FMFMABAB交交ACAC于點于點MM, , 連接連接EMEM, ,EFEF, ,SFSF, ,AFAF, ,則則EFMEFM是異是異
63、面直線面直線ABAB、EFEF所成的角或其補(bǔ)角所成的角或其補(bǔ)角, , 因為點因為點F F是底面的中心是底面的中心, , AFAF平分平分BACBAC, ,又又FMFMABAB, , AMAM= =FMFM, ,SFSF面面ABCABC,SFSFAFAF，E E是是SASA的中點的中點, , AEAE= =FEFE,MAEMAEMFEMFE, ,MAEMAE=MFEMFE,EFMEFM=60=60. .答案答案 C C 6.6.正方體正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為2,2,點點MM是棱是棱ABAB上上 異于點異于點A A的一定點的一定點, ,
64、點點P P是平面是平面ABCDABCD內(nèi)的一動點內(nèi)的一動點, ,且點且點 P P到直線到直線A A1 1D D1 1的距離的平方比到點的距離的平方比到點MM的距離的平方大的距離的平方大 4,4,則點則點P P的軌跡形狀為的軌跡形狀為 ( )( ) A. A.圓圓 B.B.橢圓橢圓 C.C.雙曲線雙曲線 D.D.拋物線拋物線 解析解析 如圖如圖, ,建立以建立以DADA為為x x軸軸, ,DCDC為為y y軸軸, ,DDDD1 1為為z z軸的空間直角坐標(biāo)系軸的空間直角坐標(biāo)系, ,設(shè)設(shè)MM(2,(2,a a,0) (,0) (a a(0,2(0,2且為常數(shù)且為常數(shù)),),P P( (x x, ,
65、y y,0).,0).由題意可知點由題意可知點P P到直線到直線A A1 1D D1 1的距離為的距離為則則| |PQPQ| |2 2=|=|PMPM| |2 2+4,+4,P P的軌跡應(yīng)為一條拋物線的軌跡應(yīng)為一條拋物線. .答案答案 D D ,4|2yPQ.)()2(|22ayxPM.2)2(212axay即二、填空題二、填空題7.7.已知球已知球O O的面上四點的面上四點A A、B B、C C、D D, ,DADA平面平面ABCABC, , ABABBCBC, ,DADA= =ABAB= =BCBC= ,= ,則球則球O O的體積等于的體積等于_._. 解析解析 以以CDCD為弦為弦, ,
66、連結(jié)兩端點與球面上的點連結(jié)兩端點與球面上的點A A、B B, ,均均 有有ACACADAD, ,BCBCBDBD, ,由此可判定由此可判定CDCD為該球的直徑為該球的直徑, , 由由DADA= =ABAB= =BCBC= = 得得 所以球所以球 的半徑的半徑 所以所以V V球球= =33, 3222BCABDACD,23R.29)23(343298.8.已知已知m m=(=(a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3),),n n=(=(b b1 1, ,b b2 2, ,b b3 3),),且且| |m m|=5,|=5,|n n|=6,|=6, m mn n=30,=30,則則 =_.=_. 解析解析 因因m mn n=|=|m m|n n|cos|cosm m, ,n n, , 又又| |m m|=5,|=5,|n n|=6,|=6, m mn n=30,=30,所以所以coscosm m, ,n n=1,=1, 即即m m與與n n同向共線同向共線, ,故可設(shè)故可設(shè)m m= =k kn n( (k k0),0), 即即a a1 1= =kbkb1 1, ,a a2 2=
高三數(shù)學(xué)理高考二輪復(fù)習(xí)專題學(xué)案系列課件：專題五立體幾何新人教版學(xué)案17 空間向量與立體幾何
