2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點過關(guān) 矩陣與變換學(xué)案 選修4-2

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1、 選修4-2　矩陣與變換 第1課時　線性變換、二階矩陣及其乘法 掌握恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換等常見的平面變換的幾何表示及其幾何意義. 　　掌握恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換等常見的平面變換的幾何表示及其幾何意義，并能應(yīng)用這幾種常見的平面變換進(jìn)行解題.
1. 已知矩陣M＝，MX＝Y(jié)且Y＝，求矩陣X. 解：設(shè)X＝，則＝＝，所以由得故X＝. 2. 點（－1，k）在伸壓變換矩陣之下的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（－2，－4），求m，k的值. 解：＝， 解得 3. 已知在一個二階矩陣M對應(yīng)的變換作用下，將點（1，1），（

2、－1，2）分別變換成（1，1），（－2，4），求矩陣M. 解：設(shè)M＝，則＝，即 由題意可得＝，即 聯(lián)立兩個方程組，解得 即矩陣M＝. 4. 已知曲線C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩陣A＝所對應(yīng)的變換T把曲線C變成曲線C1，求曲線C1的方程. 解：設(shè)曲線C上的任意一點P（x，y）在矩陣A＝對應(yīng)的變換作用下得到點Q（x′，y′）， 則＝，即x＋2y＝x′，x＝y(tǒng)′， 所以x＝y(tǒng)′，y＝. 代入x2＋2xy＋2y2＝1， 得y′2＋2y′·＋2＝1， 即x′2＋y′2＝2，所以曲線C1的方程為x2＋y2＝2. 5. 求使等式＝M成立的矩陣M. 解：設(shè)M＝，＝， ∴ ＝.

3、 ∴ ＝，∴ ∴ ∴ M＝.
1. 二階矩陣與平面向量 （1） 矩陣的概念 在數(shù)學(xué)中，把形如，，這樣的矩形數(shù)字（或字母）陣列稱為矩陣，其中，同一橫排中按原來次序排列的一行數(shù)（或字母）叫做矩陣的行，同一豎排中按原來次序排列的一列數(shù)（或字母）叫做矩陣的列，而組成矩陣的每一個數(shù)（或字母）稱為矩陣的元素. （2） 行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則 [a11　a12]＝[a11×b11＋a12×b21]. （3） 二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則 ＝. 2. 幾種常見的平面變換 （1） 當(dāng)M＝時，對應(yīng)的變換是恒等變換. （2） 由矩陣M＝或M＝（k>0，且k≠1）確定的變換TM稱為（垂直

4、）伸壓變換. （3） 反射變換是軸反射變換、中心反射變換的總稱. （4） 當(dāng)M＝時，對應(yīng)的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，即把平面圖形（或點）繞某個定點逆時針旋轉(zhuǎn)角度θ. （5） 將一個平面圖形投影到某條直線（或某個點）的變換稱為投影變換. （6） 由矩陣M＝或M＝（k∈R，k≠0）確定的變換稱為切變變換. 3. 線性變換的基本性質(zhì) （1） 設(shè)向量α＝，則λα＝. （2） 設(shè)向量α＝，β＝，則α＋β＝. （3） A是一個二階矩陣，α，β是平面上任意兩個向量，λ是任一實數(shù)，則A（λα）＝λAα，A（α＋β）＝Aα＋Aβ. （4） 二階矩陣對應(yīng)的變換（線性變換）把平面上的直線變成直線（或一點）.

5、 4. 二階矩陣的乘法 （1） A＝，B＝， 則AB＝. （2） 矩陣乘法滿足結(jié)合律：（AB）C＝A（BC）. [備課札記] 　　　　　　　　1　二階矩陣的運算 　　　　1　已知矩陣A＝，B＝，向量α＝.若Aα＝Bα，求實數(shù)x，y的值. 解：Aα＝，Bα＝， 由Aα＝Bα，得 解得
變式訓(xùn)練 已知矩陣A＝，B＝，滿足AX＝B，求矩陣X. 解：設(shè)X＝，由＝， 得 解得此時X＝.
,　　　　　　　　　2　求變換前后的點的坐標(biāo)與曲線方程)
,　　　　　2)?。?） （2017·蘇北四市期中）求橢圓C：＋＝1在矩陣A＝對應(yīng)的變換作用下所得的曲線的方程.

6、 （2） 設(shè)M＝，N＝，試求曲線y＝sin x在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下的曲線方程. 解：（1） 設(shè)橢圓C上的點（x1，y1）在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到點（x，y）， 則＝＝， 則代入橢圓方程＋＝1，得x2＋y2＝1， 所以所求曲線的方程為x2＋y2＝1. （2） MN＝＝， 設(shè)（x，y）是曲線y＝sin x上的任意一點，在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下對應(yīng)的點為（x′，y′）. 則＝， 所以即 代入y＝sin x，得y′＝sin 2x′，即y′＝2sin 2x′. 即曲線y＝sin x在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下的曲線方程為y＝2sin 2x.
變式訓(xùn)練 在平面直角坐標(biāo)系

7、xOy中，設(shè)點A（－1，2）在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用下得到點A′，將點B（3，4）繞點A′逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點B′，求點B′的坐標(biāo). 解：設(shè)B′（x，y）， 依題意，由＝，得A′（1，2）. 則＝（2，2），＝（x－1，y－2）. 記旋轉(zhuǎn)矩陣N＝， 則＝， 即＝，解得 所以點B′的坐標(biāo)為（－1，4）.
,　　　　　　　　　3　根據(jù)變換前后的曲線方程求矩陣)
,　　　　　3)　已知矩陣A＝，直線l：x－y＋4＝0在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x－y＋2a＝0. （1） 求實數(shù)a的值； （2） 求A2. 解：（1） 設(shè)直線l上任一點M0（x0，y0）在矩陣A對

8、應(yīng)的變換作用下變?yōu)閘′上的點M（x，y）， 則＝＝， 所以 代入l′方程得（ax0＋y0）－（x0＋ay0）＋2a＝0， 即（a－1）x0－（a－1）y0＋2a＝0. 因為（x0，y0）滿足x0－y0＋4＝0， 所以＝4，解得a＝2. （2） 由A＝， 得A2＝＝.
變式訓(xùn)練 （2017·鎮(zhèn)江期末）已知實數(shù)a，b，矩陣A＝對應(yīng)的變換將直線x－y－1＝0變換為自身，求a，b的值. 解：設(shè)直線x－y－1＝0上任意一點P（x，y）在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到點P′（x′，y′）， 由＝，得 因為P′（x′，y′）在直線x－y－1＝0上， 所以x′－y′－1＝0，即（－1

9、－b）x＋（a－3）y－1＝0. 因為P（x，y）在直線x－y－1＝0上，所以x－y－1＝0. 因此解得 已知直線l：x＋y＝1在矩陣A＝對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x－y＝1，求矩陣A. 解：設(shè)直線l：x＋y＝1上任意一點M（x，y）在矩陣A對應(yīng)的變換作用下，變換為點M′（x′，y′）. 由＝＝，得 又點M′（x′，y′）在l′上，所以x′－y′＝1， 即（mx＋ny）－y＝1. 依題意解得所以A＝.
,　　　　　　　　　4　平面變換的綜合應(yīng)用)
,　　　　　4)　已知M＝，N＝，向量α＝.求證： （1） （MN）α＝M（Nα）； （2） 這兩個矩陣不滿足M

10、N＝NM. 證明：（1） 因為MN＝＝， 所以（MN）α＝＝. 因為Nα＝＝， 所以M（Nα）＝＝， 所以（MN）α＝M（Nα）. （2） 由（1）知MN＝， NM＝＝， 所以這兩個矩陣不滿足MN＝NM. 在直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點坐標(biāo)為A（0，0），B（－1，2），C（0，3）.求△ABC在矩陣對應(yīng)的變換作用下所得到的圖形的面積. 解：因為＝，＝，＝，所以A（0，0），B（－1，2），C（0，3）在矩陣對應(yīng)的變換作用下所得到的三個頂點坐標(biāo)分別為A′（0，0），B′（－2，－1），C′（－3，0）.故S△A′B′C′＝A′C′·|yB′|＝.
1. （2

11、017·南京、鹽城模擬）設(shè)a，b∈R，若直線l：ax＋y－7＝0在矩陣A＝對應(yīng)的變換作用下，得到的直線為l′：9x＋y－91＝0.求實數(shù)a，b的值. 解：（解法1）取直線l：ax＋y－7＝0上點A（0，7），B（1，7－a）. 因為＝，＝，所以A（0，7），B（1，7－a）在矩陣A對應(yīng)的變換作用下分別得到點A′（0，7b），B′（3，b（7－a）－1）. 由題意，知A′，B′在直線l′：9x＋y－91＝0上， 所以解得 （解法2）設(shè)直線l上任意一點P（x，y），點P在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到點Q（x′，y′）. 因為＝，所以 因為點Q（x′，y′）在直線l′上，所以9x′＋y′

12、－91＝0. 即27x＋（－x＋by）－91＝0，也即26x＋by－91＝0. 又點P（x，y）在直線l上，所以有ax＋y－7＝0. 所以＝＝，解得a＝2，b＝13. 2. 已知在矩陣A＝對應(yīng)的變換作用下把點（1，1）變換成點（2，2）. （1） 求a，b的值， （2） 求曲線C：x2＋y2＝1在矩陣A的變換作用下對應(yīng)的曲線方程. 解：（1） 由＝，得∴ （2） 設(shè)曲線C上任一點M′（x0，y0）在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到點M（x，y）， ∵ A＝，∴ ＝， 即∴ ∵ 點M′在曲線C上，∴ ＋＝1. 故所求曲線方程為x2－xy＋y2＝1. 3. 已知a，b∈R，

13、若在矩陣M＝所對應(yīng)的變換作用下把直線2x－y＝3變換成自身，試求實數(shù)a，b. 解：設(shè)直線2x－y＝3上任意一點A（x，y）在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到點A0（x0，y0），則＝，得 ∵ 2x0－y0＝3，∴ 2（－x＋ay）－（bx＋3y）＝3. 即（－2－b）x＋（2a－3）y＝3. 此直線即為2x－y＝3， ∴ 解得 4. 二階矩陣M對應(yīng)的變換將點（1，－1）與（－2，1）分別變換成點（－1，－1）與（0，－2）.設(shè)直線l在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到了直線m：x－y＝4，求l的方程. 解：設(shè)M＝，則有＝， ＝， 所以解得所以M＝. 設(shè)直線l上任一點P（x，y）在矩陣M對

14、應(yīng)的變換作用下得到點P′（x′，y′）. 因為＝＝， 所以又m：x′－y′＝4， 所以直線l的方程為（x＋2y）－（3x＋4y）＝4， 即x＋y＋2＝0.
1. 求曲線|x|＋|y|＝1在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用下得到的曲線所圍成圖形的面積. 解：設(shè)點（x0，y0）為曲線|x|＋|y|＝1上的任意一點，在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用下得到的點為（x′，y′），則＝，所以 所以曲線|x|＋|y|＝1在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為|x|＋3|y|＝1， 所圍成的圖形為菱形，其面積為×2×＝. 2. 已知直線l：ax＋y＝1在矩陣A＝對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x＋by＝1

15、. （1） 求實數(shù)a，b的值； （2） 若點P（x0，y0）在直線l上，且A＝，求點P的坐標(biāo). 解： （1） 設(shè)直線l上一點（x，y）在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得點（x′，y′），則＝， ∴ 代入直線l′，得2x＋（b＋3）y＝1， ∴ a＝2，b＝－2. （2） ∵ 點P（x0，y0）在直線l上，∴ 2x0＋y0＝1. 由＝，得 ∴ ∴ P. 3. 設(shè)數(shù)列{an}，{bn}滿足an＋1＝2an＋3bn，bn＋1＝2bn，且滿足＝M，求二階矩陣M. 解： 依題設(shè)有＝， 令A(yù)＝，則M＝A4， A2＝＝. M＝A4＝（A2）2＝＝. 4. 已知直線l：ax－y＝0在矩

16、陣A＝對應(yīng)的變換作用下得到直線l′，若直線l′過點（1，1），求實數(shù)a的值. 解：設(shè)P（x，y）為直線l上任意一點，在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′上的點P′（x′，y′），則＝，即∴ 代入ax－y＝0，整理，得－（2a＋1）x′＋ay′＝0. 將點（1，1）代入上述方程，解得a＝－1.
幾種特殊的變換 反射變換： M＝：點的變換為（x，y）→（x，－y），變換前后關(guān)于x軸對稱； M＝：點的變換為（x，y）→（－x，y），變換前后關(guān)于y軸對稱； M＝：點的變換為（x，y）→（－x，－y），變換前后關(guān)于原點對稱； M＝：點的變換為（x，y）→（y，x），變換前后關(guān)于

17、直線y＝x對稱. 投影變換： M＝：將坐標(biāo)平面上的點垂直投影到x軸上，點的變換為（x，y）→（x，0）； M＝：將坐標(biāo)平面上的點垂直投影到y(tǒng)軸上，點的變換為（x，y）→（0，y）； M＝：將坐標(biāo)平面上的點垂直于x軸方向投影到y(tǒng)＝x上，點的變換為（x，y）→（x，x）； M＝：將坐標(biāo)平面上的點平行于x軸方向投影到y(tǒng)＝x上，點的變換為（x，y）→（y，y）； M＝：將坐標(biāo)平面上的點垂直于y＝x方向投影到y(tǒng)＝x上，點的變換為（x，y）→. 第2課時　逆變換與逆矩陣、矩陣的特征值與 特征向量（對應(yīng)學(xué)生用書（理）194～197頁）

① 掌握二階矩陣存在逆矩陣的條件，

18、并能進(jìn)行矩陣的運算.② 會求二階矩陣的特征值和特征向量，會利用特征值和特征向量進(jìn)行矩陣運算. ① 理解逆矩陣的意義，掌握二階矩陣存在逆矩陣的條件，并能進(jìn)行矩陣的運算.② 會求二階矩陣的特征值和特征向量，會利用矩陣求解方程組，會利用特征值和特征向量進(jìn)行矩陣運算.
1. 設(shè)二階矩陣A，B滿足A－1＝，BA＝，求B－1. 解：∵ B＝BAA－1＝＝， 設(shè)B－1＝，則＝， 即＝， ∴ 解得 ∴ B－1＝. 2. 已知矩陣A＝，B＝，求矩陣A－1B. 解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為， 則＝， 即＝， 所以a＝－1，b＝c＝0，d＝， 從而矩陣A的逆矩陣為A－1＝，

19、 所以A－1B＝＝. 3. 已知矩陣M＝的一個特征值為－2，求M2. 解：將λ＝－2代入＝λ2－（x－1）λ－（x＋5）＝0，得x＝3. ∴ 矩陣M＝，∴ M2＝. 4. 設(shè)是矩陣M＝的一個特征向量，求實數(shù)a的值. 解：設(shè)是矩陣M屬于特征值λ的一個特征向量，則＝λ，故解得 5. 已知矩陣M＝的屬于特征值8的一個特征向量是e＝，點P（－1，2）在M對應(yīng)的變換作用下得到點Q，求點Q的坐標(biāo). 解：由題意知＝8×， 故解得 ∴ ＝， ∴ 點Q的坐標(biāo)為（－2，4）.
1. 逆變換與逆矩陣 （1） 對于二階矩陣A，B，若有AB＝BA＝E，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣.

20、 （2） 若二階矩陣A，B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且（AB）－1＝B－1A－1. （3） 利用行列式解二元一次方程組. 2. 特征值與特征向量 （1） 設(shè)A是一個二階矩陣，如果對于實數(shù)λ，存在一個非零向量α，使Aα＝λα，那么λ稱為A的一個特征值，而α稱為A的屬于特征值λ的一個特征向量. （2） 從幾何上看，特征向量經(jīng)過矩陣A對應(yīng)的變換作用后，與原向量保持在同一條直線上，這時特征向量或者方向不變（λ>0），或者方向相反（λ<0）.特別地，當(dāng)λ＝0時，特征向量就被變換成了零向量.


,　　　　　　　　　1　求逆矩陣與逆變換)
,　　　　　1)　已知矩陣A＝，B

21、＝.求矩陣C，使得AC＝B. 解： 因為det（A）＝2×3－1×1＝5， 所以A－1＝＝. 由AC＝B，得（A－1A）C＝A－1B， 所以C＝A－1B＝ ＝.
變式訓(xùn)練 （2017·常州期末）已知矩陣A＝，列向量X＝，B＝.若AX＝B，直接寫出A－1，并求出X. 解：由A＝，得A－1＝. 由AX＝B，得X＝A－1B＝＝.
,　　　　　　　　　2　求特征值與特征向量)
,　　　　　2)　求矩陣的特征值及對應(yīng)的特征向量. 解：特征多項式f（λ）＝＝（λ－3）2－1＝λ2－6λ＋8. 由f（λ）＝0，解得λ1＝2，λ2＝4. 將λ1＝2代入特征方程組，得?x＋y

22、＝0，可取為屬于特征值λ1＝2的一個特征向量. 同理，當(dāng)λ2＝4時，由?x－y＝0， 所以可取為屬于特征值λ2＝4的一個特征向量. 綜上所述，矩陣有兩個特征值λ1＝2，λ2＝4； 屬于λ1＝2的一個特征向量為，屬于λ2＝4的一個特征向量為.
變式訓(xùn)練 （2017·蘇北三市模擬）已知矩陣A＝，若A＝，求矩陣A的特征值. 解： 因為A＝＝＝， 所以 解得 所以A＝. 所以矩陣A的特征多項式為f（λ）＝＝（λ－2）（λ－1）－6＝λ2－3λ－4. 令f（λ）＝0，解得矩陣A的特征值為λ1＝－1，λ2＝4.
,　　　　　　　　　3　根據(jù)特征值或特征向量求矩陣)
,　　　　

23、　3)　已知矩陣A＝.若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α1＝，屬于特征值1的一個特征向量為α2＝，求矩陣A，并寫出A的逆矩陣. 解：由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α1＝，可得＝6，即c＋d＝6?、? 由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α2＝，可得＝，即3c－2d＝－2?、? 聯(lián)立①②解得即A＝， 所以A的逆矩陣是. 已知二階矩陣M有特征值λ＝3及對應(yīng)的一個特征向量e1＝，并且在矩陣M對應(yīng)的變換作用下將點（－1，2）變換成（9，15），求矩陣M. 解： 設(shè)M＝，則＝3＝， 故 ＝，故 聯(lián)立以上兩個方程組解得 故M＝.
,　　　　　　　　　4　特征值與特征向

24、量的綜合應(yīng)用)
,　　　　　4)　已知矩陣A＝，向量α＝，計算A5α. 解：因為f（λ）＝＝λ2－5λ＋6. 由f（λ）＝0，得λ＝2或λ＝3. 當(dāng)λ＝2時，對應(yīng)的一個特征向量為α1＝；當(dāng)λ＝3時，對應(yīng)的一個特征向量為α2＝. 設(shè)＝m＋n，解得 所以A5α＝2×25＋1×35＝.
變式訓(xùn)練 已知矩陣M＝的兩個特征向量α1＝，α2＝.若β＝，求M2β. 解：設(shè)矩陣M的特征向量α1對應(yīng)的特征值為λ1，特征向量α2對應(yīng)的特征值為λ2， 則由可解得 又β＝＝＋2＝α1＋2α2， 所以M2β＝M2（α1＋2α2）＝λα1＋2λα2＝4＋2＝.
1. （2017·蘇州期

25、初）已知α＝為矩陣A＝屬于λ的一個特征向量，求實數(shù)a，λ的值及A2. 解：由條件可知，＝λ， 所以解得 因此A＝， 所以A2＝＝. 2. （2017·蘇州期中）已知二階矩陣M有特征值λ＝8及對應(yīng)的一個特征向量e1＝，并且矩陣M將點（－1，3）變換為（0，8）. （1） 求矩陣M； （2） 求曲線x＋3y－2＝0在矩陣M對應(yīng)的變換作用下的新曲線方程. 解：（1） 設(shè)M＝，由＝8及＝， 得解得∴ M＝. （2） 設(shè)原曲線上任一點P（x，y）在矩陣M對應(yīng)的變換作用下的對應(yīng)點為P′（x′，y′）， 則＝，即 解得 代入x＋3y－2＝0并整理得x′－2y′＋4＝0， 即曲線x

26、＋3y－2＝0在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到的新曲線方程為x－2y＋4＝0. 3. （2017·南京、鹽城期末）設(shè)矩陣M＝的一個特征值λ對應(yīng)的一個特征向量為，求實數(shù)m與λ的值. 解：由題意得＝λ， 則解得 4. （2017·無錫期末）已知變換T將平面內(nèi)的點，（0，1）分別變換成點，.設(shè)變換T對應(yīng)的矩陣為M. （1） 求矩陣M； （2） 求矩陣M的特征值. 解：（1） 設(shè)M＝，則＝， ＝， 得a＝3，b＝－，c＝－4，d＝4， ∴ M＝. （2） 設(shè)矩陣M的特征多項式為f（λ）， ∴ f（λ）＝＝（λ－3）（λ－4）－6＝λ2－7λ＋6. 令f（λ）＝0，則λ1＝1，λ2

27、＝6.
1. 已知a，b是實數(shù)，如果矩陣A＝所對應(yīng)的變換T把點（2，3）變成點（3，4）. （1） 求a，b的值； （2） 若矩陣A的逆矩陣為B，求B2. 解：（1） 由題意，得＝， 故解得 （2） 由（1），得A＝. 由矩陣的逆矩陣公式得B＝. 所以B2＝. 2. （2017·南通、泰州模擬）設(shè)矩陣A滿足：A＝，求矩陣A的逆矩陣A－1. 解：（解法1）設(shè)矩陣A＝，則＝，所以a＝－1，2a＋6b＝－2，c＝0，2c＋6d＝3. 解得b＝0，d＝，所以A＝.根據(jù)逆矩陣公式得A－1＝. （解法2）在A＝兩邊同時左乘逆矩陣A－1，得＝A－1. 設(shè)A－1＝，則＝， 所

28、以－a＝1，－2a＋3b＝2，－c＝0，－2c＋3d＝6. 解得a＝－1，b＝0，c＝0，d＝2，從而A－1＝. 3. 已知矩陣M＝，求逆矩陣M－1的特征值. 解：設(shè)M－1＝， 則MM－1＝＝， 所以＝， 所以解得所以M－1＝. M－1的特征多項式為f（λ）＝＝（λ－1），令f（λ）＝0，解得λ＝1或λ＝. 所以矩陣M的逆矩陣M－1的特征值為1和. 4. 已知矩陣M＝，β＝，計算M6β. 解：矩陣M的特征多項式為f（λ）＝＝λ2－2λ－3. 令f（λ）＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，對應(yīng)的一個特征向量分別為α1＝，α2＝. 令β＝mα1＋nα2，得m＝4，n＝－3. M6β＝M6（4α1－3α2）＝4（M6α1）－3（M6α2）＝4×36－3×（－1）6＝. [備課札記] 16