高三數(shù)學(xué) 不等式的性質(zhì)、不等式證明 知識精講 通用版

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1、 高三數(shù)學(xué) 不等式的性質(zhì)、不等式證明 知識精講 通用版 【本講主要內(nèi)容】 不等式的性質(zhì)、不等式證明 【知識掌握】 【知識點精析】 實數(shù)集與數(shù)軸間一一對應(yīng)關(guān)系，數(shù)軸上任意兩點所對應(yīng)的實數(shù)都有大小之別（右邊的點對應(yīng)的實數(shù)較大），任取兩實數(shù)a、b，a＞b，a＝b，a＜b三者中有且只有一式成立：a＞ba－b＞0，a＝ba－b＝0，a＜ba－b＜0。 在不等式的意義的基礎(chǔ)上總結(jié)出的不等式的性質(zhì)是我們證明不等式的理論基礎(chǔ)，要熟練掌握。 對不等式的證明，從思想方法上，有如下四種： 1. 比較法，這是直接利用不等式的意義：A＞BA－B＞0等等，有時為方便計

2、，也使用其變種：A＞B等等。 2. 分析法，從結(jié)論的需要出發(fā)，看條件是否能提供，如原來證明AB，我們就由BCD…A，也有稱之為“執(zhí)果索因”的，只是書寫時必須要注意，切不可寫為：∵B ∴C ∴D …，∴A由已知，命題成立，因為這樣實際上是證明了逆命題，與原命題正確與否不相干。 3. 綜合法，也有稱為“執(zhí)因索果”的，是由已知條件或定理出發(fā)，逐次推出結(jié)論成立。 4. 反證法，當正面證明不易奏效時，不妨考慮反證法，特別地，有“存在”、“至少”等詞語的問題中，往往收到奇效。 其它還有判別式法，放縮法，函數(shù)法，換元法，有時也采用數(shù)學(xué)歸納法等。 證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、

3、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法。要依據(jù)題設(shè)、條件的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點，為溝通聯(lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的。 在諸多方法中，最基本的方法是比較法，它的一般步驟是：作差（商）→變形→判斷符號（值）。變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述，如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證。 綜合法也是常用的方法之一，在證明時常常用到如下公式： （1）≥2ab（a，b∈R） （2）≥ （3）≥2（a·b>0） （4

4、）≥ （5）若a，b∈R，則||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b| 【解題方法指導(dǎo)】 例1. 設(shè)a＞0，b＞0，求證：（）（）≥a+b。 剖析：不等式兩端都是多項式的形式，故可用比差法證明或比商法證明。 證法一：左邊－右邊＝－（＋） ＝ ＝＝≥0。 ∴原不等式成立。 證法二：左邊＞0，右邊＞0， ＝＝≥＝1。 ∴原不等式成立。 評述：用比較法證不等式，一般要經(jīng)歷作差（或商）、變形、判斷三個步驟。變形的主要手段是通分、因式分解或配方。在變形過程中，也可利用基本不等式放縮，如證法二。要注意的是，作差對兩個式的值的符號沒有要求，作差后的式子與0進行大小比較；而作商

5、通常對兩個式子的值的符號有要求，作商后的式子與1進行大小比較。 例2. a1、b1、a2、b2 ∈R，求證：（a12+a22）（ b12+b22）≥（a1b1+a2b2）2。 剖析：這是“柯西不等式”在n＝2時的特殊情況，我們利用它來回顧一下常用的幾種證明方法： 證法一（作差比較法）： 左－右＝（a12b12+a22b22+a12+b22+a22+b12）－（a12b12+a22b22+2a1b1a2b2）＝a12b22―2a1b2a2b1+a22b12＝（a1b2―a2b1）2≥0。 ∴原不等式成立。 證法二（判別式法）： ∵（a1x+b1）2+（a2x+b2）2≥0恒成立

6、。 ∴（a12+a22）x2+2 （a1b1+a2b2）x +（b12+b22）≥0恒成立。 若a12+a22＞0，則△＝4（a1b1+a2b2）2－4（a12+a22）（b12+b22）≤0 ∴（a12+a22）（b12+b22）≥（a1b1+a2b2）2。 若a12+a22＝0，則a1＝a2＝0，原不等式左、右均為0，也成立。 其它方法如： 分析法：左＝a12b12+a22b22+a12b22+a22b12，右＝a12b12+a22b22+2a1a2b1b2，要證原式，只要證明a12b22+a22b12≥2a1a2b1b2，即可 綜合法：∵a12b22+a22b12≥2a1a

7、2b1b2，兩邊同加a12b12+a22b22。 構(gòu)造法：作向量a＝（ a1，a2），b＝（ b1， b2），由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可得 （a）2（b）2≥（a·b）2，代入坐標立得。 幾何法：在直角坐標系內(nèi)取點A（a1，a2）B（b1，b2），則 OA+OB≥AB（+）2≥（）2 亦即≥－（a1b1+a2b2） 右邊為負時當然成立，非負時平方即得。 評講：這一問題的解決方法說明了不等式證明方法的多樣性及靈活性。另外，這個不等式也是一個重要的基本不等式，只不過它只是出現(xiàn)在課本的例習(xí)題中，在今后的學(xué)習(xí)中，我們也可以直接使用這個不等式解決有關(guān)問題。最后大家想一想：這樣的實數(shù)增加到3對、

8、4對……，上面的方法還都有效嗎？ 例3. 已知a>b>0，求證： 剖析：不等式的運算形式是比較復(fù)雜的，一眼看不出從哪兒下手，這時可以用分析法對不等式變形。 證明：若證原不等式成立，只要證： 只要證明，只要證 只要證，只要證 只要證，即證，即證成立 ∵a>b>0此式顯然成立，又以上各步均可逆。 ∴原不等式成立。 評講：分析可以讓我們揭開一個不等式的真面目。同學(xué)們要注意的是在使用分析法時，一定按照規(guī)范的格式書寫。 【考點突破】 【考點指要】 高考考綱要求：理解不等式的性質(zhì)及其證明；掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理；掌握分析法、綜合

9、法、比較法證明簡單的不等式。 從近幾年的高考試題來看，有關(guān)不等式的試題基本上都是一道選擇題或填空題和一道解答題，解答題一般是解不等式和證明不等式，純粹本單元的試題分值逐漸減少，但在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和實際應(yīng)用問題的試題中常涉及不等式的知識，在綜合題的解題過程中處處分布著不等式的知識、方法和技巧，理科平均約9%，文科約7%。 關(guān)于不等式證明的內(nèi)容年年都有，大部分是間接考查不等式的證明，有時也直接考查。 年份 題號 分值 占總分比例 題型 考查內(nèi)容 2001 20 12 8% 解答題 不等式證明與排列組合二項式定理綜合 2002全國 22 14

10、9.5% 解答題 不等式證明與數(shù)列知識綜合 2002北京 18 12 8% 解答題 與立幾何結(jié)合考查不等式證明方法中的比較法 2002北京 19 12 8% 解答題 不等式證明與數(shù)列知識綜合 2003江蘇 22 14 9.5% 解答題 不等式證明與二次函數(shù)，數(shù)列等知識綜合 2003北京 20 14 9.5% 解答題 不等式性質(zhì)，證明等綜合應(yīng)用 2004江蘇 22 14 9.5% 解答題 不等式證明與函數(shù)知識綜合 2004福建 21 12 8% 解答題 不等式證明與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識綜合 2004北京 20 13

11、9% 解答題 不等式證明等基本知識 2004全國 22 14 9.5% 解答題 不等式證明與數(shù)列知識綜合 2004遼寧 21 14 9.5% 解答題 不等式證明與函數(shù)知識綜合 2004湖南 22 14 9.5% 解答題 不等式證明與數(shù)列知識綜合 2004重慶 22 14 9.5% 解答題 不等式證明與數(shù)列知識綜合 2005全國 13 4 19% 填空題 不等式與指數(shù)的綜合 19 12 解答題 不等式證明與數(shù)列知識綜合 22 12 解答題 不等式證明與函數(shù)知識綜合 2006全國 22 12 8% 解答題

12、不等式證明與數(shù)列知識綜合 證明不等式是理科（或文理合卷的省、市）考查的重點，不等式證明題歷來難度大，區(qū)分度高，綜合性強，創(chuàng)新不斷，同學(xué)平時練習(xí)題與高考試題差距較大，所以我們在學(xué)習(xí)時一方面要重視對基礎(chǔ)知識、基本方法的復(fù)習(xí)，另一方面更要注重證明方法中蘊含的思想方法、技巧、技能。 【典型例題分析】 例4. （2002年北京）數(shù)列{xn}由下列條件確定： （Ⅰ）證明：對n≥2，總有； （Ⅱ）證明：對n≥2，總有。 證明：（Ⅰ）（均值不等式的應(yīng)用—綜合法）： 由，可歸納證明 從而有，所以，當n≥2時，成立。 （Ⅱ）證法一（作差比較法）： 當

13、n≥2時，因為， 所以，故當n≥2時，成立。 證法二（作商比較法）： 當n≥2時，因為，所以 故當n≥2時，成立。 評講：此題是以數(shù)列為知識背景，把數(shù)列與不等式證明綜合起來，重點還是考查不等式證明方法中最基本的方法——綜合法和比較法。 例5. （2001，全國，理，20）已知i，m，n是正整數(shù)，且1（1+n）m 證明：（1）對于1＜i≤m，且A ＝m·…·（m－i+1）， ， 由于m＜n，對于整數(shù)k＝1，2，…，i－1，有， 所以 （2）由二項式定理有 （1+m）n

14、＝1+Cm+Cm2+…+Cmn， （1+n）m＝1+Cn+Cn2+…+Cnm， 由（1）知miA＞niA （1＜i≤m，而C＝ ∴miCin＞niCim（1＜m＜n ∴m0C＝n0C＝1，mC＝nC＝m·n，m2C＞n2C，…， mmC＞nmC，mm+1C＞0，…，mnC＞0， ∴1+Cm+Cm2+…+Cmn＞1+Cn+C2mn2+…+Cnm， 即（1+m）n＞（1+n）m成立 評講：在第一問中一定要弄清符號Ami的意義，把要證的式子用“隔離參數(shù)”的思想變形為，再比較兩邊對應(yīng)的比值即可。在第二問中要注意使用第一問的結(jié)論，把排列數(shù)之間的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為組合數(shù)之間的不等關(guān)系。

15、 例6. （2002江蘇，22）已知a＞0，函數(shù)f（x）＝ax－bx2。 （1）當b＞0時，若對任意x∈R都有f（x）≤1，證明a≤2； （2）當b＞1時，證明：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2； （3）當0＜b≤1時，討論：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件。 證明：（Ⅰ）依設(shè)，對任意x∈R，都有f（x）≤1，∵f（x）＝， ∴≤1，∵a＞0，b＞0，∴a≤2。 （Ⅱ）證明：必要性 對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1－1≤f（x），據(jù)此可以推出－1≤f（1）， 即a－b≥－1，∴a≥b－1； 對任意x∈［0，1］，|f（x

16、）|≤1f（x）≤1，因為b＞1， 可以推出f（）≤1，即a·－1≤1， ∴a≤2；∴b－1≤a≤2。 充分性 因為b＞1，a≥b－1，對任意x∈［0，1］，可以推出 ax－bx2≥b（x－x2）－x≥－x≥－1，即ax－bx2≥－1； 因為b＞1，a≤2，對任意x∈［0，1］，可以推出ax－bx2≤2x－bx2≤1， 即ax－bx2≤1?！啵?≤f（x）≤1。 綜上，當b＞1時，對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2。 （Ⅲ）解：因為a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈［0，1］： f（x）＝ax－bx2≥－b≥－1，即f（x）≥－1； f（x）≤

17、1f（1）≤1a－b≤1，即a≤b＋1， a≤b＋1f（x）≤（b＋1）x－bx2≤1，即f（x）≤1。 所以，當a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是a≤b＋1。 評講：在證明的過程中要注意結(jié)合二次函數(shù)特殊的性質(zhì)，不等式對所給區(qū)間上的任意一個值都成立，當然對一個特殊值（比如：頂點處）也成立，這樣我們就把一個一般的函數(shù)不等式變?yōu)槲覀兯枰牟缓兞縳的不等式。 【達標測試】 一. 選擇題： 1. （2006安徽4）設(shè)，已知命題；命題，則是成立的（ ） A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C. 充分必

18、要條件 D. 既不充分也不必要條件 2. 如果a，b，c滿足cac B. c（b-a）>0 C. cb2

19、 C. 2個 D. 3個 5. 設(shè)a>1，0

20、. 已知，則的最大值為 ，最小值為 。 10. 設(shè)a<0，－1

21、式成立，能否將條件“a＞1”適當放寬？若能，請放寬條件并簡述理由；若不能，也請說明理由。 ⑶請你根據(jù)⑴、⑵的證明，試寫出一個類似的更為一般的結(jié)論，且給予證明。 【綜合測試】 一. 選擇題： 1. （2003年南京市質(zhì)檢題）若＜＜0，則下列結(jié)論不正確的是（ ） A. a2＜b2 B. ab＜b2 C. +＞2 D. |a|+|b|＞|a+b| 2. 命題p：若a、b∈R，則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件。 命題q：函數(shù)y＝的定義域是（-∞，-13，+∞）。則（ ） A. “p或q”為假 B. “p且q”為真

22、 C. p真q假 D. p假q真 3. 若a、b為實數(shù)， 且a+b＝2， 則3a+3b的最小值為 （ ） A. 18 B. 6 C. 2 D. 2 4. 設(shè)p+q＝1， p>0， q>0， 則不等式成立的一個充分條件是（ ） A. 01 5. （2006江蘇８）設(shè)a，b，c是互不相等的三個正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是（ ） A. |a-b|≤|a-c|+|b-c| B. a2+ C. |a-b|

23、+ D. 6. （2005年高考·福建卷·理11）設(shè)的最小值是（ ） A. B. C. －3 D. 7. （2005年春北京）若不等式（－1）na＜2+對任意n∈N*恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.［－2，］ B.（－2，） C.［－3，］ D.（－3，） 8. （2000全國）若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），則（ ） A.R＜P＜Q B.P＜Q＜R C.Q＜P＜R D. P＜R＜Q 二. 填空題： 9. 若a＞b＞c，則+_______。（填“＞”“＝”“＜”＝ 10. 若的

24、大小關(guān)系是________________________。 11. （1999全國，17）若正數(shù)a、b滿足ab＝a+b+3，則ab的取值范圍是 。 12. 若<0，已知下列不等式：①a+b|b| ③a2 其中正確的不等式的序號為 。 三. 解答題： 13. 若+＝1，求證：x+y≥（+）2（式中a、b、x、y均當正實數(shù)） 14. 已知a、b為正數(shù)，求證： （1）若+1＞，則對于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+＞b成立； （2）若對于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+＞b成立，則+1＞。 15. （

25、2006廣東20）是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對任意的，都有；②存在常數(shù)，使得對任意的，都有。 （I）設(shè)，證明：； （II）設(shè)，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的； （III）設(shè)，任取，令，。 【達標測試答案】 一. 選擇題： 1. 解：命題是命題等號成立的充分條件，故選B。 2. 解析：取b＝0，可驗證C不成立。C 3. 答案：A 4. 解析：p是假命題，q是真命題，故①③正確。選C。 5. 解析：∵a>1，0

26、1。 ∴x+y≥2+2。 答案：B 7. 解析：設(shè) 則，即 故＝。 選B 8. 解析：M－N＝x2+y2+1－（x+y+xy） ＝［（x2+y2－2xy）+（x2－2x+1）+（y2－2y+1）］ ＝［（x－y）2+（x－1）2+（y－1）2］≥0。 答案：A 二. 填空題： 9. 解析：由得0≤|xy|≤，所以＝1-（xy）2＝1-x2y2∈[，1]。 填1，。 10. 解析： a＜ab2＜ab 11. 解析：a2+＝1a2+＝。 ∴a＝·a·≤·＝·＝。 答案： 12. 解析：①②④⑤均可舉出反例，③可用反證法證明“若兩數(shù)均小于1，則a+b<2”，

27、與題設(shè)矛盾。 填③ 三. 解答題： 13. 證明：∵ ∴＋≥2（） ∴≥ 證畢！ 14. 證法一：（分析綜合法） 欲證原式，即證4（ab）2+4（a2+b2）－25ab+4≥0，即證4（ab）2－33（ab）+8≥0 即證ab≤或ab≥8。 ∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴ab≥8不可能成立∵1＝a+b≥2，∴ab≤從而得證。 證法二：（均值代換法）設(shè)a＝+t1，b＝+t2，∵a+b＝1，a＞0，b＞0， ∴t1+t2＝0，|t1|＜，|t2|＜ 顯然當且僅當t＝0，即a＝b＝時，等號成立。 證法三：（比較法） ∵a+b＝1，a＞0，b＞0，∴a

28、+b≥2，∴ab≤ 證法四：（綜合法） ∵a+b＝1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤ 證法五：（三角代換法） ∵ a＞0，b＞0，a+b＝1，故令a＝sin2α，b＝cos2α，α∈（0，） 15. 證明：（1） ∵a＞1，∴＞0， ∴原不等式成立 （2）解：∵a-1與a5-1同號對任何a＞0且a11恒成立 ∴上述不等式的條件可放寬為a＞0且a11 （3）解：根據(jù)（1）（2）的證明， 可推知：若a＞0且a11，m＞n＞0，則有 證：左式-右式 ＝ 若a＞1，則由m＞n＞0Tam-n＞0，am+n＞0T不等

29、式成立； 若0＜a＜1，則由m＞n＞0T0＜am-n＜1， 0＜am+n＜1T不等式成立。 【綜合測試答案】 一. 選擇題： 1. 解析：由＜＜0，知b＜a＜0。 ∴A不正確。 答案：A 2. 解析：取a＝1，b＝－1，可驗證p假； 由，可得（-∞，-13，+∞），故q真。 選D 3. 解析：∵a+b＝2， ∴3a+3b。 答案：B 4. 解析：∵p+q＝1， p>0， q>0，則由，得 若x>1，則，則，故選D。 5. 解析：|a-b|＝|a-c+c-b|≤|a-c|+|b-c|恒成立， 因為a>0，所以a+≥2恒成立； 所以a2+≥0 即a2+恒成立；

30、 又因為， 所以恒成立；當a>b時|a-b|+成立， 當a

31、＜R 選B 二. 填空題： 9. 解析：a＞b＞c，（+）（a－c）＝（+）［（a－b）+（b－c）］ ≥2·2＝4。 ∴+≥＞。 答案：“＞” 10. 解析：（用求商比較法） 11. 解析一：令＝t（t>0）由ab＝a+b+3≥2+3，得t2≥2t+3 解得t≥3，即≥3。故ab≥9。 解析二：由已知得ab－b＝a+3，b（a－1）＝a+3，∴b＝（a>1） ∴ab＝a＝［（a－1）+1］＝a+3+＝a－1+4+ ＝a－1++5≥2+5＝9。當且僅當a－1＝時取等號。 即a＝b＝3時ab的最小值為9。所以ab的取值范圍是［9，+∞）。 答案：ab≥9 12.

32、 解析： ∵<0 ， ∴b<<0，故②③錯。①，④ 三. 解答題： 13. 解1：∵1＝+ ∴x+y＝1·（x+y）＝（+）·（x+y）＝a+b+≥（+）2 當且僅當 ay2＝bx2時取“＝”號。 解2：設(shè) θ∈（0，），則 ∴x+y＝a（1+tan2θ）+b（1+cot2θ）≥a+b+2＝（+）2 （如用柯西不等式，可直接證明： x+y＝（x+y）（+）≥（+）2＝（+）2 當然，如下用柯西不等式，則 x+y＝（x+y）（+）＝a+b+a+b≥a+b+2＝（+）2。 14. 證明：（1）ax+＝a（x－1）++1+a≥2+1+a＝（+1）2。 ∵+1＞（

33、b＞0），∴（+1）2＞b。 成立。 （2）∵ax+＞b對于大于1的實數(shù)x恒成立，即x＞1時，［ax+］min＞b， 而ax+＝a（x－1）++1+a≥2+1+a＝（+1）2， 當且僅當a（x－1）＝，即x＝1+＞1時取等號。 故［ax+］min＝（+1）2。 則（+1）2＞b，即+1＞。 15. 證明：給定正整數(shù)，對任意的正整數(shù)，不等式成立 證明：（I）、對任意，，，，所以 對任意的， ， ， 所以0<， 令＝，， ， 所以 （II）反證法：設(shè)存在兩個使得， 則由 得，所以，矛盾，故結(jié)論成立。 （III），所以 +… 用心 愛心 專心 116號編輯