2020年中考數(shù)學考點專項突破卷19 銳角三角函數(shù)和解直角三角形（含解析）

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1、19.1銳角三角函數(shù)和解直角三角形精選考點專項突破卷（一） 考試范圍：銳角三角函數(shù)和解直角三角形；考試時間：90分鐘；總分：120分 一、單選題（每小題3分，共30分) 1．（2015·四川中考真題）如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosA的值為（ ） A． B． C． D． 2．（2018·湖北中考真題）如圖，在中，，，，則等于（ ） A． B． C． D． 3．（2018·黑龍江中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=8，tan∠ABD=，則線段AB的長為（　?。? A． B．2 C．5 D．10 4．（2014·四川

2、中考真題）如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC=10m，則坡面AB的長度是（ ） A．15m B．203m C．20m D．103m 5．（2018·湖南中考真題）如圖，小剛從山腳A出發(fā)，沿坡角為的山坡向上走了300米到達B點，則小剛上升了（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（2012·山東中考真題）把△ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍，則銳角A的正弦函數(shù)值（ ） 　　A．不變　　B．縮小為原來的　　C．擴大為原來的3倍　　D．不能確定 7．（2014·四川中考真題）在△ABC中，若=0，則∠C的度數(shù)是（ ） A．

3、45° B．60° C．75° D．105° 8．（2018·山東中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值是（　　） A． B． C． D． 9．（2019·湖南中考真題）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分線EF交AC于點D，連接BD，若cos∠BDC＝，則BC的長是（ ） A．10 B．8 C．4 D．2 10．（2018·浙江中考真題）如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，則竹竿AB與AD的長度之比為　　 A． B． C． D． 二、填空題（每小題4

4、分，共28分) 11．（2013·遼寧中考真題）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，則BC的長 ． 12．（2019·四川中考真題）如圖，在△中，，,.則邊的長為___________. 13．（2019·山東中考真題）如圖，一架長為米的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時測得，如果梯子的底端外移到，則梯子頂端下移到，這時又測得，那么的長度約為______米．（，，，） 14．（2019·山東中考真題）如圖，小明為了測量校園里旗桿AB的高度，將測角儀CD豎直放在距旗桿底部B點6m的位置，在D處測得旗桿頂端A的仰角為53°，若測角儀的高度是1.5m，則旗桿AB的高度

5、約為______m．（精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 15．（2019·廣西中考真題）如圖，在中，，，，則的長為_____． 16．（2013·湖北中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，過D點作AB的垂線交AC于點E，BC=6，sinA=，則DE=　 　． 17．（2019·江蘇中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，，H是AB的中點，將沿CH折疊，點B落在矩形內點P處，連接AP，則__． 三、解答題一（每小題6分，共18分) 18．（2019·四川中考真題）計算：

6、． 19．（2019·四川中考真題）計算：． 20．（2019·四川中考真題）計算： 四、解答題二（每小題8分，共24分) 21．（2014·湖南中考真題） 一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時發(fā)生了側翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東37°方向，馬上以40海里每小時的速度前往救援，求海警船到大事故船C處所需的大約時間．（溫馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6） 22．（2019·山東中考真題）自開展“全民健身運動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，

7、某地政府決定對一段如圖1所示的坡路進行改造．如圖2所示，改造前的斜坡米，坡度為；將斜坡的高度降低米后，斜坡改造為斜坡，其坡度為．求斜坡的長．（結果保留根號） 23．（2016·青海中考真題）如圖，某校教學樓AB的后面有一建筑物CD，當光線與地面的夾角是22o時， 教學樓在建筑物的墻上留下高2m的影子CE；而當光線與地面的夾角是45o時，教學樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13m的距離(B、F、C在一條直線上)． (1)求教學樓AB的高度； (2)學校要在A、E之間掛一些彩旗，請你求出A、E之間的距離(結果保留整數(shù))． (參考數(shù)據(jù)：sin22o≈，cos22o≈，tan22o≈

8、) 五、解答題三（每小題10分，共20分) 24．（2017·湖北中考真題）（2017湖北省鄂州市）小明想要測量學校食堂和食堂正前方一棵樹的高度，他從食堂樓底M處出發(fā)，向前走3米到達A處，測得樹頂端E的仰角為30°，他又繼續(xù)走下臺階到達C處，測得樹的頂端E的仰角是60°，再繼續(xù)向前走到大樹底D處，測得食堂樓頂N的仰角為45°．已知A點離地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三點在同一直線上． （1）求樹DE的高度； （2）求食堂MN的高度． 25．（2018·江蘇中考真題）日照間距系數(shù)反映了房屋日照情況．如圖①，當前后房屋都朝向正南時，日照間距系數(shù)=L：（H﹣H1）

9、，其中L為樓間水平距離，H為南側樓房高度，H1為北側樓房底層窗臺至地面高度． 如圖②，山坡EF朝北，EF長為15m，坡度為i=1：0.75，山坡頂部平地EM上有一高為22.5m的樓房AB，底部A到E點的距離為4m． （1）求山坡EF的水平寬度FH； （2）欲在AB樓正北側山腳的平地FN上建一樓房CD，已知該樓底層窗臺P處至地面C處的高度為0.9m，要使該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25，底部C距F處至少多遠？ 19.1銳角三角函數(shù)和解直角三角形精選考點專項突破卷（一）參考答案 1．D 【解析】過B點作BD⊥AC，如圖， 由勾股定理得，AB=，AD=， cosA===， 故選

10、D． 2．A 【解析】分析：先根據(jù)勾股定理求得BC=6，再由正弦函數(shù)的定義求解可得． 詳解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8， ∴BC=， ∴sinA=. 故選：A． 點睛：本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關鍵是掌握勾股定理及正弦函數(shù)的定義． 3．C 【解析】分析：根據(jù)菱形的性質得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根據(jù)勾股定理求出AB即可． 詳解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD， ∴∠AOB=90°， ∵BD=8， ∴OB=4， ∵tan∠ABD=， ∴AO=3， 在Rt△A

11、OB中，由勾股定理得：AB==5， 故選C． 點睛：本題考查了菱形的性質、勾股定理和解直角三角形，能熟記菱形的性質是解此題的關鍵． 4．C 【解析】試題分析：∵Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：3， ∴AC=BC÷tanA=103m． ∴AB=AC2+BC2=(103)2+102=20m． 故選C． 考點：1．解直角三角形的應用（坡度坡角問題）；2．銳角三角函數(shù)定義；3．特殊角的三角函數(shù)值．；4．勾股定理． 5．A 【解析】利用銳角三角函數(shù)關系即可求出小剛上升了的高度． 【詳解】 在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米， BO=AB?sinα=3

12、00sinα米． 故選A． 【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應用，根據(jù)題意構造直角三角形，正確選擇銳角三角函數(shù)得出AB，BO的關系是解題關鍵． 6．A。 【解析】銳角三角函數(shù)的定義。 【分析】因為△ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍所得的三角形與原三角形相似，所以銳角A的大小沒改變，所以銳角A的正弦函數(shù)值也不變。故選A。 7．C 【解析】根據(jù)非負數(shù)的性質可得出cosA及tanB的值，繼而可得出A和B的度數(shù)，根據(jù)三角形的內角和定理可得出∠C的度數(shù)． 【詳解】 由題意，得?cosA=，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-

13、60°-45°=75°． 故選C． 8．A 【解析】證明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的對稱性得：AE=DE，得出，設EF=x，則DE=3x，由勾股定理求出再由三角函數(shù)定義即可得出答案． 【詳解】 ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵點E是邊BC的中點， ∴BE=BC=AD， ∴△BEF∽△DAF， ∴， ∴EF=AF， ∴EF=AE， ∵點E是邊BC的中點， ∴由矩形的對稱性得：AE=DE， ∴EF=DE，設EF=x，則DE=3x， ∴DF=x， ∴tan∠BDE= . 故選A． 【點睛】本題考查了相似三角形

14、的判定和性質，矩形的性質，三角函數(shù)等知識；熟練掌握矩形的性質，證明三角形相似是解決問題的關鍵． 9．D 【解析】設CD＝5x，BD＝7x，則BC＝2x，由垂直平分線的性質可得BD=AD，可得AC=12x，由AC＝12即可求x，進而求出BC； 【詳解】 ∵∠C＝90°，cos∠BDC＝， 設CD＝5x，BD＝7x， ∴BC＝2x， ∵AB的垂直平分線EF交AC于點D， ∴AD＝BD＝7x， ∴AC＝12x， ∵AC＝12， ∴x＝1， ∴BC＝2； 故選D. 【點睛】本題考查直角三角形的性質；熟練掌握直角三角形函數(shù)的三角函數(shù)值，線段垂直平分線的性質是解題的關鍵. 1

15、0．B 【解析】在兩個直角三角形中，分別求出AB、AD即可解決問題； 【詳解】 在Rt△ABC中，AB=， 在Rt△ACD中，AD=， ∴AB：AD=：=， 故選B． 【點睛】本題考查解直角三角形的應用、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)解決問題． 11．． 【解析】首先利用余弦函數(shù)的定義求得AC的長，然后利用勾股定理即可求得BC的長： ∵△ABC中，∠C=90°，AB=8，， ∴． ∴． 故答案為 12． 【解析】過A作AD⊥BC于D點，根據(jù)，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解題 【詳解

16、】 過A作AD⊥BC于D點， ∵，AC=2 ∴CD= 在Rt△ACD中由勾股定理得：AD= 又∵∠B=30° ∴AB=2AD=. 【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理求線段長度，30°所對的直角邊是斜邊的一半，靈活聯(lián)合運用即可解題. 13． 【解析】直接利用銳角三角函數(shù)關系得出，的長，進而得出答案． 【詳解】 由題意可得： ∵，， ， 解得：， ∵，， ， 解得：， 則， 答：的長度約為米． 故答案為：． 【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確得出，的長是解題關鍵． 14．9.5 【解析】分析：根據(jù)三角函數(shù)和直角三角形的性質解答即可

17、． 詳解：過D作DE⊥AB， ∵在D處測得旗桿頂端A的仰角為53°， ∴∠ADE＝53°， ∵BC＝DE＝6m， ∴AE＝DE?tan53°≈6×1.33≈7.98m， ∴AB＝AE＋BE＝AE＋CD＝7.98＋1.5＝9.48m≈9.5m， 故答案為：9.5 點睛：此題考查了考查仰角的定義，要求學生能借助俯角構造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想與數(shù)形結合思想的應用． 15． 【解析】過A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AD的長，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出CD的長，再利用勾股定理求出AC的長即可． 【詳解】

18、解：過作， 在中，，， ∴， 在中，， ∴，即， 根據(jù)勾股定理得：， 故答案為 【點睛】此題考查了解直角三角形，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，以及勾股定理，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵． 16． 【解析】分析：∵BC=6，sinA=，∴AB=10?！唷? ∵D是AB的中點，∴AD=AB=5。 ∵△ADE∽△ACB，∴，即，解得：DE=。 17． 【解析】連接PB，交CH于E，依據(jù)軸對稱的性質以及三角形內角和定理，即可得到CH垂直平分BP，，即可得到，進而得出，依據(jù)中，，即可得出． 【詳解】 如圖，連接PB，交CH于E， 由折疊可得，CH垂直平分BP，，

19、 又∵H為AB的中點， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵中，， ∴， 故答案為：． 【點睛】本題考查的是翻折變換的性質和矩形的性質，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵． 18．8. 【解析】直接利用二次根式的性質、零指數(shù)冪的性質、負指數(shù)冪的性質及特殊角的三角函數(shù)值分別化簡得出答案． 【詳解】 原式 ． 【點睛】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)把熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關鍵. 19．- 【解析】分別進行特殊角的三角函數(shù)值的運算，任何非零數(shù)的零次

20、冪等于1，負整數(shù)指數(shù)冪以及絕對值的意義化簡，然后按照實數(shù)的運算法則進行計算求得結果． 【詳解】 解：原式． 【點睛】考查了實數(shù)的運算法則，解答本題的關鍵是熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值等知識． 20． 【解析】先根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪、負指數(shù)冪、零指數(shù)冪、三角函數(shù)和絕對值進行化簡，再進行加減運算. 【詳解】 解：原式 ． 【點睛】本題考查指數(shù)冪、三角函數(shù)和絕對值，解題的關鍵是掌握指數(shù)冪、三角函數(shù)和絕對值. 21．【解析】試題分析：過點C作CD⊥AB交AB延長線于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根據(jù)時間=路程÷速度

21、即可求出海警船到大事故船C處所需的時間． 試題解析： 解：如圖，過點C作CD⊥AB交AB延長線于D． 在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里， ∴CD=AC=40海里． 在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°， ∴BC=≈=50（海里）， ∴海警船到大事故船C處所需的時間大約為：50÷40=（小時）． 考點：解直角三角形的應用-方向角問題 22．斜坡的長是米． 【解析】根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得的長，進而得到的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可以得到的長，最后用勾股定理即可求得的長． 【詳解】 ∵，，坡度為，

22、 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，斜坡的坡度為， ∴， 即， 解得，， ∴米， 答：斜坡的長是米． 【點睛】本題考查解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)和數(shù)形結合的思想解答． 23．（1）12m（2）27m 【解析】（1）首先構造直角三角形△AEM，利用，求出即可。 （2）利用Rt△AME中，，求出AE即可。 【詳解】 解：（1）過點E作EM⊥AB，垂足為M。 設AB為x． 在Rt△ABF中，∠AFB=45°， ∴BF=AB=x， ∴BC=BF＋FC=x＋13。 在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=

23、AB－BM=AB－CE=x－2， 又∵，∴，解得：x≈12。 ∴教學樓的高12m。 （2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25。 在Rt△AME中，， ∴AE=MEcos22°≈。 ∴A、E之間的距離約為27m。 24．（1）6；（2）． 【解析】試題分析：（1）設DE=x，可得EF=DE﹣DF=x﹣2，從而得AF=（x﹣2），再求出CD=x、BC的長，根據(jù)AF=BD可得關于x的方程，解之可得； （2）延長NM交DB延長線于點P，知AM=BP=3，由（1）得CD=x=、BC=，根據(jù)NP=PD且AB=MP可得答案． 試題解析：（1）如圖，設DE=x，∵AB=DF

24、=2，∴EF=DE﹣DF=x﹣2，∵∠EAF=30°，∴AF= =，又∵CD===x，BC===，∴BD=BC+CD=+x，由AF=BD可得（x﹣2）=+x，解得：x=6，∴樹DE的高度為6米； （2）延長NM交DB延長線于點P，則AM=BP=3，由（1）知CD=x=×6=，BC=，∴PD=BP+BC+CD=3++=3+，∵∠NDP=45°，且MP=AB=2，∴NP=PD=3+，∴NM=NP﹣MP=3+﹣2=，∴食堂MN的高度為米． 點睛：本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是正確的構造直角三角形并選擇正確的邊角關系解直角三角形． 25．（1）山坡EF的水平寬度FH為9m；（2）

25、要使該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25，底部C距F處29m遠． 【解析】分析：（1）在Rt△EFH中，根據(jù)坡度的定義得出tan∠EFH=i=1：0.75==，設EH=4x，則FH=3x，由勾股定理求出EF==5x，那么5x=15，求出x=3，即可得到山坡EF的水平寬度FH為9m； （2）根據(jù)該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25，列出不等式≥1.25，解不等式即可． 詳解：（1）在Rt△EFH中，∵∠H=90°， ∴tan∠EFH=i=1：0.75==， 設EH=4x，則FH=3x， ∴EF==5x， ∵EF=15， ∴5x=15，x=3， ∴FH=3x=9． 即山坡EF的水平寬度FH為9m； （2）∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13， H=AB+EH=22.5+12=34.5，H1=0.9， ∴日照間距系數(shù)=L：（H﹣H1）=， ∵該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25， ∴≥1.25， ∴CF≥29． 答：要使該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25，底部C距F處29m遠． 點睛：本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，勾股定理，將實際問題轉化為數(shù)學問題是解題的關鍵。 19