4、是( )
A.-8 B.-
C.8 D.
解析 易知直線l1:4x+y=1關(guān)于直線l2:x-y=0對稱的直線方程為x+4y=1,又l3:2x-my=3。故由題意得1×2+4×(-m)=0,所以m=。故選D。
答案 D
2.(2018·河南名校聯(lián)考)已知m,n,a,b∈R,且滿足3m+4n=6,3a+4b=1,則的最小值為( )
A. B.
C.1 D.
解析 此題可理解為點A(m,n)和點B(a,b)分別在直線l1:3x+4y=6與l2:3x+4y=1上,求A、B兩點距離的最小值,|AB|=,因為l1∥l2,所以|AB|min==
5、1。故選C。
答案 C
考向二 圓的方程
【例2】 (1)(2018·珠海聯(lián)考)已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切,圓心在直線x+y=0上,則圓C的標準方程為( )
A.(x+1)2+(y-1)2=2
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2
D.(x+1)2+(y+1)2=2
(2)(2018·貴陽摸底)過點M(2,2)的直線l與坐標軸的正方向分別相交于A,B兩點,O為坐標原點,若△OAB的面積為8,則△OAB外接圓的標準方程是________。
解析 (1)由題意設(shè)圓心坐標為(a,-a),則有=,即|a|=|a-2|,解得a=
6、1。故圓心坐標為(1,-1),半徑r==,所以圓C的標準方程為(x-1)2+(y+1)2=2。故選B。
(2)解法一:設(shè)直線l的方程為+=1(a>0,b>0),由直線l過點M(2,2),得+=1,又S△OAB=ab=8,所以a=4,b=4,不妨設(shè)A(4,0),B(0,4),△OAB外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則將O,A,B的坐標分別代入得解得所以△OAB外接圓的方程為x2+y2-4x-4y=0,標準方程為(x-2)2+(y-2)2=8。
解法二:設(shè)直線l的方程為+=1(a>0,b>0),由直線l過點M(2,2),得+=1。又S△OAB=ab=8,所以a=4,b=4,所以△
7、OAB是等腰直角三角形,且M是斜邊AB的中點,則△OAB外接圓的圓心是點M(2,2),半徑|OM|=2,所以△OAB外接圓的標準方程是(x-2)2+(y-2)2=8。
答案 (1)B (2)(x-2)2+(y-2)2=8
求圓的方程的兩種方法
(1)幾何法:通過已知條件,利用相應(yīng)的幾何知識求圓的圓心,半徑。
(2)代數(shù)法:用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù)。
變|式|訓|練
1.拋物線y2=4x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A,B兩點,其準線與x軸的交點為M,則過M,A,B三點的圓的標準方程為________。
解析 由題意知,A(1,2),B(1,-2),
8、M(-1,0),△AMB是以點M為直角頂點的直角三角形,則線段AB是所求圓的直徑,故所求圓的標準方程為(x-1)2+y2=4。
答案 (x-1)2+y2=4
2.在平面直角坐標系xOy中,以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標準方程為________。
解析 解法一:由題意得:半徑等于==≤ ≤,當且僅當m=1時取等號,所以半徑最大為r=,所求圓為(x-1)2+y2=2。
解法二:直線mx-y-2m-1=0,y=m(x-2)-1恒過點M(2,-1),如圖,設(shè)C(1,0),則M為切點時半徑最大,且rmax=|CM|==,所以半徑最大的
9、圓的標準方程為(x-1)2+y2=2。
答案 (x-1)2+y2=2
考向三 直線與圓的位置關(guān)系
微考向1:直線與圓的相交弦
【例3】 (1)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點,若|MN|=,則直線l的方程為________。
(2)設(shè)直線x-y-a=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,O為坐標原點,若△AOB為等邊三角形,則實數(shù)a的值為( )
A.± B.± C.±3 D.±9
解析 (1)直線l的方程為y=kx+1,圓心C(2,3)到直線l的距離d==,由R2=d2+2得1=+,解得k=2或,所求直
10、線l的方程為y=2x+1或y=x+1。
(2)由題意知:圓心坐標為(0,0),半徑為2,則△AOB的邊長為2,所以△AOB的高為,即圓心到直線x-y-a=0的距離為,所以=,解得a=±。故選B。
答案 (1)y=2x+1或y=x+1 (2)B
(1)直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路
研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn),兩個圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較。
(2)弦長的求解方法
①根據(jù)半徑,弦心距,半弦長構(gòu)成的直角三角形,構(gòu)成三者間的關(guān)系r2=d2+(其中l(wèi)為弦長,r為圓的半徑,d為圓心到直線的距離),弦長l=2。
②根據(jù)
11、公式:l=|x1-x2|求解(其中l(wèi)為弦長,x1,x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標,k為直線的斜率),或根據(jù)l=|y1-y2|求解。
③求出交點坐標,用兩點間距離公式求解。
變|式|訓|練
(2018·合肥一模)設(shè)圓x2+y2-2x-2y-2=0的圓心為C,直線l過(0,3),且與圓C交于A,B兩點,若|AB|=2,則直線l的方程為( )
A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0
B.3x+4y-12=0或x=0
C.4x-3y+9=0或x=0
D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0
解析 當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=0,圓心到直線l的距離為d=1
12、,所以|AB|=2=2,符合題意。當直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx+3,因為圓x2+y2-2x-2y-2=0即(x-1)2+(y-1)2=4,所以圓心為C(1,1),圓的半徑r=2,易知圓心C(1,1)到直線y=kx+3的距離d==,因為d2+2=r2,所以+3=4,解得k=-,所以直線l的方程為y=-x+3,即3x+4y-12=0。綜上,直線l的方程為3x+4y-12=0或x=0。故選B。
答案 B
微考向2:直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用
【例4】 (1)(2018·全國卷Ⅲ)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取
13、值范圍是( )
A.[2,6] B.[4,8]
C.[,3] D.[2,3]
(2)(2018·北京高考)在平面直角坐標系中,記d為點P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離。當θ,m變化時,d的最大值為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 (1)因為直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點。所以A(-2,0),B(0,-2),則|AB|=2。因為點P在圓(x-2)2+y2=2上,所以圓心為(2,0),則圓心到直線的距離d1==2。故點P到直線x+y+2=0的距離d2的取值范圍為[,3]。則S△ABP=|AB|d2=d2∈[2,6]。
14、故選A。
(2)解法一:因為cos2θ+sin2θ=1,所以P點的軌跡是以原點為圓心的單位圓,又x-my-2=0表示過點(2,0)且斜率不為0的直線,如圖,可得點(-1,0)到直線x=2的距離即為d的最大值。故選C。
解法二:由題意可得
d==
=
=
,因為-1≤sin(θ-φ)≤1,所以≤d≤,=1+,所以當m=0時,d取最大值3。故選C。
答案 (1)A (2)C
利用圓的圖形特征求解有關(guān)距離的最值問題往往比一些常規(guī)的方法簡單、便捷。
變|式|訓|練
1.(2018·太原五中模擬)已知k∈R,點P(a,b)是直線x+y=2k與圓x2+y2=k2-2k+3的公
15、共點,則ab的最大值為( )
A.15 B.9
C.1 D.-
解析 由題意得,圓心到直線x+y=2k的距離d=≤,且k2-2k+3>0,解得-3≤k≤1,因為2ab=(a+b)2-(a2+b2)=4k2-(k2-2k+3)=3k2+2k-3,所以當k=-3時,ab取得最大值9。故選B。
答案 B
2.(2018·山西晉中二模)由直線y=x+1上的一點P向圓(x-3)2+y2=1引切線,則切線長的最小值為______。
解析 設(shè)圓心M到直線y=x+1的距離為d,則d==2,所以|PM|的最小值為2。所以切線長l=≥=。則切線長的最小值為。
答案
1.(考向一)已
16、知直線l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,其中a∈R,則“a=-3”是“l(fā)1⊥l2”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析 直線l1⊥l2的充要條件是a+(a+2)a=0,所以a(a+3)=0,所以a=0或a=-3。故選A。
答案 A
2.(考向二)(2018·安徽“江南十?!甭?lián)考)已知圓C的圓心在直線x+y=0上,圓C與直線x-y=0相切,且在直線x-y-3=0上截得的弦長為,則圓C的方程為________。
解析 因為所求圓的圓心在直線x+y=0上,所以設(shè)所求圓的圓心為(a,-a)。又因為所
17、求圓與直線x-y=0相切,所以半徑r==|a|。又所求圓在直線x-y-3=0上截得的弦長為,圓心(a,-a)到直線x-y-3=0的距離d=,所以d2+2=r2,即+=2a2,解得a=1,所以圓C的方程為(x-1)2+(y+1)2=2。
答案 (x-1)2+(y+1)2=2
3.(考向三)(2018·鄭州外國語中學調(diào)研)已知圓C1:(x+2a)2+y2=4和圓C2:x2+(y-b)2=1只有一條公切線,若a,b∈R且ab≠0,則+的最小值為( )
A.2 B.4
C.8 D.9
解析 由題意可知,圓C1的圓心為(-2a,0),半徑為2,圓C2的圓心為(0,b)
18、,半徑為1,因為兩圓只有一條公切線,所以兩圓內(nèi)切,所以=2-1,即4a2+b2=1。所以+=·(4a2+b2)=5++≥5+2=9,當且僅當=,且4a2+b2=1,即a2=,b2=時等號成立,所以+的最小值為9。故選D。
答案 D
4.(考向三)(2018·南寧、柳州聯(lián)考)過點(,0)作直線l與曲線y=相交于A,B兩點,O為坐標原點,當△AOB的面積取最大值時,直線l的斜率等于______。
解析
令P(,0),如圖,易知|OA|=|OB|=1,所以S△AOB=|OA|·|OB|·sin∠AOB=sin∠AOB≤,當∠AOB=90°時,△AOB的面積取得最大值,此時過點O作OH⊥
19、AB于點H,則|OH|=,于是sin∠OPH===,易知∠OPH為銳角,所以∠OPH=30°,則直線AB的傾斜角為150°,故直線AB的斜率為tan150°=-。
答案?。?
5.(考向三)某學校有2 500名學生,其中高一1 000人,高二900人,高三600人,為了了解學生的身體健康狀況,采用分層抽樣的方法,若從本校學生中抽取100人,從高一和高三抽取樣本數(shù)分別為a,b,且直線ax+by+8=0與以A(1,-1)為圓心的圓交于B,C兩點,且∠BAC=120°,則圓C的方程為________。
解析 由題意,==,所以a=40,b=24,所以直線ax+by+8=0,即5x+3y+1=0,A(1,-1)到直線的距離為=,因為直線ax+by+8=0與以A(1,-1)為圓心的圓交于B,C兩點,且∠BAC=120°,所以r=,所以圓C的方程為(x-1)2+(y+1)2=。
答案 (x-1)2+(y+1)2=
9