2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第6節(jié) 幾何概型學(xué)案 理 北師大版

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1、 第六節(jié)　幾何概型 [考綱傳真]　(教師用書獨(dú)具)1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.2.了解幾何概型的意義． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第181頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．幾何概型的定義 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，與區(qū)域的形狀，位置無關(guān)，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型． 2．幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn) (1)無限性：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)． (2)等可能性：每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性． 3．幾何概型的概率公式 P(A)＝. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”

2、，錯(cuò)誤的打“×”) (1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率．(　　) (2)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是.(　　) (3)概率為0的事件一定是不可能事件．(　　) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是(　　) A　[P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝， 所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．] 3．已知函數(shù)f(x

3、)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]，則f(x)為增函數(shù)的概率為(　　) A．　　　 B． C． D． C　[f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，∴f(x)在[1,4]上是增函數(shù)．∴f(x)為增函數(shù)的概率為P＝＝.] 4．(2017·全國卷Ⅰ)如圖10-6-1，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(　　) 圖10-6-1 A． B． C． D． B　[不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4

4、. 由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，得S黑＝S白＝S圓＝，所以由幾何概型知所求概率P＝＝＝. 故選B．] 5．如圖10-6-2所示，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為________． 圖10-6-2 0.18　[由題意知， ＝＝0.18. ∵S正＝1，∴S陰＝0.18.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第181頁) 與長度(角度)有關(guān)的幾何概型 　(1)(2016·全國卷Ⅰ)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是

5、隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是(　　) A．　　 B． C． D． (2)如圖10-6-3所示，四邊形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB內(nèi)作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為________． 圖10-6-3 (1)B　(2)　[(1)如圖，7：50至8：30之間的時(shí)間長度為40分鐘，而小明等車時(shí)間不超過10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達(dá)發(fā)車站，此兩種情況下的時(shí)間長度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P＝＝.故選B． (2)以A為圓心，以AD＝1為半徑作圓弧交AC，AP，AB分別為C′，P′，B

6、′. 依題意，點(diǎn)P′在上任何位置是等可能的，若射線AP與線段BC有公共點(diǎn)，則事件“點(diǎn)P′在上發(fā)生”． 又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝. 故所求事件的概率] [規(guī)律方法]　1.與長度有關(guān)的幾何概型,如果試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域可用長度度量，則其概率的計(jì)算公式為P(A)＝. 2.與角度有關(guān)的幾何概型,當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)、扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)(2018·廣州綜合測試(二))在區(qū)間[－1,5]上隨機(jī)地取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則方程x2－2ax＋4a－3＝0有兩個(gè)正根的概率為(

7、　　) A． B． C． D． (2)(2017·江蘇高考)記函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镈．在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是________． (1)C　(2)　[(1)因?yàn)榉匠蘹2－2ax＋4a－3＝0有兩個(gè)正根，所以解得

8、：30～6：00之間到達(dá)的時(shí)刻是等可能的，先到同學(xué)須等待，15分鐘后還未見面便離開．則兩位同學(xué)能夠見面的概率是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140362】 A． B． C． D． D　[從下午5：30開始計(jì)時(shí)，設(shè)兩位同學(xué)到達(dá)的時(shí)刻分別為x，y分鐘，則x，y應(yīng)滿足如圖中正方形OABC所示，若兩位同學(xué)能夠見面，則x，y應(yīng)滿足|x－y|≤15，如圖中陰影部分(含邊界)所示，所以所求概率P＝＝，故選D．] ◎角度2　與線性規(guī)劃交匯的問題 　(2017·廣州綜合測試)在平面區(qū)域{(x，y)|0≤x≤1,1≤y≤2}內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足y≤2x的概率為(　　) A．

9、B． C． D． A　[ 依題意作出圖像如圖，則P(y≤2x)＝＝＝.] ◎角度3　與定積分交匯的問題 　(2018·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)在區(qū)間[1，e]上任取實(shí)數(shù)a，在區(qū)間[0,2]上任取實(shí)數(shù)b，使函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋b有兩個(gè)相異零點(diǎn)的概率是(　　) A． B． C． D． A　[函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋b有兩個(gè)相異零點(diǎn)，即方程ax2＋x＋b＝0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則Δ＝1－ab>0，b<.所有試驗(yàn)結(jié)果為Ω＝{(a，b)|1≤a≤e,0≤b≤2}，面積為2(e－1)，使函數(shù)f(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn)的事件為Ω1＝，面積為da＝lna|＝1－0＝1，則所求概率為P(A)

10、＝，故選A．] [規(guī)律方法]　1.與平面幾何、解析幾何等知識(shí)交匯問題的解題思路 利用平面幾何、解析幾何等相關(guān)知識(shí)，先確定基本事件對(duì)應(yīng)區(qū)域的形狀，再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê凸?，?jì)算出其面積，進(jìn)而代入公式求概率. 2.與線性規(guī)劃交匯問題的解題思路 先根據(jù)約束條件作出可行域，再確定形狀，求面積大小，進(jìn)而代入公式求概率. 3.與定積分交匯問題的解題思路 先確定基本事件對(duì)應(yīng)區(qū)域的形狀構(gòu)成，再將其面積轉(zhuǎn)化為某定積分的計(jì)算，并求其大小，進(jìn)而代入公式求概率. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)(2018·云南二檢)RAND(0,1)表示生成一個(gè)在(0,1)內(nèi)的隨機(jī)數(shù)(實(shí)數(shù))，若x＝RAND(0,1)，y＝RAND(

11、0,1)，則x2＋y2<1的概率為(　　) A． B．1－ C． D．1－ (2)如圖10-6-4，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)＝x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于________． 圖10-6-4 (1)A　(2)　[(1)由幾何概型的概率計(jì)算公式知，所求概率P＝＝，故選A． (2)由題意知，陰影部分的面積 S＝(4－x2)dx＝＝， 所以所求概率P＝＝＝.] 與體積有關(guān)的幾何概型 　在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨

12、機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________． 1－　[如圖，與點(diǎn)O距離不大于1的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)半球，其體積V1＝×π×13＝.事件“點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1的概率”對(duì)應(yīng)的區(qū)域體積為23－，根據(jù)幾何概型概率公式得，點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1的概率P＝＝1－.] [規(guī)律方法]　與體積有關(guān)的幾何概型問題求法的關(guān)鍵點(diǎn) 對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的事件也可利用其對(duì)立事件去求. [跟蹤訓(xùn)練]　一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖10-6-5所示，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，一只蝴蝶在幾何體ADF-BCE內(nèi)自由飛翔，則它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140363】 圖10-6-5 A． B． C． D． D　[由題圖可知VF-AMCD＝×SAMCD×DF＝a3，VADF-BCE＝a3，所以它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為＝.] 8