《開放性問題》word版

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1、開放性問題 1. （2014?四川巴中，第28題10分）如圖，在四邊形ABCD中，點H是BC的中點，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點E，F(xiàn)，連結BE，CF． （1）請你添加一個條件，使得△BEH≌△CFH，你添加的條件是　　，并證明． （2）在問題（1）中，當BH與EH滿足什么關系時，四邊形BFCE是矩形，請說明理由． 2. （2014?山東威海，第24題11分）猜想與證明： 如圖1擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點，連接DM、ME，試猜想DM與ME的關系，并證明你的結論． 拓展與

2、延伸： （1）若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關系為 DM=DE ． （2）如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點F在邊CD上，點M仍為AF的中點，試證明（1）中的結論仍然成立． 3. （2014?山東棗莊，第22題8分）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，已知O是AC的中點，AE=CF，DF∥BE． （1）求證：△BOE≌△DOF； （2）若OD=AC，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請證明你的結論． 4. （2014?山東煙臺，第25題10分）在正方形ABCD中，動

3、點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動． （1）如圖①，當點E自D向C，點F自C向B移動時，連接AE和DF交于點P，請你寫出AE與DF的位置關系，并說明理由； （2）如圖②，當E，F(xiàn)分別移動到邊DC，CB的延長線上時，連接AE和DF，（1）中的結論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明） （3）如圖③，當E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由； （4）如圖④，當E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動時，連接AE和DF交于點P，由于點E，F(xiàn)的移動，使得點P也隨之運動，請你畫出點P運動路徑的草圖．若AD=

4、2，試求出線段CP的最小值． 5. （2014?浙江杭州，第23題，12分）復習課中，教師給出關于x的函數(shù)y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是實數(shù)）． 教師：請獨立思考，并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關的結論（性質）寫到黑板上． 學生思考后，黑板上出現(xiàn)了一些結論．教師作為活動一員，又補充一些結論，并從中選出以下四條： ①存在函數(shù)，其圖象經(jīng)過（1，0）點； ②函數(shù)圖象與坐標軸總有三個不同的交點； ③當x＞1時，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減??； ④若函數(shù)有最大值，則最大值比為正數(shù)，若函數(shù)有最小值，則最小值比為負數(shù)． 教師：請你分別判斷四條結論

5、的真假，并給出理由．最后簡單寫出解決問題時所用的數(shù)學方法． 　 開放性問題 1. （2014?四川巴中，第28題10分）如圖，在四邊形ABCD中，點H是BC的中點，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點E，F(xiàn)，連結BE，CF． （1）請你添加一個條件，使得△BEH≌△CFH，你添加的條件是　　，并證明． （2）在問題（1）中，當BH與EH滿足什么關系時，四邊形BFCE是矩形，請說明理由． 考點：矩形的判定． 分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定方法，可得出當EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH時，都可以證明△BEH≌△CFH， （2）由

6、（1）可得出四邊形BFCE是平行四邊形，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形為矩形可得出BH=EH時，四邊形BFCE是矩形． 解答：（1）答：添加：EH=FH，證明：∵點H是BC的中點，∴BH=CH， 在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）； （2）解：∵BH=CH，EH=FH， ∴四邊形BFCE是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形為平行四邊形）， ∵當BH=EH時，則BC=EF， ∴平行四邊形BFCE為矩形（對角線相等的平行四邊形為矩形）． 點評：本題考查了全等三角形的判定和性質以及平行四邊形的判定，是基礎題，難度不大． 2. （2014?山東威海，第24題11分

7、）猜想與證明： 如圖1擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點，連接DM、ME，試猜想DM與ME的關系，并證明你的結論． 拓展與延伸： （1）若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關系為 DM=DE ． （2）如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點F在邊CD上，點M仍為AF的中點，試證明（1）中的結論仍然成立． 考點： 四邊形綜合題 分析： 猜想：延長EM交AD于點H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，

8、斜邊的中線等于斜邊的一半證明． （1）延長EM交AD于點H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明， （2）連接AE，AE和EC在同一條直線上，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明， 解答： 猜想：DM=ME 證明：如圖1，延長EM交AD于點H， ∵四邊形ABCD和CEFG是矩形， ∴AD∥EF， ∴∠EFM=∠HAM， 又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM， 在△FME和△AMH中， ∴△FME≌△AMH（ASA） ∴HM=EM， 在RT△HDE中，HM=EM， ∴DM=HM=ME， ∴DM=M

9、E． （1）如圖1，延長EM交AD于點H， ∵四邊形ABCD和CEFG是矩形， ∴AD∥EF， ∴∠EFM=∠HAM， 又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM， 在△FME和△AMH中， ∴△FME≌△AMH（ASA） ∴HM=EM， 在RT△HDE中，HM=EM， ∴DM=HM=ME， ∴DM=ME， 故答案為：DM=ME． （2）如圖2，連接AE， ∵四邊形ABCD和ECGF是正方形， ∴∠FCE=45°，∠FCA=45°， ∴AE和EC在同一條直線上， 在RT△ADF中，AM=MF， ∴DM=AM=MF， 在RT△AEF中，AM=MF， ∴AM

10、=MF=ME， ∴DM=ME． 點評： 本題主要考查四邊形的綜合題，解題的關鍵是利用正方形的性質及直角三角形的中線與斜邊的關系找出相等的線段． 3. （2014?山東棗莊，第22題8分）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，已知O是AC的中點，AE=CF，DF∥BE． （1）求證：△BOE≌△DOF； （2）若OD=AC，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請證明你的結論． 考點： 全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質；矩形的判定 專題： 計算題． 分析： （1）由DF與BE平行，得到兩對內(nèi)錯角相等，再由O為AC的中點，得到OA=OC，又AE=

11、CF，得到OE=OF，利用AAS即可得證； （2）若OD=AC，則四邊形ABCD為矩形，理由為：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用對角線互相平分且相等的四邊形為矩形即可得證． 解答： （1）證明：∵DF∥BE， ∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO， ∵O為AC的中點，即OA=OC，AE=CF， ∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）； （2）若OD=AC，則四邊形ABCD是矩形，理由為： 證明：∵△BOE≌△DOF， ∴OB=OD， ∴OA=OB=OC=OD，即BD=A

12、C， ∴四邊形ABCD為矩形． 點評： 此題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，以及平行線的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵． 4. （2014?山東煙臺，第25題10分）在正方形ABCD中，動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動． （1）如圖①，當點E自D向C，點F自C向B移動時，連接AE和DF交于點P，請你寫出AE與DF的位置關系，并說明理由； （2）如圖②，當E，F(xiàn)分別移動到邊DC，CB的延長線上時，連接AE和DF，（1）中的結論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明） （3）如圖③，當E，F(xiàn)分別在邊C

13、D，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由； （4）如圖④，當E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動時，連接AE和DF交于點P，由于點E，F(xiàn)的移動，使得點P也隨之運動，請你畫出點P運動路徑的草圖．若AD=2，試求出線段CP的最小值． 考點：全等三角形，正方形的性質，勾股定理，運動與變化的思想. 分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先證得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性質得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF； （2）是．四邊形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于

14、是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因為∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+ ∠ADF=90°，所以AE⊥DF； （3）成立．由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF，延長FD交AE于點G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF； （4）由于點P在運動中保持∠APD=90°，所以點P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設AD的中點為O，連接OC交弧于點P，此時CP的長度最小，再由勾股定理可得 OC的長，再求CP即可． 解答：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF． ∴AE=DF，∠DAE=

15、∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF； （2）是； （3）成立． 理由：由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF 延長FD交AE于點G， 則∠CDF+∠ADG=90°， ∴∠ADG+∠DAE=90°． ∴AE⊥DF； （4）如圖： 由于點P在運動中保持∠APD=90°， ∴點P的路徑是一段以AD為直徑的弧， 設AD的中點為O，連接OC交弧于點P，此時CP的長度最小， 在Rt△ODC中，OC=， ∴CP=OC﹣OP=． 點評： 本題主要考查了四邊形的綜合知識．綜合性較強，特別是第（4）題要認真分析． 5. （20

16、14?浙江杭州，第23題，12分）復習課中，教師給出關于x的函數(shù)y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是實數(shù)）． 教師：請獨立思考，并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關的結論（性質）寫到黑板上． 學生思考后，黑板上出現(xiàn)了一些結論．教師作為活動一員，又補充一些結論，并從中選出以下四條： ①存在函數(shù)，其圖象經(jīng)過（1，0）點； ②函數(shù)圖象與坐標軸總有三個不同的交點； ③當x＞1時，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減??； ④若函數(shù)有最大值，則最大值比為正數(shù)，若函數(shù)有最小值，則最小值比為負數(shù)． 教師：請你分別判斷四條結論的真假，并給出理由．最后簡單寫出解決問題時所用的數(shù)學方法． 考

17、點： 二次函數(shù)綜合題 分析： ①將（1，0）點代入函數(shù)，解出k的值即可作出判斷； ②首先考慮，函數(shù)為一次函數(shù)的情況，從而可判斷為假； ③根據(jù)二次函數(shù)的增減性，即可作出判斷； ④當k=0時，函數(shù)為一次函數(shù)，無最大之和最小值，當k≠0時，函數(shù)為拋物線，求出頂點的縱坐標表達式，即可作出判斷． 解答： 解：①真，將（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1=0， 解得：k=0． 運用方程思想； ②假，反例：k=0時，只有兩個交點．運用舉反例的方法； ③假，如k=1，﹣=，當x＞1時，先減后增；運用舉反例的方法； ④真，當k=0時，函數(shù)無最大、最小值； k≠0時，y最==﹣， ∴當k＞0時，有最小值，最小值為負； 當k＜0時，有最大值，最大值為正．運用分類討論思想． 點評： 本題考查了二次函數(shù)的綜合，立意新穎，結合考察了數(shù)學解題過程中經(jīng)常用到的幾種解題方法，同學們注意思考、理解，難度一般．