2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)課教學(xué)案 新人教B版選修1-1

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1、 第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并能解決有關(guān)斜率、切線方程等的問(wèn)題.2.掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，并能夠綜合運(yùn)用求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.4.會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知識(shí)點(diǎn)一　在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) 1．定義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率是li ＝________________，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)． 2．幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線________．

2、 知識(shí)點(diǎn)二　導(dǎo)函數(shù) 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為f(x)的__________(簡(jiǎn)稱________)，f′(x)＝y(tǒng)′＝____________. 知識(shí)點(diǎn)三　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) y＝C(C為常數(shù)) y′＝________ y＝xu(u∈Q*) y′＝________ y＝sin x y′＝________ y＝cos x y′＝________ y＝ax y′＝________(a>0，a≠1) y＝ex y′＝________ y＝logax y′＝________(a>0且a≠1，x>0) y＝ln x

3、 y′＝________ 知識(shí)點(diǎn)四　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 和差的導(dǎo)數(shù) [f(x)±g(x)]′＝________ 積的導(dǎo)數(shù) [f(x)·g(x)]′＝____________ 商的導(dǎo)數(shù) ′＝________________(g(x)≠0) 知識(shí)點(diǎn)五　函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù) 1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 如果在(a，b)內(nèi)，________，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；________，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減． 2．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 已知函數(shù)y＝f(x)及其定義域內(nèi)一點(diǎn)x0，對(duì)于存在一個(gè)包含x0的開(kāi)區(qū)間內(nèi)的所有點(diǎn)x，如果都有________，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

4、處取____________，記作y極大值＝f(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)；如果都有________，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取____________，記作y極小值＝f(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)． 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值．極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)． 知識(shí)點(diǎn)六　求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟 1．求f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)所有____________． 2．計(jì)算函數(shù)f(x)在極值點(diǎn)和________________，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

5、 類型一　導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用 例1　已知函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)． (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 　 反思與感悟　利用導(dǎo)數(shù)求切線方程時(shí)關(guān)鍵是找到切點(diǎn)，若切點(diǎn)未知需設(shè)出．常見(jiàn)的類型有兩種，一類是求“在某點(diǎn)處的切線方程”，則此點(diǎn)一定為切點(diǎn)，易求斜率進(jìn)而寫出直線方程即可得；另一類是求“過(guò)某點(diǎn)的切線方程”，這種類型中的點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，可先設(shè)切點(diǎn)為Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，轉(zhuǎn)化為第一類類型． 跟蹤訓(xùn)練1　已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，

6、g(x)＝3x2＋6x＋12，直線m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在實(shí)數(shù)k，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是y＝g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，說(shuō)明理由． 　 類型二　函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 例2　已知函數(shù)f(x)＝. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若對(duì)任意t∈[，2]，f(t)>t恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 　 反思與感悟　(1)關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間． (2)已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性時(shí)轉(zhuǎn)化要等價(jià)． (3)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實(shí)質(zhì)是討論不等式的解

7、集． (4)求參數(shù)的范圍時(shí)常用到分離參數(shù)法． 跟蹤訓(xùn)練2　已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍； (2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 　 類型三　函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù) 例3　已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，過(guò)曲線y＝f(x)上的點(diǎn)P(1，f(1))的切線方程為y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2時(shí)有極值． (1)求f(x)的表達(dá)式； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的單調(diào)區(qū)間和最大值． 　 反思與感悟　(1)已知極值點(diǎn)

8、求參數(shù)的值后，要代回驗(yàn)證參數(shù)值是否滿足極值的定義． (2)討論極值點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即f′(x)的正負(fù)． (3)求最大值要在極大值與端點(diǎn)值中取最大者，求最小值要在極小值與端點(diǎn)值中取最小者． 跟蹤訓(xùn)練3　已知函數(shù)f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x. (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值． 　 　 類型四　分類討論思想 例4　已知函數(shù)f(x)＝－1. (1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)設(shè)m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值； (3)試證明：對(duì)?n∈N＋，不

9、等式ln()e<. 　 　 反思與感悟　(1)分類討論即分別歸類再進(jìn)行討論，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方法，同時(shí)又是一種重要的解題策略． (2)解題時(shí)首先要思考為什么分類，即分類依據(jù)是什么，一般的分類依據(jù)如：方程類型、根的個(gè)數(shù)及與區(qū)間的關(guān)系、不等號(hào)的方向等；其次考慮分幾類，每一類中是否還需要再分類． (3)分類討論的基本原則是不重不漏． 跟蹤訓(xùn)練4　設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[－1,0)∪(0,1]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,0)時(shí)，f(x)＝x3－ax(a為實(shí)數(shù))． (1)當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，求f(x)的解析式； (2)若a>3，試判斷f(x)在(0,1]上的單

10、調(diào)性，并證明你的結(jié)論； (3)是否存在a，使得當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)有最大值1? 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．曲線y＝－在點(diǎn)M處的切線的斜率為(　　 ) A．－ B. C．－ D.. 2．如果函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，那么導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能是(　　) 3．體積為16π的圓柱，它的半徑為_(kāi)_______時(shí)，圓柱的表面積最小． 4．已知a>0，函數(shù)f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的最大值為_(kāi)_______． 5．設(shè)f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的

11、切線垂直于y軸． (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 　 1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點(diǎn)處的切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．明確“過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的曲線y＝f(x)的切線方程”與“在點(diǎn)P(x0，y0)處的曲線y＝f(x)的切線方程”的異同點(diǎn)． 2．借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，經(jīng)常同三次函數(shù)，一元二次不等式結(jié)合，融分類討論、數(shù)形結(jié)合于一體． 3．利用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問(wèn)題，注意自變量中的定義域，找出函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題． 答案精析 知識(shí)梳理 知識(shí)點(diǎn)一 1． 2．斜率 知識(shí)點(diǎn)二 導(dǎo)函數(shù)　導(dǎo)數(shù)　li 知識(shí)點(diǎn)三

12、0　uxu－1　cos x?。璼in x　axln a ex　　 知識(shí)點(diǎn)四 f′(x)±g′(x)　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 知識(shí)點(diǎn)五 1．f′(x)>0　f′(x)<0 2．f(x)f(x0)　極小值 知識(shí)點(diǎn)六 1．極值點(diǎn) 2．端點(diǎn)的函數(shù)值 題型探究 例1　解　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x－2ln x， f′(x)＝1－(x>0), ∴f(1)＝1，f′(1)＝－1, ∴y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為 y－1＝－(x－1), 即x＋

13、y－2＝0. (2)由f′(x)＝1－＝，x>0. ①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無(wú)極值； ②當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0，解得x＝a. ∵當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0， ∴f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無(wú)極大值． 綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無(wú)極大值． 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)因?yàn)閒′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0， 所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.

14、(2)因?yàn)橹本€m過(guò)定點(diǎn)(0,9)，先求過(guò)點(diǎn)(0,9)，且與曲線y＝g(x)相切的直線方程． 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,3x＋6x0＋12)，又因?yàn)間′(x0)＝6x0＋6， 所以切線方程為 y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)． 將點(diǎn)(0,9)代入， 得9－3x－6x0－12＝－6x－6x0， 所以3x－3＝0，得x0＝±1. 當(dāng)x0＝1時(shí)，g′(1)＝12，g(1)＝21，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,21)， 所以切線方程為y＝12x＋9； 當(dāng)x0＝－1時(shí)，g′(－1)＝0，g(－1)＝9，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,9)， 所以切線方程為y＝9. 下面求曲線y＝f(x)的斜率為

15、12和0的切線方程： 因?yàn)閒(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11， 所以f′(x)＝－6x2＋6x＋12. 由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12， 解得x＝0或x＝1. 當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝－11，此時(shí)切線方程為y＝12x－11； 當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝2，此時(shí)切線方程為y＝12x－10. 所以y＝12x＋9不是公切線． 由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0， 解得x＝－1或x＝2. 當(dāng)x＝－1時(shí)，f(－1)＝－18，此時(shí)切線方程為y＝－18； 當(dāng)x＝2時(shí)，f(2)＝9，此時(shí)切線方程為y＝9， 所以y＝9是公切線． 綜上所述，當(dāng)k＝0時(shí)，y＝9

16、是兩曲線的公切線． 例2　解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝， ∴f′(x)＝. 由f′(x)>0，得x<2， 由f′(x)<0，得x>2. 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2，＋∞)． (2)若對(duì)任意t∈[，2]， f(t)>t恒成立， 則當(dāng)x∈[，2]時(shí)，>x恒成立， 即當(dāng)x∈[，2]時(shí)，a>ex＋恒成立． 設(shè)g(x)＝ex＋，x∈[，2]， 則g′(x)＝ex－，x∈[，2]． 設(shè)h(x)＝ex－， ∵h(yuǎn)′(x)＝ex＋>0在x∈[，2]上恒成立， ∴h(x)在[，2]上單調(diào)遞增， 即g′(x)＝ex－在[，2]上單調(diào)遞增． ∵g′(

17、)＝e－4<0， g′(2)＝e2－>0， ∴g′(x)＝ex－在[，2]上有零點(diǎn)m， ∴g(x)＝ex＋在[，m]上單調(diào)遞減，在[m,2]上單調(diào)遞增， ∴即 ∴a>e2＋. 即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(e2＋，＋∞)． 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)求導(dǎo)得f′(x)＝3x2－a， 因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)， 所以f′(x)≥0在R上恒成立． 即3x2－a≥0在R上恒成立， 即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0. 當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x3－1在R上單調(diào)遞增，符合題意． 所以a的取值范圍是(－∞，0]． (2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減， 則f′(x

18、)≤0在(－1,1)上恒成立． 即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立， 即a≥3x2， 又因?yàn)樵?－1,1)上，0≤3x2<3， 所以a≥3. 當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0， 所以f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減， 即a＝3符合題意． 所以存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，且a的取值范圍是[3，＋∞)． 例3　解　(1)因?yàn)閒′(x)＝3x2＋2ax＋b， 所以f′(1)＝3＋2a＋b， 故過(guò)曲線上P點(diǎn)的切線方程為 y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)， 即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，

19、 已知該切線方程為y＝3x＋1， 所以即 因?yàn)閥＝f(x)在x＝－2時(shí)有極值，所以f′(－2)＝0， 即－4a＋b＝－12， 解方程組得 所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5. (2)由(1)知f′(x)＝3x2＋4x－4 ＝(3x－2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝. 當(dāng)x∈[－3，－2)時(shí)，f′(x)>0； 當(dāng)x∈(－2，)時(shí)，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(，1]時(shí)，f′(x)>0. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－3，－2)和(，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為(－2，)． 又f(－2)＝13，f()＝，f(－3)＝8，f(1)＝4， 所以f(x)在區(qū)

20、間[－3,1]上的最大值為13. 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝－－， 由f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x知，f′(1)＝－－a＝－2， 解得a＝. (2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－， 則f′(x)＝. 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5. 因?yàn)閤＝－1不在f(x)的定義域(0，＋∞)內(nèi)，故舍去． 當(dāng)x∈(0,5)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)內(nèi)為減函數(shù)； 當(dāng)x∈(5，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)． 所以函數(shù)f(x)在x＝5時(shí)取得極小值f(5)＝－ln 5. 例4　(1)解　函

21、數(shù)f(x)的定義域是(0，＋∞)． 由已知f′(x)＝， 令f′(x)＝0，得1－ln x＝0，所以x＝e. 因?yàn)楫?dāng)00， 當(dāng)x>e時(shí)，f′(x)＝<0， 所以函數(shù)f(x)在(0，e]上單調(diào)遞增， 在(e，＋∞)上單調(diào)遞減． (2)解　由(1)知函數(shù)f(x)在(0，e]上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減， ①當(dāng)0<2m≤e，即0

22、≤x0， 當(dāng)e

23、3＋ax. (2)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，證明如下： f′(x)＝－3x2＋a，x∈(0,1]， ∴－3x2∈[－3,0)． 又a>3，∴a－3x2>0，即f′(x)>0. ∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增． (3)當(dāng)a>3時(shí)，f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增， ∴f(x)max＝f(1)＝a－1＝1. ∴a＝2與a>3矛盾． 當(dāng)0≤a≤3時(shí)，令f′(x)＝a－3x2＝0， 得x＝或x＝－(舍去)． 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0， ∴f(x)在上單調(diào)遞增． 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0， ∴f(x)在上單調(diào)遞減． 又函數(shù)f(x)在x＝處連續(xù)， ∴f(x)max＝f

24、＝－3＋a＝1.解得a＝. 當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)＝a－3x2<0， ∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，f(x)在(0,1]上無(wú)最大值． 綜上，存在a＝，使f(x)在(0,1]上有最大值1. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．B　[y′＝ ＝，故y′|x＝＝， ∴曲線在點(diǎn)M處的切線的斜率為.] 2．A　[由f(x)與f′(x)的關(guān)系可知選A.] 3．2 解析　設(shè)圓柱底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l. ∴16π＝πr2l，即l＝， 則S表面積＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr×＝2πr2＋， 由S′＝4πr－＝0，得r＝2. ∴當(dāng)r＝2時(shí)，圓柱的表面積最?。? 4．3 解析　由題意知，f′(x)＝3x2－a≥0(x≥1)， ∴a≤3x2，∴a≤3，∴a的最大值為3. 5．解　(1)f′(x)＝－＋. 由題意知，曲線在x＝1處的切線斜率為0，即f′(1)＝0， 從而a－＋＝0，解得a＝－1. (2)由(1)知，f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)， 則f′(x)＝－－＋ ＝＝. 令f′(x)＝0， 解得x1＝1，x2＝－(舍去)． 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)． 故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3，無(wú)極大值． 14