2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1 函數(shù)的概念及其表示 3.1.1 函數(shù)的概念教學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、3.1.1　函數(shù)的概念 (教師獨具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過豐富實例，進(jìn)一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.2.在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的符號語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.3.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求一些簡單函數(shù)的定義域． 教學(xué)重點：1.理解函數(shù)的定義，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.2.明確函數(shù)的兩個要素，了解同一個函數(shù)的定義，會判定兩個給定的函數(shù)是否是同一個函數(shù)． 教學(xué)難點：1.對應(yīng)關(guān)系f的正確理解，函數(shù)符號y＝f(x)的理解.2.抽象函數(shù)的定義域.3.一些簡單函數(shù)值域的求法. 【知識導(dǎo)學(xué)】 知識點一　　　函數(shù)的概念 一般地，設(shè)A，

2、B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集． 注意：(1)兩個非空實數(shù)集間的對應(yīng)能否構(gòu)成函數(shù)，主要看是否滿足三性：任意性、存在性、唯一性．這是因為函數(shù)概念中明確要求對于非空實數(shù)集A中的任意一個(任意性)元素x，在非空實數(shù)集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對應(yīng)．這三性只要有一個不滿足便

3、不能構(gòu)成函數(shù)． (2)集合A是函數(shù)的定義域，因為給定A中每一個x值都有唯一的y值與之對應(yīng)；集合B不一定是函數(shù)的值域，因為B中的元素可以在A中沒有與之對應(yīng)的x，也就是說，B中的某些元素可以不是函數(shù)值，即{f(x)|x∈A}?B. (3)在函數(shù)定義中，我們用符號y＝f(x)表示函數(shù)，其中f(x)表示“x對應(yīng)的函數(shù)值”，而不是“f乘x”． 知識點二　　　函數(shù)的兩要素 從函數(shù)的定義可以看出，函數(shù)有三個要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域，由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以確定一個函數(shù)只需要兩個要素：定義域和對應(yīng)關(guān)系．即要檢驗給定的兩個變量(變量均為數(shù)值)之間是否具有函數(shù)關(guān)系，只要檢驗： (1)

4、定義域和對應(yīng)關(guān)系是否給出； (2)根據(jù)給出的對應(yīng)關(guān)系，自變量x在其定義域中的每一個值是否都有唯一的函數(shù)值y和它對應(yīng)． 知識點三　　　區(qū)間的概念 (1)設(shè)a，b是兩個實數(shù)，而且a

5、． 我們可以把滿足x≥a，x>a，x≤b，x

6、知拓展】 (1)函數(shù)符號“y＝f(x)”是數(shù)學(xué)中抽象符號之一，“y＝f(x)”僅為y是x的函數(shù)的數(shù)學(xué)表示，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不一定是解析式，還可以是圖表或圖象． (2)函數(shù)的概念中強(qiáng)調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，這是因為函數(shù)定義中明確要求是對于非空實數(shù)集A中的任意一個(任意性)數(shù)x，在非空實數(shù)集B中都有(存在性)唯一確定(唯一性)的數(shù)y和它對應(yīng)，這“三性”只要有一個不滿足，便不能構(gòu)成函數(shù)． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)值域中的每一個數(shù)都有定義域中的數(shù)與之對應(yīng)．(　　) (2)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合．(　　) (3)定

7、義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也就確定了．(　　) (4)若函數(shù)的定義域中只有一個元素，則值域中也只有一個元素．(　　) (5)對于定義在集合A到集合B上的函數(shù)y＝f(x)，x1，x2∈A，若x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)下列給出的對應(yīng)關(guān)系f，不能確定從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是________． ①A＝{1,4}，B＝{－1,1，－2,2}，對應(yīng)關(guān)系：開平方； ②A＝{0,1,2}，B＝{1,2}，對應(yīng)關(guān)系： ③A＝[0,2]，B＝[0,1]，對應(yīng)關(guān)系

8、： (2)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x是同一個函數(shù)的是________． ①y＝；②y＝；③y＝()2；④s＝t. 答案　(1)①③　(2)②④ 題型一　求函數(shù)的定義域　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝；(3)y＝＋；(4)y＝；(5)y＝(1－2x)0. [解]　(1)函數(shù)y＝2x＋3的定義域為{x|x∈R}． (2)要使函數(shù)式有意義，即分式有意義，則x＋1≠0，x≠－1.故函數(shù)的定義域為{x|x≠－1}． (3)要使函數(shù)式有意義，則即所以x＝1，從而函數(shù)的定義域為{x|x＝1}． (4)因為當(dāng)x2－

9、1≠0，即x≠±1時，有意義，所以函數(shù)的定義域是{x|x≠±1}． (5)∵1－2x≠0，即x≠， ∴函數(shù)的定義域為x≠}. 例2　已知函數(shù)f(x)的定義域是[－1,4]，求函數(shù)f(2x＋1)的定義域． [解]　已知函數(shù)f(x)的定義域是[－1,4]，即－1≤x≤4. 故對于f(2x＋1)應(yīng)有－1≤2x＋1≤4. ∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤， ∴函數(shù)f(2x＋1)的定義域是. 例3　如圖所示，用長為1 m的鐵絲做一個下部為矩形、上部為半圓形的框架(鐵絲恰好用完)，若半圓的半徑為x(單位：m)，求此框架圍成的面積y(單位：m2)與x的函數(shù)關(guān)系式． [解]　由題意可得

10、，AB＝2x，的長為πx， 于是AD＝， ∴y＝2x·＋，即y＝－x2＋x. 由得0

11、義域： ①若f(x)的定義域為[a，b]，則f[g(x)]中，g(x)∈[a，b]，從中解得x的解集即f[g(x)]的定義域． ②若f[g(x)]的定義域為[m，n]，則由x∈[m，n]可確定g(x)的范圍，設(shè)u＝g(x)，則f[g(x)]＝f(u)，又f(u)與f(x)是同一個函數(shù)，所以g(x)的范圍即f(x)的定義域． ③已知f[φ(x)]的定義域，求f[h(x)]的定義域，先由f[φ(x)]中x的取值范圍，求出φ(x)的取值范圍，即f(x)中的x的取值范圍，即h(x)的取值范圍，再根據(jù)h(x)的取值范圍便可以求出f[h(x)]中x的取值范圍． (6)實際問題：若y＝f(x)是由實

12、際問題確定的，其定義域要受實際問題的約束．如：例3中，任何一條線段的長均大于零． 　(1)若函數(shù)f(x＋1)的定義域為，則函數(shù)f(x－1)的定義域為________； (2)求下列函數(shù)的定義域： ①y＝－；②y＝； (3)①求函數(shù)y＝＋－的定義域； ②將長為a m的鐵絲折成矩形(鐵絲恰好用完)，求矩形的面積y(單位：m2)關(guān)于一邊長x(單位：m)的解析式，并寫出此函數(shù)的定義域． 答案　(1)　(2)見解析　(3)見解析 解析　(1)由題意知，－≤x≤2，則≤x＋1≤3， 即f(x)的定義域為，∴≤x－1≤3， 解得≤x≤4.∴f(x－1)的定義域為. (2)①要使函數(shù)有意義

13、，自變量x的取值必須滿足即 ∴函數(shù)的定義域為{x|x≤1，且x≠－1}． ②要使函數(shù)有意義，需滿足|x|－x≠0，即|x|≠x， ∴x<0. ∴函數(shù)的定義域為{x|x<0}． (3)①解不等式組得 故函數(shù)的定義域是{x|1≤x≤5，且x≠3}． ②因為矩形的一邊長為x，則另一邊長為(a－2x)， 所以y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax， 定義域為. 題型二 已知函數(shù)值求自變量的值 例4　已知函數(shù)f(x)＝2x2－4，x∈R，若f(x0)＝2，求x0的值． [解]　易知f(x0)＝2x－4， ∴2x－4＝2，即x＝3. 又∵x0∈R，∴x0＝±. 金版點睛 就本

14、例而言，已知函數(shù)值求自變量的值就是解方程，需要注意：所求的自變量的值必須在函數(shù)的定義域內(nèi)．如果本例中加一個條件“x∈[0，＋∞)”，則x0＝(－不符合題意，舍去)． 　已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，x∈(－∞，0)，若f(x0)＝3.求x0的值． 解　由題意可得f(x0)＝x－2x0. ∴x－2x0＝3，即x－2x0－3＝0. 解得x0＝3或x0＝－1. 又∵x0∈(－∞，0)，∴x0＝－1. 題型三 已知自變量的值求函數(shù)值 例5　已知f(x)＝x2，x∈R，求： (1)f(0)，f(1)； (2)f(a)，f(a＋1)． [解]　(1)f(0)＝02＝0，f(1)＝

15、12＝1. (2)∵a∈R，a＋1∈R， ∴f(a)＝a2，f(a＋1)＝(a＋1)2. 金版點睛 對于函數(shù)定義域內(nèi)的每一個值，都可以求函數(shù)值(當(dāng)然函數(shù)值唯一)，本例可以直接應(yīng)用公式：f(x)＝x2求解，實質(zhì)上就是求代數(shù)式的值，例如f(1)就是當(dāng)x＝1時，代數(shù)式x2的值，而f(a＋1)就是當(dāng)x＝a＋1時，代數(shù)式x2的值． 　已知f(x)＝＋，求： (1)f(2)； (2)當(dāng)a>0時，f(a＋1)的值． 解　(1)f(2)＝＋. (2)易知f(x)的定義域A＝[0，＋∞)， ∵a>0，∴a＋1>1，則a＋1∈A， ∴f(a＋1)＝＋. 題型四 求函數(shù)的值域 例6　求下

16、列函數(shù)的值域： (1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； (3)y＝； (4)y＝2x－. [解]　(1)(觀察法)因為x∈{1,2,3,4,5}，分別代入求值，可得函數(shù)的值域為{2,3,4,5,6}． (2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域為[2,6)． (3)(分離常數(shù)法)y＝＝＝2＋， 顯然≠0，所以y≠2. 故函數(shù)的值域為(－∞，2)∪(2，＋∞)． (4)(換元法)設(shè)t＝，則x＝t2＋1，且t≥0， 所以y＝2(t2＋1)－t ＝

17、22＋， 由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如右圖)，可得函數(shù)的值域為. 金版點睛 求函數(shù)值域的原則及常用方法 (1)原則：①先確定相應(yīng)的定義域；②再根據(jù)函數(shù)的具體形式及運算法則確定其值域． (2)常用方法 ①觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察法得到． ②配方法：是求“二次函數(shù)”類值域的基本方法． ③換元法：運用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．對于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d為常數(shù)，且ac≠0)型的函數(shù)常用換元法． ④分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域． 　求下列

18、函數(shù)的值域： (1)y＝； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)； (3)y＝x＋. 解　(1)∵y＝＝＝1－，且≠0， ∴函數(shù)y＝的值域為{y|y≠1}． (2)配方，得y＝(x－2)2＋2. ∵x∈[1,5)， ∴結(jié)合函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的值域為{y|2≤y<11}． (3)(換元法)設(shè)t＝，則x＝t2－1，且t≥0， 所以y＝t2＋t－1＝2－， 由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象可得函數(shù)的值域為[－1，＋∞). 題型五 相同函數(shù)的判斷 例7　下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1

19、 C．f(x)＝1，g(x)＝ D．f(x)＝x，g(x)＝|x| [解析]　A項中，由于f(x)＝x的定義域為R，g(x)＝()2的定義域為{x|x≥0}，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數(shù)． B項中，函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系都相同，所以它們是同一函數(shù)． C項中，由于f(x)＝1的定義域為R，g(x)＝的定義域為{x|x≠0}，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數(shù)． D項中，兩個函數(shù)的定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，所以它們不是同一函數(shù)． [答案]　B 金版點睛 判斷兩個函數(shù)為同一函數(shù)的條件 (1)判斷兩個函數(shù)是相同函數(shù)的準(zhǔn)則是兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同．

20、定義域、對應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個不相同就不是相同函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是相同函數(shù)． (2)函數(shù)是兩個實數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的．另外，在化簡解析式時，必須是等價變形． 　下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y＝x相同？ (1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝. 解　(1)y＝()2＝x(x≥0)，y≥0，定義域不同且值域不同，所以不相同． (2)y＝＝x(x∈R)，y∈R，對應(yīng)關(guān)系相同，定義域和值域都相同，所以相同． (3)y＝＝|x|＝y(tǒng)≥0；值域不同，且當(dāng)x<0時，它的對應(yīng)關(guān)系與函數(shù)y＝x不相同，所以不相同． (4)y

21、＝的定義域為{x|x≠0}，與函數(shù)y＝x的定義域不相同，所以不相同． 1．下列各圖中，可能是函數(shù)y＝f(x)的圖象的是(　　) 答案　D 解析　A，B中的圖象與y軸有兩個交點，即有兩個y值與x＝0對應(yīng)，所以A，B不可能是函數(shù)y＝f(x)的圖象；對于C中圖象，過x＝1作與x軸垂直的直線，與圖象有兩個交點，所以C不可能是函數(shù)y＝f(x)的圖象．故選D. 2．函數(shù)f(x)＝x＋的定義域是(　　) A．{x|x≥2} B．{x|x>2} C．{x|x≤2} D．{x|x<2} 答案　C 解析　要使函數(shù)式有意義，則2－x≥0，即x≤2.所以函數(shù)的定義域為{x|x≤2}． 3

22、．已知函數(shù)f(x)的定義域為(－1,0)，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域為(　　) A．(－1,1) B. C．(－1,0) D. 答案　B 解析　∵原函數(shù)的定義域為(－1,0)， ∴－1<2x＋1<0，解得－1