2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)提升教學(xué)案 新人教B版選修1-1

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1、 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1．對(duì)于導(dǎo)數(shù)的定義，必須明白定義中包含的基本內(nèi)容和自變量的增量Δx→0的方式，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的增量Δy與自變量的增量Δx的比的極限， 即＝. 函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率． 2．曲線的切線方程 利用導(dǎo)數(shù)求曲線過點(diǎn)P的切線方程時(shí)應(yīng)注意： (1)判斷P點(diǎn)是否在曲線上； (2)如果曲線y＝f(x)在P(x0，f(x0))處的切線平行于y軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)，可得方程為x＝x0；P點(diǎn)坐標(biāo)適合切線方程，P點(diǎn)處的切線斜率為f′(x0)． 3．利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算

2、法則求導(dǎo)數(shù)，熟記基本求導(dǎo)公式，熟練運(yùn)用法則是關(guān)鍵，有時(shí)先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)，會(huì)給解題帶來方便．因此觀察式子的特點(diǎn)，對(duì)式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问莾?yōu)化解題過程的關(guān)鍵． 4．判斷函數(shù)的單調(diào)性 (1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (2)注意在某一區(qū)間內(nèi)f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分不必要條件． 5．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值要注意 (1)極值是一個(gè)局部概念，是僅對(duì)某一點(diǎn)的左右兩側(cè)鄰近區(qū)域而言的． (2)連續(xù)函數(shù)f(x)在其定義域上的極值點(diǎn)可能不止一個(gè)

3、，也可能沒有極值點(diǎn)，函數(shù)的極大值與極小值沒有必然的大小聯(lián)系，函數(shù)的一個(gè)極小值也不一定比它的一個(gè)極大值?。? (3)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，不一定是該函數(shù)的極值點(diǎn)．因此導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)僅是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，其充要條件是加上這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)． 6．求函數(shù)的最大值與最小值 (1)函數(shù)的最大值與最小值：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)，在[a，b]上必有最大值與最小值；但在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1,1)． (2)求函數(shù)最值的步驟 一般地，求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上最大值與最小值

4、的步驟如下： ①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值及端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)； ②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值． 7．應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題，關(guān)鍵在于建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型(函數(shù)關(guān)系)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0，則f(x0)是函數(shù)的最值. 題型一　應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決與切線相關(guān)的問題 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)就是相應(yīng)切線的斜率，從而就可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決一些與切線相關(guān)的問題． 例1　已知函數(shù)f(x)＝x－alnx(a∈R)． (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方

5、程； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 解　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0), ∴f(1)＝1，f′(1)＝－1, ∴y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1), 即x＋y－2＝0. (2)由f′(x)＝1－＝，x>0知： ①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值； ②當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0，解得x＝a; ∵x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0 ∴f(x)在x＝a處取得極小

6、值，且極小值為f(a)＝a－alna，無極大值． 綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－alna，無極大值． 跟蹤演練1　點(diǎn)P(2,0)是函數(shù)f(x)＝x3＋ax與g(x)＝bx2＋c的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，且兩條曲線在點(diǎn)P處有相同的切線，求a，b，c的值． 解　因?yàn)辄c(diǎn)P(2,0)是函數(shù)f(x)＝x3＋ax與g(x)＝bx2＋c的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，所以23＋2a＝0① 4b＋c＝0② 由①得a＝－4.所以f(x)＝x3－4x. 又因?yàn)閮蓷l曲線在點(diǎn)P處有相同的切線， 所以f′(2)＝g′(2)， 而由f′(x)＝3x2－4得到f′(2)

7、＝8， 由g′(x)＝2bx得到g′(2)＝4b， 所以8＝4b，即b＝2，代入②得到c＝－8. 綜上所述，a＝－4，b＝2，c＝－8. 題型二　應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減． 例2　已知函數(shù)f(x)＝x－＋a(2－lnx)，a＞0.討論f(x)的單調(diào)性． 解　由題知，f(x)的定義域是(0，＋∞)， f′(x)＝1＋－＝. 設(shè)g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判別式Δ＝a2－8. ①當(dāng)Δ＜

8、0即0＜a＜2時(shí)，對(duì)一切x＞0都有f′(x)＞0.此時(shí)f(x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)． ②當(dāng)Δ＝0即a＝2時(shí)，僅對(duì)x＝，有f′(x)＝0，對(duì)其余的x＞0都有f′(x)＞0.此時(shí)f(x)也是(0，＋∞)上的增函數(shù)． ③當(dāng)Δ＞0即a＞2時(shí)，方程g(x)＝0有兩個(gè)不同的實(shí)根 x1＝，x2＝，0＜x1＜x2. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)、f(x)的變化情況如下表： x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增．

9、 跟蹤演練2　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)； (2)f(x)＝x(x－a)2. 解　 (1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex， 令f′(x)＞0，解得x＞2，又x∈(0，＋∞)， 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間(2，＋∞)， 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間(0,2)， (2)函數(shù)f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定義域?yàn)镽， 由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0， 得x1＝，x2＝a. ①當(dāng)a>0時(shí)，x1

10、>x2， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，a)，， 單調(diào)遞減區(qū)間為. ③當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是遞增的． 綜上，a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為. a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，a)，，單調(diào)遞減區(qū)間為. a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)． 題型三　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值 1．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟 (1)確定函數(shù)f(x)的定義域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3)檢驗(yàn)f′(x)＝0的根的兩側(cè)f′(x)的符號(hào)

11、． 若左正右負(fù)，則f(x)在此根處取得極大值； 若左負(fù)右正，則f(x)在此根處取得極小值； 否則，此根不是f(x)的極值點(diǎn)． 2．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值的方法與步驟 (1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； (2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為最小值． 特別地，①當(dāng)f(x)在[a，b]上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)取得；②當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大(或極小)值，則可以斷定f(x)在該點(diǎn)處取得最大(最小)值，這里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)． 例3

12、　已知函數(shù)f(x)＝x2－alnx(a∈R) (1)若f(x)在x＝2時(shí)取得極值，求a的值； (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3)求證：當(dāng)x>1時(shí)，x2＋lnx

13、(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(，＋∞)；遞減區(qū)間為(0，)． (3)證明　設(shè)g(x)＝x3－x2－lnx，則g′(x)＝2x2－x－，因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，g′(x)＝＞0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)上為增函數(shù)，所以g(x)＞g(1)＝＞0，所以當(dāng)x＞1時(shí)，x2＋lnx＜x3. 跟蹤演練3　已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b的圖象上一點(diǎn)P(1,0)，且在點(diǎn)P處的切線與直線3x＋y＝0平行． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，t](0

14、圍． 解　(1)因?yàn)閒′(x)＝3x2＋2ax，曲線在P(1,0)處的切線斜率為：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.又函數(shù)過(1,0)點(diǎn)，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2. (2)由f(x)＝x3－3x2＋2得，f′(x)＝3x2－6x. 由f′(x)＝0得，x＝0或x＝2. ①當(dāng)0

15、,2) 2 (2，t) t f′(x) － 0 ＋ f(x) 2 ↘ －2 ↗ t3－3t2＋2 f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個(gè)． 又f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0. 所以f(x)max＝f(0)＝2. 綜上可知，在區(qū)間[0，t](00. g(x)＝0在[1

16、,3]上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根， 則 解得－2

17、≤a，試確定a的取值范圍； (3)當(dāng)a＝時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)＝0在區(qū)間[1,3]上恒有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍． 解　(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2 ＝－(x－a)(x－3a)． 令f′(x)＝0，得x＝a或x＝3a. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)、f(x)的變化情況如下表： x (－∞，a) a (a,3a) 3a (3a，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ ∴f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù)． 當(dāng)x＝a時(shí)，f(x)取得極小值， f(x)極

18、小值＝f(a)＝b－a3； 當(dāng)x＝3a時(shí)，f(x)取得極大值，f(x)極大值＝f(3a)＝b. (2)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，其對(duì)稱軸為x＝2a. 因?yàn)?

19、， 可知f(x)在上是減函數(shù)， 在上是增函數(shù)，在(2，＋∞)上是減函數(shù)． f(x)＝0在[1,3]上恒有兩個(gè)相異實(shí)根， 即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一個(gè)實(shí)根， 于是有即 解得0