2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)提升教學(xué)案 新人教B版選修1-1

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1、 第二章 圓錐曲線與方程 1．能夠熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求橢圓方程，能夠用“坐標(biāo)法”研究橢圓的基本性質(zhì)，能夠利用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、參數(shù)法解決橢圓中的有關(guān)問題． 2．能夠根據(jù)所給的幾何條件熟練地求出雙曲線方程，并能靈活運用雙曲線定義、參數(shù)間的關(guān)系解決相關(guān)問題；準(zhǔn)確理解參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系、漸近線及其幾何意義，并靈活運用． 3．會根據(jù)方程形式或焦點位置判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型；會根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定其幾何性質(zhì)以及會由幾何性質(zhì)確定拋物線的方程．了解拋物線的一些實際應(yīng)用． 題型一　圓錐曲線定義的應(yīng)用 研究有關(guān)點間的距離的最值問題時，常用定

2、義把曲線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到另一焦點的距離或利用定義把曲線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解決有關(guān)的最值問題． 例1　若點M(1,2)，點C是橢圓＋＝1的右焦點，點A是橢圓的動點，則|AM|＋|AC|的最小值是________． 答案　8－2 解析　設(shè)點B為橢圓的左焦點，則B(－3,0)，點M(1,2)在橢圓內(nèi)，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|， 而a＝4，|BM|＝＝2， 所以(|AM|＋|AC|)min＝8－2. 跟蹤演練1　拋物線y2＝2px(p>0)上有A(x1

3、，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點，F(xiàn)是它的焦點，若|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，則(　　) A．x1，x2，x3成等差數(shù)列 B．y1，y2，y3成等差數(shù)列 C．x1，x3，x2成等差數(shù)列 D．y1，y3，y2成等差數(shù)列 答案　A 解析　如圖，過A、B、C分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′，B′，C′，由拋物線定義： |AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|. ∵2|BF|＝|AF|＋|CF|， ∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|. 又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，|CC′|＝x3＋， ∴2(x2＋)＝x1

4、＋＋x3＋?2x2＝x1＋x3， ∴選A. 題型二　有關(guān)圓錐曲線性質(zhì)的問題 有關(guān)求圓錐曲線的焦點、離心率、漸近線等是考試中常見的問題，只要掌握好基本公式和概念，充分理解題意，大都可以順利求解． 例2　雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是(　　) A．2B.C.D. 答案　C 解析　雙曲線－＝1的兩條漸近線方程為y＝±x，依題意·(－) ＝－1，故＝1， 所以＝1即e2＝2，所以雙曲線的離心率e＝.故選C. 跟蹤演練2　已知橢圓＋＝1和雙曲線－＝1有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線方程是(　　) A．x＝±yB．y＝±x C．x＝±yD．

5、y＝±x 答案　D 解析　由雙曲線方程判斷出公共焦點在x軸上， ∴橢圓焦點(±，0)， 雙曲線焦點(±，0)， ∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2， 又∵雙曲線漸近線為y＝±·x， ∴由m2＝8n2，|m|＝2|n|，得y＝±x. 題型三　直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 1．直線和圓錐曲線的位置關(guān)系可分為三類：無公共點、僅有一個公共點及有兩個相異的公共點．其中，直線與圓錐曲線僅有一個公共點，對于橢圓，表示直線與其相切；對于雙曲線，表示與其相切或直線與雙曲線的漸近線平行；對于拋物線，表示與其相切或直線與其對稱軸平行． 2．有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會涉及

6、直線與圓錐曲線的關(guān)系中的弦長、焦點弦及弦中點問題、取值范圍、最值等問題． 3．這類問題綜合性強，分析這類問題，往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法、對稱的方法及根與系數(shù)的關(guān)系等． 例3　已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)且(a＋b)⊥(a－b)． (1)求點Q(x，y)的軌跡C的方程； (2)設(shè)曲線C與直線y＝kx＋m相交于不同的兩點M、N，又點A(0，－1)，當(dāng)|AM|＝|AN|時，求實數(shù)m的取值范圍． 解　(1)由題意，得 a＋b＝(x＋，y)，a－b＝(x－，y)， ∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0， 即(x＋)(x－)＋y·y＝0. 化

7、簡得＋y2＝1， ∴Q點的軌跡C的方程為＋y2＝1. (2)由 得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0， 由于直線與橢圓有兩個不同的交點， ∴Δ>0，即m2<3k2＋1.① (ⅰ)當(dāng)k≠0時，設(shè)弦MN的中點為P(xP，yP)，xM、xN分別為點M、N的橫坐標(biāo)，則xP＝＝－， 從而yP＝kxP＋m＝， kAP＝＝－， 又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN. 則－＝－，即2m＝3k2＋1，② 將②代入①得2m>m2，解得00，解得m>， 故所求的m的取值范圍是. (ⅱ)當(dāng)k＝0時，|AM|＝|AN|， ∴AP⊥MN，由m2<3k2＋

8、1，解得－1b>0)的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標(biāo)原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值． 解　(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意有 ∴c＝，b＝1.∴所求橢圓方程為＋y2＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①當(dāng)AB⊥x軸時，|AB|＝. ②當(dāng)AB與x軸不垂直時， 設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m. 由已知＝，得m2＝(k2＋1)． 把y

9、＝kx＋m代入橢圓方程， 整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝. ∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2 ＝(1＋k2) ＝＝· 當(dāng)k≠0時|AB|2＝3＋＝3＋ ≤3＋＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)9k2＝，即k＝±時等號成立． 此時Δ＝12(3k2＋1－m2)>0， 當(dāng)k＝0時，|AB|＝3.綜上所述，|AB|max＝2. ∴當(dāng)|AB|最大時，△AOB面積取得最大值 S＝×|AB|max×＝. 1.圓錐曲線的定義是圓錐曲線問題的根本，利用圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個重要命題點，在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn)． 2

10、．圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是用代數(shù)方法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)，高考對圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的考查方式有兩種：一個是在解答題中作為試題的入口進行考查；二是在選擇題和填空題中結(jié)合圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)進行考查． 3．圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點內(nèi)容，高考對此進行重點考查，主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解，試題一般以圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等為主進行交匯命題． 4．雖然考綱中沒有直接要求關(guān)于直線與圓錐曲線相結(jié)合的知識，但直線與圓錐曲線是密不可分的，如雙曲線的漸近線、拋物線的準(zhǔn)線、圓錐曲線的對稱軸等都是直線．高考不但不回避直線與圓錐曲線，而且在試題中進行重點考查，考查方式既可以是選擇題、填空題，也可以是解答題． 5．高考對圓錐曲線的考查是綜合性的，這種綜合性體現(xiàn)在圓錐曲線、直線、圓、平面向量、不等式等知識的相互交匯，高考對圓錐曲線的綜合考查主要是在解答題中進行，一般以橢圓或者拋物線為依托，全面考查圓錐曲線與方程的求法、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查函數(shù)、方程、不等式、平面向量等在解決問題中的綜合運用． 6