2020年中考數(shù)學必考考點 專題13 反比例函數(shù)（含解析）

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1、專題13 反比例函數(shù) 專題知識回顧 1．反比例函數(shù)：形如y＝（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。其他形式xy=k、 。 2．圖像：反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線。反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x。對稱中心是：原點。它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。 3．性質:（1）當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； （2）當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大。 4.|

2、k|的幾何意義：表示反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形的面積。 5．反比例函數(shù)解析式的確定 由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。 專題典型題考法及解析 【例題1】（2019山東棗莊）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形ABC的頂點A.B分別在x軸、y軸的正半軸上，∠ABC＝90°，CA⊥x軸，點C在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，若AB＝1，則k的值為（　?。? A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】根據(jù)題意可以求得OA和AC的長，從而可

3、以求得點C的坐標，進而求得k的值，本題得以解決． ∵等腰直角三角形ABC的頂點A.B分別在x軸、y軸的正半軸上，∠ABC＝90°，CA⊥x軸，AB＝1， ∴∠BAC＝∠BAO＝45°， ∴OA＝OB＝，AC＝， ∴點C的坐標為（，）， ∵點C在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上， ∴k＝＝1 故選：A． 【例題2】（2019湖南郴州）如圖，點A，C分別是正比例函數(shù)y＝x的圖象與反比例函數(shù)y=4x的圖象的交點，過A點作AD⊥x軸于點D，過C點作CB⊥x軸于點B，則四邊形ABCD的面積為　 　． 【答案】8 【解析】∵A、C是兩函數(shù)圖象的交點， ∴A、C關于原點對稱

4、， ∵CD⊥x軸，AB⊥x軸， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD， 又∵反比例函數(shù)y=4x的圖象上， ∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD=12×4＝2， ∴S四邊形ABCD＝4S△AOB＝4×2＝8， 故答案為：8． 【例題3】（2019江蘇鎮(zhèn)江）如圖，點A(2，n)和點D是反比例函數(shù)y＝（m＞0，x＞0）圖像上的兩點，一次函數(shù)y＝kx＋3（k≠0）的圖像經(jīng)過點A，與y軸交于點B，與x軸交于點C，過點D作DE⊥x軸，垂足為E，連接OA、OD．已知△OAB與△ODE的面積滿足S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4． （1）S△O

5、AB＝________，m＝________； （2）已知點P(6，0)在線段OE上，當∠PDE＝∠CBO時，求點D的坐標． 【答案】見解析。 【解析】本題考查了反比例函數(shù)的性質，反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義以及相似三角形的性質等，解題的關鍵是利用反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義以及相似三角形的性質．先求出B點縱坐標和A點的橫坐標，利用利用三角形面積公式可得△OBA的面積，再根據(jù)面積的比較關系求出△ODE的面積，最后根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義求出m的值；先由點A在雙曲線上，求出A點坐標；再先求出直線AB的解析式；連接DP，通過條件∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝9

6、0°，得PD∥AB，于是可令直線PD的解析式為y＝x＋t，則0＝×6＋t，求出PD的解析式； 最后由解得，．從而鎖定D點的坐標． （1）∵一次函數(shù)y＝kx＋3（k≠0）的圖像經(jīng)過點A，與y軸交于點B， ∴B(0，3)，OB＝3． ∵點A(2，n)， ∴＝2． ∴S△AOB＝?OB?＝×3×2＝3． ∵S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4， ∴S△DOE＝4． ∵DE⊥x軸，且點D在雙曲線y＝上， ∴＝4． ∵m＞0， ∴m＝8． （2）如答圖，連接PD， ∵點A(2，n)在雙曲線y＝上， ∴2n＝8，n＝4，A(2，4)． ∵一次函數(shù)y＝kx＋3（k≠

7、0）的圖像經(jīng)過點A，與y軸交于點B， ∴4＝2k＋3． ∴k＝，直線AB的解析式為y＝x＋3． ∵∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝90°， ∴∠DPE＝∠BCO． ∴PD∥AB． ∴令直線PD的解析式為y＝x＋t，則0＝×6＋t． ∴t＝－3，直線PD的解析式為y＝x－3． 由解得，． ∵點D在第一象限， ∴D(8，1)． 專題典型訓練題 一、選擇題 1. （2019貴州省畢節(jié)市）若點A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，則y1、y2、y3的大小關系是（　　） A．

8、y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 【答案】C． 【解析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出y1、y2、y3的值，比較后即可得出結論． ∵點A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上， ∴y1＝﹣＝，y2＝﹣＝，y3＝﹣，又∵﹣＜＜，∴y3＜y1＜y2．故選：C． 2.(2019安徽)已知點A（1，﹣3）關于x軸的對稱點A'在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則實數(shù)k的值為（　?。? A．3 B． C．﹣3 D．﹣ 【答案】A 【解析】先根據(jù)關于x軸對稱的點的坐標特征確定A'的坐標為（1，3），然后把A

9、′的坐標代入y＝中即可得到k的值． 點A（1，﹣3）關于x軸的對稱點A'的坐標為（1，3）， 把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3． 故選：A． 3.（2019黑龍江哈爾濱）點(－1,4)在反比例函數(shù)y＝的圖象上,則下列各點在此函數(shù)圖象上的是（ ）。 A．（4，-1） B．（-，1） C．（-4，-1） D．（，2） 【答案】A 【解析】反比例函數(shù)的圖象及性質 將點（﹣1，4）代入y＝， ∴k＝﹣4，∴y＝， ∴點（4，﹣1）在函數(shù)圖象上。 4. （2019湖北十堰）如圖，平面直角坐標系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函數(shù)y=kx的圖象分

10、別與線段AB，BC交于點D，E，連接DE．若點B關于DE的對稱點恰好在OA上，則k＝（　?。? A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8 【答案】 【解析】根據(jù)點的坐標可得矩形的長和寬，易知點D的橫坐標，E的縱坐標，由反比例函數(shù)的關系式，可用含有k的代數(shù)式表示另外一個坐標，由三角形相似和對稱，可求出AF的長，然后把問題轉化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值． 解：過點E作EG⊥OA，垂足為G，設點B關于DE的對稱點為F，連接DF、EF、BF，如圖所示： 則△BDE≌△FDE， ∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90° 易證△ADF∽△GFE ∴

11、AFEG=DFFE， ∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4）， ∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8， ∵D、E在反比例函數(shù)y=kx的圖象上， ∴E（k4，4）、D（﹣8，-k8） ∴OG＝EC=-k4，AD=-k8， ∴BD＝4+k8，BE＝8+k4 ∴BDBE=4+k88+k4=12=DFFE=AFEG， ∴AF=12EG=2， 在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2 即：（-k8）2+22＝（4+k8）2 解得：k＝﹣12 5.（2019湖北仙桃）反比例函數(shù)y=-3x，下列說法不正確的是（　?。? A．圖象經(jīng)過點（1，﹣3） B．圖象位于第

12、二、四象限 C．圖象關于直線y＝x對稱 D．y隨x的增大而增大 【答案】D 【解析】由點（1，﹣3）的坐標滿足反比例函數(shù)y=-3x，故A是正確的； 由k＝﹣3＜0，雙曲線位于二、四象限，故B也是正確的； 由反比例函數(shù)的對稱性，可知反比例函數(shù)y=-3x關于y＝x對稱是正確的，故C也是正確的， 由反比例函數(shù)的性質，k＜0，在每個象限內，y隨x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性質，故D是不正確的。 6. （2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，平行四邊形OABC的頂點A在反比例函數(shù)的圖象上，頂點B在反比例函數(shù) 的圖象上，點C在x軸的正半軸上，則平行四

13、邊形OABC的面積是（ ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【解析】反比例函數(shù)的圖象和性質；平行四邊形的面積。 設A(a,b)，B（a+m，b），依題意得，， ∴，化簡得m=4a.∵，∴ab=1， ∴S平行四邊形OABC=mb=4ab=4×1=4，故選C. 7.（2019廣西賀州）已知，一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象 可能　　 【答案】A 【解析】若反比例函數(shù)經(jīng)過第一、三象限，則．所以．則一次函數(shù)的圖象應該經(jīng)過第一、二、三象限； 若反比例函數(shù)經(jīng)過第二、四象限，則．所以．則一次函數(shù)的圖象應該經(jīng)過第二、三、四象限．故選項正確

14、。 8.（2019?湖南衡陽）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y2＝（m為常數(shù)且m≠0）的圖象都經(jīng)過A（﹣1，2），B（2，﹣1），結合圖象，則不等式kx+b＞的解集是（　?。? A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2 【答案】C． 【解析】根據(jù)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的x的取值范圍便是不等式kx+b＞的解集． 由函數(shù)圖象可知，當一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）的圖象在反比例函數(shù)y2＝（m為常數(shù)且m≠0）的圖象上方時，x的取值范圍是：x＜﹣1或0＜x＜2， ∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜

15、2 9.（2019?湖北黃石）如圖，在平面直角坐標系中，點B在第一象限，BA⊥x軸于點A，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與線段AB相交于點C，且C是線段AB的中點，點C關于直線y＝x的對稱點C'的坐標為（1，n）（n≠1），若△OAB的面積為3，則k的值為（　?。? A． B．1 C．2 D．3 【答案】D． 【解析】根據(jù)對稱性求出C點坐標，進而得OA與AB的長度，再根據(jù)已知三角形的面積列出n的方程求得n，進而用待定系數(shù)法求得k． ∵點C關于直線y＝x的對稱點C'的坐標為（1，n）（n≠1）， ∴C（n，1）， ∴OA＝n，AC＝1， ∴AB＝2AC＝2， ∵△OAB的面積

16、為3， ∴， 解得，n＝3， ∴C（3，1）， ∴k＝3×1＝3． 10.（2019內蒙古赤峰）如圖，點P是反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象上任意一點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M．若△POM的面積等于2，則k的值等于（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【答案】A 【解析】∵△POM的面積等于2， ∴12|k|＝2， 而k＜0， ∴k＝﹣4． 11.（2019四川瀘州）如圖，一次函數(shù)y1＝ax+b和反比例函數(shù)y2=kx的圖象相交于A，B兩點，則使y1＞y2成立的x取值范圍是（　?。? A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜﹣2或0＜x＜4 C．x

17、＜﹣2或x＞4 D．﹣2＜x＜0或x＞4 【答案】B 【解析】觀察函數(shù)圖象可發(fā)現(xiàn)：當x＜﹣2或0＜x＜4時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，∴使y1＞y2成立的x取值范圍是x＜﹣2或0＜x＜4．故選：B． 二、填空題 12.（2019貴州省畢節(jié)市） 如圖，在平面直角坐標中，一次函數(shù)y＝﹣4x+4的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點．正方形ABCD的頂點C、D在第一象限，頂點D在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上．若正方形ABCD向左平移n個單位后，頂點C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則n的值是　 ?。? 【答案】3. 【解析】過點D作DE⊥x軸過點C作CF⊥y軸，可證△ABO≌

18、△DAE（AAS），△CBF≌△BAO（AAS），則可求D（5，1），C（4，5），確定函數(shù)解析式y(tǒng)＝，C向左移動n個單位后為（4﹣n，5），進而求n的值； 過點D作DE⊥x軸，過點C作CF⊥y軸， ∵AB⊥AD， ∴∠BAO＝∠DAE， ∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA， ∴△ABO≌△DAE（AAS）， ∴AE＝BO，DE＝OA， 易求A（1，0），B（0，4）， ∴D（5，1）， ∵頂點D在反比例函數(shù)y＝上， ∴k＝5， ∴y＝， 易證△CBF≌△BAO（AAS）， ∴CF＝4，BF＝1， ∴C（4，5）， ∵C向左移動n個單位后為（4﹣n，5）， ∴5（

19、4﹣n）＝5， ∴n＝3， 故答案為3； 13.（2019湖北孝感）如圖，雙曲線y=9x（x＞0）經(jīng)過矩形OABC的頂點B，雙曲線y=kx（x＞0）交AB，BC于點E、F，且與矩形的對角線OB交于點D，連接EF．若OD：OB＝2：3，則△BEF的面積為　 ?。? 【答案】2518 【解析】設D（2m，2n）， ∵OD：OB＝2：3， ∴A（3m，0），C（0，3n）， ∴B（3m，3n）， ∵雙曲線y=9x（x＞0）經(jīng)過矩形OABC的頂點B， ∴9＝3m?3n， ∴mn＝1， ∵雙曲線y=kx（x＞0）經(jīng)過點D， ∴k＝4mn ∴雙曲線y=4mn

20、x（x＞0）， ∴E（3m，43n），F(xiàn)（43m，3n）， ∴BE＝3n-43n=53n，BF＝3m-43m=53m， ∴S△BEF=12BE?BF=2518mn=2518 故答案為2518． 14.（2019北京市）在平面直角坐標系中，點在雙曲線上．點關于軸的對稱點在雙曲線上，則的值為_______. 【答案】0 【解析】關于x軸對稱的點的坐標特點、雙曲線上點的坐標與k的關系. ∵A、B兩點關于x軸對稱， ∴B點的坐標為. 又∵A、B兩點分別在又曲線和上； ∴. ∴；故填0. 15.（2019貴州省安順市） 如圖，直線l⊥x軸于點P，且與反比例函數(shù)y1＝k1

21、/x（x＞0）及y2＝k2/x（x＞0）的圖象分別交于A，B兩點，連接OA，OB，已知△OAB的面積為4，則k1﹣k2＝　 ?。? 第15題圖 【答案】8 【解析】∵反比例函數(shù)y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的圖象 均在第一象限內， ∴k1＞0，k2＞0． ∵AP⊥x軸， ∴S△OAP＝k1，S△OBP＝k2． ∴S△OAB＝S△OAP﹣S△OBP＝（k1﹣k2）＝4， 解得：k1﹣k2＝8． 故答案為：8． 16.（2019遼寧本溪）如圖，在平面直角坐標系中，等邊△OAB和菱形OCDE的邊OA，OE都在x軸上，點C在OB邊上，S△ABD=，反比例函數(shù)(x＞0)的

22、圖象經(jīng)過點B，則k的值為 【答案】. 【解析】過點D、B分別作x軸的垂線，垂足分別為M、N，設OE=2a，OA=2b，根據(jù)四邊形OCDE是菱形和△OAB為等邊三角形可得DM=a和BN=b進而得出S△ABD=S梯形BDMN+S△ABN-S△ADM，進而求出b2的值，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出k的值. 過點D、B分別作x軸的垂線，垂足分別為M、N. 設OE=2a，OA=2b. ∵四邊形OCDE是菱形， ∴DM=a. ∵△OAB為等邊三角形， ∴BN=b， ∴S△ABD=S梯形BDMN+S△ABN-S△ADM=， 解得b2=1. ∵點B的

23、坐標為（b，b），且點B在反比例函數(shù)的圖象上， ∴k=b2= 17.（2019廣西桂林）如圖，在平面直角坐標系中，反比例的圖象和都在第一象限內，，軸，且，點的坐標為．若將向下平移個單位長度，，兩點同時落在反比例函數(shù)圖象上，則的值為　　　?。? 【答案】 【解析】，，點． ，， 將向下平移個單位長度， ，， ，兩點同時落在反比例函數(shù)圖象上， ， 三、解答題 18.（2019年廣西柳州市）如圖，直線AB與x軸交于點A（1，0），與y軸交于點B（0，2），將線段AB繞點A順時針旋轉90°得到線段AC，反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象經(jīng)過點C． （1）求直線AB

24、和反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的解析式； （2）已知點P是反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）圖象上的一個動點，求點P到直線AB距離最短時的坐標． 【答案】見解析。 【解析】將點A（1，0），點B（0，2），代入y＝mx+b，可求直線解析式；過點C作CD⊥x軸，根據(jù)三角形全等可求C（3，1），進而確定k；設與AB平行的直線y＝﹣2x+h，聯(lián)立﹣2x+b＝，當△＝b2﹣24＝0時，點P到直線AB距離最短； （1）將點A（1，0），點B（0，2），代入y＝mx+b， ∴b＝2，m＝﹣2， ∴y＝﹣2x+2； ∵過點C作CD⊥x軸， ∵線段AB繞點A順時針旋轉90°得到線段AC，

25、 ∴△ABO≌△CAD（AAS）， ∴AD＝AB＝2，CD＝OA＝1， ∴C（3，1）， ∴k＝3， ∴y＝； （2）設與AB平行的直線y＝﹣2x+h， 聯(lián)立﹣2x+b＝， ∴﹣2x2+bx﹣3＝0， 當△＝b2﹣24＝0時，b＝，此時點P到直線AB距離最短； ∴P（，）； 19. (2019黑龍江大慶)如圖,反比例函數(shù)和一次函數(shù)y＝kx－1的圖象相交于A(m,2m),B兩點. (1)求一次函數(shù)的表達式; (2)求出點B的坐標,并根據(jù)圖象直接寫出滿足不等式

26、以,所以m＝1,所以點A(1,2)反比例函數(shù),將點A代入一次函數(shù)可得,2＝k－1,k＝3,所以一次函數(shù)表達式為:y＝3x－1; (2)令＝3x－1,解之,得,x1＝1,x2＝,所以B(,－3),根據(jù)圖象可得不等式1. 20.（2019吉林省）已知y是x的反比例函數(shù)，并且當x=2時，y=6, （1） 求y關于x的函數(shù)解析式； （2） 當x=4時，求y的值 【答案】見解析。 【解析】將x=2時，y=6代入解析式即可求出待定系數(shù)，即可求出解析式； 當x=4時，代入解析式，可求出y的值 （1）∵y是x的反比例函數(shù)， ∴設y=(k≠0）， ∵當x=2時，y=6, ∴k=xy=12, ∴y= (2)當x=4時， 代入y=得， y= 18