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1、
第三單元 函數(shù)及其圖象單元測試
范圍:函數(shù)及其圖象 限時:45分鐘 滿分:100分
一、選擇題 (每小題5分,共35分)
1.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3),以原點(diǎn)為中心,將點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到點(diǎn)A',則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為( )
A.(3,1) B.(3,-1)
C.(2,1) D.(0,2)
2.已知A,B兩地相距3千米,小黃從A地到B地,平均速度為4千米/時,若用x表示行走的時間(小時),y表示余下的路程(千米),則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是 ( )
A.y=4x(x≥0) B.y=4x-3x≥34
C.y=3
2、-4x(x≥0) D.y=3-4x0≤x≤34
3.已知函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖D3-1所示,則函數(shù)y=ax+b與y=cx的圖象為 ( )
圖D3-1
圖D3-2
4.已知正比例函數(shù)y1的圖象與反比例函數(shù)y2的圖象相交于點(diǎn)A(2,4),下列說法正確的是 ( )
A.反比例函數(shù)y2的解析式是y2=-8x
B.兩個函數(shù)圖象的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-4)
C.當(dāng)x<-2或0
3、P,設(shè)AP=x,PA-PD=y,則下列函數(shù)圖象能反映y與x之間關(guān)系的是 ( )
圖D3-3
圖D3-4
6.如圖D3-5,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)(x1,0),(2,0),其中00;③a+2b+4c>0;④4ab+ba<-4,正確的個數(shù)是 ( )
圖D3-5
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自變量),當(dāng)x≥2時,y隨x的增大而增大,且-2≤x≤1時,y的最大值為9,則a的值為 ( )
A.1或-2
4、 B.-2或2 C.2 D.1
二、填空題(每小題6分,共36分)
8.將拋物線y=2x2的圖象,向左平移1個單位,再向下平移2個單位,所得圖象的解析式為 .?
9.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖D3-6所示,若M=4a+2b,N=a-b.則M,N的大小關(guān)系為M N.(填“>”“=”或“<”)?
圖D3-6
10.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(2,0),B(0,4),作△BOC,使△BOC與△ABO全等,則點(diǎn)C坐標(biāo)為 .(點(diǎn)C不與點(diǎn)A重合)?
11.如圖D3-7,直線y=x+1與拋物線y=x2-4x+5交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P是y軸上的一個動點(diǎn).
5、當(dāng)△PAB的周長最小時,S△PAB= .?
圖D3-7
12.正方形A1B1C1A2,A2B2C2A3,A3B3C3A4,…,按如圖D3-8所示的方式放置,點(diǎn)A1,A2,A3,…和點(diǎn)B1,B2,B3,…分別在直線y=kx+b(k>0)和x軸上.已知A1(0,1),點(diǎn)B1(1,0),則C5的坐標(biāo)是 .?
圖D3-8
13.如圖D3-9,菱形ABCD的頂點(diǎn)A在函數(shù)y=3x(x>0)的圖象上,函數(shù)y=kx(k>3,x>0)的圖象關(guān)于直線AC對稱,且過B,D兩點(diǎn),若AB=2,∠BAD=30°,則k= .?
圖D3-9
三、解答題(共29分)
14.(14分
6、)快車從甲地駛向乙地,慢車從乙地駛向甲地,兩車同時出發(fā)并且在同一條公路上勻速行駛,途中快車休息1.5小時,慢車沒有休息.設(shè)慢車行駛的時間為x小時,快車行駛的路程為y1千米,慢車行駛的路程為y2千米.圖D3-10中折線OAEC表示y1與x之間的函數(shù)關(guān)系,線段OD表示y2與x之間的函數(shù)關(guān)系.
請解答下列問題:
(1)求快車和慢車的速度;
(2)求圖中線段EC所表示的y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(3)線段OD與線段EC相交于點(diǎn)F,直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo),并解釋點(diǎn)F的實(shí)際意義.
圖D3-10
15.(15分)在平面直角坐標(biāo)系中,將二次函數(shù)y=ax2(a>0)的圖
7、象向右平移1個單位,再向下平移2個單位,得到如圖D3-11所示的拋物線,該拋物線與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),OA=1,經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋物線的另一個交點(diǎn)為D,△ABD的面積為5.
(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式;
(2)拋物線上的動點(diǎn)E在一次函數(shù)圖象的下方,求△ACE面積的最大值,并求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn),在(2)的結(jié)論下,求PE+35PA的最小值.
圖D3-11
【參考答案】
1.A
2.D
3.C [解析]由二次函數(shù)的圖象可知,a<0,b>0,c<0.
8、當(dāng)a<0,b>0,c<0時,一次函數(shù)y=ax+b經(jīng)過第一、二、四象限;反比例函數(shù)y=cx位于第二、四象限,選項(xiàng)C符合.故選C.
4.C
5.C [解析]設(shè)☉O的半徑為r,過點(diǎn)O作OE⊥AP,則△ADP∽△OEA,∴PDAE=APOA.
∵AP=x,∴AE=x2,∴PD=AP·AEOA,∴y=PA-PD=x-x22r,為開口向下的拋物線,故選C.
6.C [解析]①∵拋物線開口向上,∴a>0,
∵拋物線對稱軸在y軸的右側(cè),∴-b2a>0,
∴b<0,
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方,∴c>0,
∴abc<0,所以①正確;
②∵圖象與x軸交于兩點(diǎn)(x1,0),(2,0),其中0<
9、x1<1,
∴2+02<-b2a<2+12,∴1<-b2a<32,由-b2a<32可得,b>-3a,
∵當(dāng)x=2時,y=4a+2b+c=0,∴b=-2a-12c,
∴-2a-12c>-3a,∴2a-c>0,故②正確;
③由4a+2b+c=0得2b=-4a-c,∴a+2b+4c=a-4a-c+4c=3c-3a=3(c-a),
∵c>0,a>0,∴a+2b+4c與0不能確定關(guān)系,故③錯誤;
④∵-b2a>1,∴2a+b<0,∴(2a+b)2>0,4a2+b2+4ab>0,4a2+b2>-4ab,
∵a>0,b<0,∴ab<0,∴4a2+b2ab<-4,即4ab+ba<-4,故④正確.
10、
故選C.
7.D [解析]原函數(shù)可化為y=a(x+1)2+3a2-a+3,對稱軸為直線x=-1,又已知當(dāng)x≥2時,y隨x的增大而增大,所以a>0,拋物線開口向上,因?yàn)?2≤x≤1時,y的最大值為9,結(jié)合對稱軸及增減性可得,當(dāng)x=1時,y=9,代入可得,a1=1,a2=-2,又因?yàn)閍>0,所以a=1.
8.y=2(x+1)2-2 [解析]將拋物線y=2x2的圖象,向左平移1個單位,再向下平移2個單位,
所得圖象的解析式為:y=2(x+1)2-2.故答案為:y=2(x+1)2-2.
9.< [解析]當(dāng)x=-1時,y=a-b+c>0,
當(dāng)x=2時,y=4a+2b+c<0,
∴M-N=
11、4a+2b-(a-b)=4a+2b+c-(a-b+c)<0,即M
12、k+b=2,4k+b=5,解得:k=35,b=135,
∴直線A'B:y=35x+135.
∴當(dāng)△PAB的周長最小時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,135.
設(shè)直線AB與y軸的交點(diǎn)為C,則C(0,1),
∴S△PAB=S△PCB-S△PCA=12×135-1×4-12×135-1×1=125.
12.(47,16) [解析]易知C1(2,1),C2(5,2),C3(11,4),C4(23,8),…
∵C1的橫坐標(biāo):2=21,縱坐標(biāo):1=20,
C2的橫坐標(biāo):5=22+20,縱坐標(biāo):2=21,
C3的橫坐標(biāo):11=23+21+20,縱坐標(biāo):4=22,
C4的橫坐標(biāo):23=24+22+21+2
13、0,縱坐標(biāo):8=23,
…
依此類推,C5的橫坐標(biāo):25+23+22+21+20=47,縱坐標(biāo):24=16,
∴C5(47,16).
13.6+23 [解析]作出直線AC,過A,B分別作x軸的垂線,垂足為G,H,過A作AE⊥BH于E,
∵函數(shù)y=kx(k>3,x>0)的圖象關(guān)于直線AC對稱,
∴直線AC的解析式為y=x,
∴設(shè)A(x,x).
又∵點(diǎn)A在y=3x(x>0)的圖象上,
∴x2=3,解得x=3(負(fù)值舍去),
∴A(3,3),
∵AE∥x軸,∴∠AOG=∠CAE=45°,
∵∠BAD=30°,
∴∠CAB=12∠DAB=15°,
∴∠BAE=30°.
14、在Rt△ABE中,∵AB=2,
∴BE=12AB=1,AE=32AB=3,
∴B(23,3+1).
把B(23,3+1)代入y=kx,
得k=6+23.
14.解:(1)∵180÷2=90,180÷3=60,
∴快車的速度為90 km/h,慢車的速度為60 km/h.
(2)∵途中快車休息1.5小時,
∴點(diǎn)E(3.5,180).
∵(360-180)÷90=2,
∴點(diǎn)C(5.5,360).
設(shè)EC的函數(shù)表達(dá)式為y1=kx+b,
則3.5k+b=180,5.5k+b=360,
∴k=90,b=-135,
∴y1=90x-135(3.5≤x≤5.5).
(3)∵慢車的
15、速度為60 km/h,
∴OD所表示的函數(shù)表達(dá)式為y=60x.
由y=60x,y=90x-135得x=92,y=270.
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為92,270.
點(diǎn)F的實(shí)際意義:慢車行駛92小時時,快、慢兩車行駛的路程相等,均為270 km.
15.[解析](1)先寫出平移后的拋物線解析式,由拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),可求得a的值,由△ABD的面積為5可求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo),代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo),由A,D的坐標(biāo)可求出一次函數(shù)解析式;
(2)作EM∥y軸交AD于M,利用三角形面積公式,由S△ACE=S△AME-S△CME構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題;
(3)作E關(guān)于x軸的
16、對稱點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FH⊥AE于點(diǎn)H,交x軸于點(diǎn)P,則∠BAE=∠HAP,利用銳角三角函數(shù)的定義可得出EP+35AP=FP+HP,此時FH最小,求出最小值即可.
解:(1)將二次函數(shù)y=ax2(a>0)的圖象向右平移1個單位,再向下平移2個單位,得到的拋物線解析式為y=a(x-1)2-2,
∵OA=1,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),代入拋物線的解析式y(tǒng)=a(x-1)2-2得,4a-2=0,
∴a=12,
∴拋物線的解析式為y=12(x-1)2-2,
即y=12x2-x-32.
令y=0,解得x1=-1,x2=3,
∴B(3,0),
∴AB=OA+OB=4.
∵△ABD的面積為
17、5,
∴S△ABD=12AB·yD=5,
∴yD=52,代入拋物線解析式得,52=12x2-x-32,
解得x1=-2,x2=4,
∴D4,52.
將D4,52,A(-1,0)的坐標(biāo)代入y=kx+b,得
4k+b=52,-k+b=0,解得:k=12,b=12,
∴一次函數(shù)的解析式為y=12x+12.
(2)過點(diǎn)E作EM∥y軸,交直線AD于M,如圖①,設(shè)Em,12m2-m-32,則Mm,12m+12,
∴EM=12m+12-12m2+m+32=-12m2+32m+2,
∴S△ACE=S△AME-S△CME=12·EM·1=12×-12m2+32m+2×1=-14(m2-3
18、m-4)=-14m-322+2516,
∴當(dāng)m=32時,△ACE的面積有最大值,最大值是2516,此時E點(diǎn)坐標(biāo)為32,-158.
(3)作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F,連結(jié)EF交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)F作FH⊥AE于點(diǎn)H,交x軸于點(diǎn)P,連結(jié)PE.
∵E32,-158,OA=1,
∴AG=1+32=52,EG=158,
∴AGEG=52158=43,易得EGAE=35.
∵∠AGE=∠AHP=90°,
∴sin∠EAG=PHAP=EGAE=35,
∴PH=35AP.
∵E,F關(guān)于x軸對稱,
∴PE=PF,
∴PE+35AP=FP+HP,此時FH最小.
∵EF=158×2=154,∠AEG=∠HEF,
∴sin∠AEG=sin∠HEF,
∵AGAE=45,∴FHEF=45,
∴FH=45×154=3.
∴PE+35PA的最小值是3.
10
（浙江專版）2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三單元 函數(shù)及其圖象單元測試
