《開放性問題》word版

開放性問題 1. （2014?四川巴中，第28題10分）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)BE，CF． （1）請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△BEH≌△CFH，你添加的條件是　　，并證明． （2）在問題（1）中，當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形BFCE是矩形，請(qǐng)說明理由． 2. （2014?山東威海，第24題11分）猜想與證明： 如圖1擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點(diǎn)，連接DM、ME，試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 拓展與延伸： （1）若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關(guān)系為 DM=DE ． （2）如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試證明（1）中的結(jié)論仍然成立． 3. （2014?山東棗莊，第22題8分）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，已知O是AC的中點(diǎn)，AE=CF，DF∥BE． （1）求證：△BOE≌△DOF； （2）若OD=AC，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請(qǐng)證明你的結(jié)論． 4. （2014?山東煙臺(tái)，第25題10分）在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)． （1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E自D向C，點(diǎn)F自C向B移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，請(qǐng)你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由； （2）如圖②，當(dāng)E，F(xiàn)分別移動(dòng)到邊DC，CB的延長線上時(shí)，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請(qǐng)你直接回答“是”或“否”，不需證明） （3）如圖③，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動(dòng)時(shí)，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由； （4）如圖④，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖．若AD=2，試求出線段CP的最小值． 5. （2014?浙江杭州，第23題，12分）復(fù)習(xí)課中，教師給出關(guān)于x的函數(shù)y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是實(shí)數(shù)）． 教師：請(qǐng)獨(dú)立思考，并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關(guān)的結(jié)論（性質(zhì)）寫到黑板上． 學(xué)生思考后，黑板上出現(xiàn)了一些結(jié)論．教師作為活動(dòng)一員，又補(bǔ)充一些結(jié)論，并從中選出以下四條： ①存在函數(shù)，其圖象經(jīng)過（1，0）點(diǎn)； ②函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸總有三個(gè)不同的交點(diǎn)； ③當(dāng)x＞1時(shí)，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減??； ④若函數(shù)有最大值，則最大值比為正數(shù)，若函數(shù)有最小值，則最小值比為負(fù)數(shù)． 教師：請(qǐng)你分別判斷四條結(jié)論的真假，并給出理由．最后簡(jiǎn)單寫出解決問題時(shí)所用的數(shù)學(xué)方法． 　 開放性問題 1. （2014?四川巴中，第28題10分）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)BE，CF． （1）請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△BEH≌△CFH，你添加的條件是　　，并證明． （2）在問題（1）中，當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形BFCE是矩形，請(qǐng)說明理由． 考點(diǎn)：矩形的判定． 分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定方法，可得出當(dāng)EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH時(shí)，都可以證明△BEH≌△CFH， （2）由（1）可得出四邊形BFCE是平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形可得出BH=EH時(shí)，四邊形BFCE是矩形． 解答：（1）答：添加：EH=FH，證明：∵點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，∴BH=CH， 在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）； （2）解：∵BH=CH，EH=FH， ∴四邊形BFCE是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形）， ∵當(dāng)BH=EH時(shí)，則BC=EF， ∴平行四邊形BFCE為矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形）． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定，是基礎(chǔ)題，難度不大． 2. （2014?山東威海，第24題11分）猜想與證明： 如圖1擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點(diǎn)，連接DM、ME，試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 拓展與延伸： （1）若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關(guān)系為 DM=DE ． （2）如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試證明（1）中的結(jié)論仍然成立． 考點(diǎn)： 四邊形綜合題 分析： 猜想：延長EM交AD于點(diǎn)H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明． （1）延長EM交AD于點(diǎn)H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明， （2）連接AE，AE和EC在同一條直線上，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明， 解答： 猜想：DM=ME 證明：如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H， ∵四邊形ABCD和CEFG是矩形， ∴AD∥EF， ∴∠EFM=∠HAM， 又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM， 在△FME和△AMH中， ∴△FME≌△AMH（ASA） ∴HM=EM， 在RT△HDE中，HM=EM， ∴DM=HM=ME， ∴DM=ME． （1）如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H， ∵四邊形ABCD和CEFG是矩形， ∴AD∥EF， ∴∠EFM=∠HAM， 又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM， 在△FME和△AMH中， ∴△FME≌△AMH（ASA） ∴HM=EM， 在RT△HDE中，HM=EM， ∴DM=HM=ME， ∴DM=ME， 故答案為：DM=ME． （2）如圖2，連接AE， ∵四邊形ABCD和ECGF是正方形， ∴∠FCE=45°，∠FCA=45°， ∴AE和EC在同一條直線上， 在RT△ADF中，AM=MF， ∴DM=AM=MF， 在RT△AEF中，AM=MF， ∴AM=MF=ME， ∴DM=ME． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)及直角三角形的中線與斜邊的關(guān)系找出相等的線段． 3. （2014?山東棗莊，第22題8分）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，已知O是AC的中點(diǎn)，AE=CF，DF∥BE． （1）求證：△BOE≌△DOF； （2）若OD=AC，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請(qǐng)證明你的結(jié)論． 考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；矩形的判定 專題： 計(jì)算題． 分析： （1）由DF與BE平行，得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由O為AC的中點(diǎn)，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得證； （2）若OD=AC，則四邊形ABCD為矩形，理由為：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用對(duì)角線互相平分且相等的四邊形為矩形即可得證． 解答： （1）證明：∵DF∥BE， ∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO， ∵O為AC的中點(diǎn)，即OA=OC，AE=CF， ∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）； （2）若OD=AC，則四邊形ABCD是矩形，理由為： 證明：∵△BOE≌△DOF， ∴OB=OD， ∴OA=OB=OC=OD，即BD=AC， ∴四邊形ABCD為矩形． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 4. （2014?山東煙臺(tái)，第25題10分）在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)． （1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E自D向C，點(diǎn)F自C向B移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，請(qǐng)你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由； （2）如圖②，當(dāng)E，F(xiàn)分別移動(dòng)到邊DC，CB的延長線上時(shí)，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請(qǐng)你直接回答“是”或“否”，不需證明） （3）如圖③，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動(dòng)時(shí)，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由； （4）如圖④，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖．若AD=2，試求出線段CP的最小值． 考點(diǎn)：全等三角形，正方形的性質(zhì)，勾股定理，運(yùn)動(dòng)與變化的思想. 分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先證得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF； （2）是．四邊形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因?yàn)椤螩DF+∠ADF=90°，∠DAE+ ∠ADF=90°，所以AE⊥DF； （3）成立．由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF，延長FD交AE于點(diǎn)G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF； （4）由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90°，所以點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接OC交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長度最小，再由勾股定理可得 OC的長，再求CP即可． 解答：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF． ∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF； （2）是； （3）成立． 理由：由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF 延長FD交AE于點(diǎn)G， 則∠CDF+∠ADG=90°， ∴∠ADG+∠DAE=90°． ∴AE⊥DF； （4）如圖： 由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90°， ∴點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧， 設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接OC交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長度最小， 在Rt△ODC中，OC=， ∴CP=OC﹣OP=． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了四邊形的綜合知識(shí)．綜合性較強(qiáng)，特別是第（4）題要認(rèn)真分析． 5. （2014?浙江杭州，第23題，12分）復(fù)習(xí)課中，教師給出關(guān)于x的函數(shù)y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是實(shí)數(shù)）． 教師：請(qǐng)獨(dú)立思考，并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關(guān)的結(jié)論（性質(zhì)）寫到黑板上． 學(xué)生思考后，黑板上出現(xiàn)了一些結(jié)論．教師作為活動(dòng)一員，又補(bǔ)充一些結(jié)論，并從中選出以下四條： ①存在函數(shù)，其圖象經(jīng)過（1，0）點(diǎn)； ②函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸總有三個(gè)不同的交點(diǎn)； ③當(dāng)x＞1時(shí)，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減小； ④若函數(shù)有最大值，則最大值比為正數(shù)，若函數(shù)有最小值，則最小值比為負(fù)數(shù)． 教師：請(qǐng)你分別判斷四條結(jié)論的真假，并給出理由．最后簡(jiǎn)單寫出解決問題時(shí)所用的數(shù)學(xué)方法． 考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題 分析： ①將（1，0）點(diǎn)代入函數(shù)，解出k的值即可作出判斷； ②首先考慮，函數(shù)為一次函數(shù)的情況，從而可判斷為假； ③根據(jù)二次函數(shù)的增減性，即可作出判斷； ④當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，無最大之和最小值，當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)為拋物線，求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)表達(dá)式，即可作出判斷． 解答： 解：①真，將（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1=0， 解得：k=0． 運(yùn)用方程思想； ②假，反例：k=0時(shí)，只有兩個(gè)交點(diǎn)．運(yùn)用舉反例的方法； ③假，如k=1，﹣=，當(dāng)x＞1時(shí)，先減后增；運(yùn)用舉反例的方法； ④真，當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)無最大、最小值； k≠0時(shí)，y最==﹣， ∴當(dāng)k＞0時(shí)，有最小值，最小值為負(fù)； 當(dāng)k＜0時(shí)，有最大值，最大值為正．運(yùn)用分類討論思想． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的綜合，立意新穎，結(jié)合考察了數(shù)學(xué)解題過程中經(jīng)常用到的幾種解題方法，同學(xué)們注意思考、理解，難度一般．