2017-2018版高中數學 第三章 數系的擴充與復數 3.1.1 實數系 3.1.2 復數的概念學案 新人教B版選修2-2

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1、 3．1.1　實數系 3．1.2　復數的概念 明目標、知重點　1.了解引入虛數單位i的必要性，了解數集的擴充過程.2.理解在數系的擴充中由實數集擴展到復數集出現的一些基本概念.3.掌握復數代數形式的表示方法，理解復數相等的充要條件． 1．復數的有關概念 (1)復數 ①定義：設a，b都是實數，形如a＋bi的數叫做復數，i叫做虛數單位．a叫做復數的實部，b叫做復數的虛部． ②表示方法：復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)． (2)復數集 ①定義：全體復數所構成的集合叫做復數集． ②表示：通常用大寫字母C表示． 2．復數的分類及包含關系 (1)復數(a＋bi

2、，a，b∈R) (2)集合表示： 3．復數相等的充要條件 設a，b，c，d都是實數，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d. [情境導學] 為解決方程x2＝2，數系從有理數擴充到實數．數的概念擴充到實數集后，人們發(fā)現在實數范圍內很多問題還不能解決，如從解方程的角度看，x2＝－1這個方程在實數范圍內就無解，那么怎樣解決方程x2＝－1在實數系中無根的問題呢？我們能否將實數集進行擴充，使得在新的數集中，該問題能得到圓滿解決呢？本節(jié)我們就來研究這個問題． 探究點一　復數的概念 思考1　為解決方程x2＝2，數系從有理數擴充到實數；那么怎樣解決方程x2＋1＝0在實數系中無根的問題呢？

3、 答　設想引入新數i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同時得到一些新數． 思考2　如何理解虛數單位i? 答　(1)i2＝－1. (2)i與實數之間可以運算，亦適合加、減、乘的運算律． (3)由于i2＜0與實數集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以實數集中很多結論在復數集中，不再成立． (4)若i2＝－1，那么i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. 思考3　什么叫復數？怎樣表示一個復數？什么叫虛數？什么叫純虛數？ 答　形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi，這一表示形式叫做復數的代數形式，

4、其中a、b分別叫做復數z的實部與虛部． 對于復數z＝a＋bi(a，b∈R)，當b≠0時叫做虛數；當a＝0且b≠0時，叫做純虛數． 例1　請說出下列復數的實部和虛部，并判斷它們是實數、虛數還是純虛數． ①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0. 解　①的實部為2，虛部為3，是虛數；②的實部為－3，虛部為，是虛數；③的實部為，虛部為1，是虛數；④的實部為π，虛部為0，是實數；⑤的實部為0，虛部為－，是純虛數；⑥的實部為0，虛部為0，是實數． 反思與感悟　復數a＋bi中，實數a和b分別叫做復數的實部和虛部．特別注意，b為復數的虛部而不是虛部的系數，b連同它的符號叫做復數的虛部．

5、 跟蹤訓練1　符合下列條件的復數一定存在嗎？若存在，請舉出例子；若不存在，請說明理由． (1)實部為－的虛數； (2)虛部為－的虛數； (3)虛部為－的純虛數； (4)實部為－的純虛數． 解　(1)存在且有無數個，如－＋i等；(2)存在且不唯一，如1－i等；(3)存在且唯一，即－i；(4)不存在，因為純虛數的實部為0. 例2　求當實數m為何值時，z＝＋(m2＋5m＋6)i分別是：(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數． 解　由已知得復數z的實部為，虛部為m2＋5m＋6. (1)復數z是實數的充要條件是 ??m＝－2. ∴當m＝－2時，復數z是實數． (2)復數z是虛數的充

6、要條件是 ?m≠－3且m≠－2. ∴當m≠－3且m≠－2時，復數z是虛數． (3)復數z是純虛數的充要條件是 ??m＝3. ∴當m＝3時，復數z是純虛數． 反思與感悟　利用復數的概念對復數分類時，主要依據實部、虛部滿足的條件，可列方程或不等式求參數． 跟蹤訓練2　實數m為何值時，復數z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數． 解　(1)要使z是實數，m需滿足m2＋2m－3＝0，且有意義即m－1≠0，解得m＝－3. (2)要使z是虛數，m需滿足m2＋2m－3≠0，且有意義即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3. (3)要使z是純虛數，m需滿足＝0，m－1≠

7、0， 且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2. 探究點二　兩個復數相等 思考1　兩個復數能否比較大??？ 答　如果兩個復數不全是實數，那么它們不能比較大?。? 思考2　兩個復數相等的充要條件是什么？ 答　復數a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． 例3　已知x，y均是實數，且滿足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x與y. 解　由復數相等的充要條件得 解得 反思與感悟　兩個復數相等，首先要分清兩復數的實部與虛部，然后利用兩個復數相等的充要條件可得到兩個方程，從而可以確定兩個獨立參數． 跟蹤訓練3　已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋

8、m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求實數m的值． 解　∵M∪P＝P，∴M?P， ∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或 (m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i. 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1， 得解得m＝1； 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i， 得解得m＝2. 綜上可知m＝1或m＝2. 1．已知復數z＝a2－(2－b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數a，b的值分別是(　　) A.，1 B.，5 C．±，5 D．±，1 答案　C 解析　令，得a＝±，b＝5. 2．下列復數中，滿足方程x2＋2＝0的是(　　)

9、 A．±1 B．±i C．±i D．±2i 答案　C 3．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i為純虛數，則實數m的值為(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－1或1 答案　B 解析　由題意知， ∴m＝0. 4．下列幾個命題： ①兩個復數相等的一個必要條件是它們的實部相等； ②兩個復數不相等的一個充分條件是它們的虛部不相等； ③1－ai(a∈R)是一個復數； ④虛數的平方不小于0； ⑤－1的平方根只有一個，即為－i； ⑥i是方程x4－1＝0的一個根； ⑦i是一個無理數． 其中正確命題的個數為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　命題①②③⑥正確，④⑤⑦錯誤． [呈重點、現規(guī)律] 1．對于復數z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到復數z的不同情況； 2．兩個復數相等，要先確定兩個復數的實、虛部，再利用兩個復數相等的充要條件進行判斷． 5