2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 3.1.1 空間向量及其加減運算 3.1.2 空間向量的數(shù)乘運算學(xué)案 新人教A版選修2-1

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1、3.1.1　空間向量及其加減運算3.1.2　空間向量的數(shù)乘運算 學(xué) 習 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1．理解空間向量的概念．(難點) 2．掌握空間向量的線性運算．(重點) 3．掌握共線向量定理、共面向量定理及推論的應(yīng)用．(重點、難點) 1．通過空間向量有關(guān)概念的學(xué)習，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)． 2．借助向量的線性運算、共線向量及共面向量的學(xué)習，提升學(xué)生的直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng). 1．空間向量 (1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量． (2)長度或模：向量的大?。? (3)表示方法： ①幾何表示法：空間向量用有向線段表示； ②字母表示法：用字母a，

2、b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：，其模記為|a|或||． 2．幾類常見的空間向量 名稱 方向 模 記法 零向量 任意 0 0 單位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 3.向量的加法、減法 空間向量的運算 加法 ＝＋＝a＋b 減法 ＝－＝a－b 加法 運算律 (1)交換律：a＋b＝b＋a (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 4.空間向量的數(shù)乘運算 (1)定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當

3、λ>0時，λa與向量a方向相同；當λ<0時，λa與向量a方向相反；當λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍． (2)運算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a． 5．共線向量和共面向量 (1)共線向量 ①定義：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量． ②共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb． ③點P在直線AB上的充要條件：存在實數(shù)t，使＝＋t． (2)共面向量 ①定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量． ②共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量

4、p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝x_a＋y_b． ③空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y) 使＝x＋y或?qū)臻g任意一點O，有＝＋x＋y． 思考：(1)空間中任意兩個向量一定是共面向量嗎？ (2)若空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，滿足＝＋＋，則點P與點A，B，C是否共面？ [提示]　(1)空間中任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一個平面的兩個向量，因此一定是共面向量． (2)由＝＋＋得－＝(－)＋(－) 即＝＋，因此點P與點A，B，C共面． 1．如圖所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1所有的棱中，

5、可作為直線A1B1的方向向量的有(　　) A．1個　　　B．2個　　　C．3個　　　D．4個 D　[共四條：AB，A1B1，CD，C1D1.] 2．已知空間四邊形ABCD中，＝a，＝b，＝c，則＝(　　) A．a(chǎn)＋b－c B．－a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c C　[＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋c.] 3．在三棱錐A-BCD中，若△BCD是正三角形，E為其中心，則＋－－化簡的結(jié)果為________． 0　[延長DE交邊BC于點F，則有＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0.] 4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，化簡向量表達式－＋－的結(jié)果為________．

6、2　[－＋－＝(＋)－(＋) ＝－＝2.] 　空間向量的有關(guān)概念 【例1】　(1)給出下列命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； ②若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|； ③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，＝； ④若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p. 其中正確命題的序號是________． (2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，頂點連接的向量中，與向量相等的向量有________；與向量相反的向量有________．(要求寫出所有適合條件的向量) (1)②③④　(2)，，　，，，　[(1)對于①，向量a與b的

7、方向不一定相同或相反，故①錯； 對于②，根據(jù)相反向量的定義知|a|＝|b|，故②正確； 對于③，根據(jù)相等向量的定義知，＝，故③正確； 對于④，根據(jù)相等向量的定義知正確．] (2)根據(jù)相等向量的定義知，與向量相等的向量有，，.與向量相反的向量有，，，.] 解答空間向量有關(guān)概念問題的關(guān)鍵點及注意點 (1)關(guān)鍵點：緊緊抓住向量的兩個要素，即大小和方向． (2)注意點：注意一些特殊向量的特性． ①零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點說明了共線向量不具備傳遞性． ②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1. ③兩個向量模相等，不一定是相等向量

8、；反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚? 1．如圖所示，以長方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點的兩點為始點和終點的向量中， (1)試寫出與相等的所有向量； (2)試寫出的相反向量； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模． [解]　(1)與向量相等的向量有，，，，共3個； (2)向量的相反向量為，，，，共4個； (3)||2＝22＋22＋12＝9，所以||＝3. 　空間向量的線性運算 【例2】　(1)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運算結(jié)果為向量的有(　　)

9、①(＋)＋； ②(＋)＋； ③(＋)＋； ④(＋)＋. A．1個　　B．2個　　C．3個　　D．4個 (2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量： ①； ②； ③＋. 思路探究：(1)根據(jù)向量的三角形法則和平行四邊形法則求解． (2)根據(jù)數(shù)乘向量及三角形法則，平行四邊形法則求解． (1)D　[對于①，(＋)＋＝＋＝， 對于②，(＋)＋＝＋＝， 對于③，(＋)＋＝＋＝， 對于④，(＋)＋＝＋＝.] (2)解：①∵點P是C1D1的中點，∴＝＋＋＝＋＋＝a＋c＋

10、b， ②∵點N是BC的中點，∴＝＋＋ ＝－＋＋＝－a＋b＋c， ③∵點M是AA1的中點，∴＋＝＋＋＋＋ ＝a＋c＋b＋c＋a＝a＋b＋c. 1．空間向量加法、減法運算的兩個技巧 (1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結(jié)果． 2．利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧 (1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉(zhuǎn)化為已知向量．

11、 (2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質(zhì)． 2.如圖，已知空間四邊形OABC，M，N分別是邊OA，BC的中點，點G在MN上，且MG＝2GN，設(shè)＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示向量. [解]?。剑? ＝＋ ＝＋(＋＋) ＝＋ ＝＋ ＝＋＋＝a＋b＋c. 　共線問題 【例3】　(1)設(shè)e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三點共線，實數(shù)k＝________． (2)如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為A1C上一點，且A1O＝，BD與AC交于點M.求證：C1，O，M三點共線

12、． 思路探究：(1)根據(jù)向量共線的充要條件求解． (2)用向量，，分別表示和. (1)1　[＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2. 設(shè)＝λ，則7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)， 所以，解得k＝1.] (2)解：設(shè)＝a，＝b，＝c， 則＝＋＝＋＝(＋)＋(＋) ＝＋＋(＋＋) ＝＋－－＋ ＝＋＋＝a＋b＋c， ＝＋＝＋＝(＋)＋， ＝a＋b＋c， ∴＝3，又直線MC1與直線MO有公共點M， ∴C1，O，M三點共線． 1.判斷向量共線的策略 (1)熟記共線向量的充要條件：①若a∥b，b≠0，則存在唯一實

13、數(shù)λ使a＝λb；②若存在唯一實數(shù)λ，使a＝λb，b≠0)，則a∥b. (2)判斷向量共線的關(guān)鍵：找到實數(shù)λ. 2.證明空間三點共線的三種思路 對于空間三點P，A，B可通過證明下列結(jié)論來證明三點共線. (1)存在實數(shù)λ，使＝λ成立. (2)對空間任一點O，有＝＋t（t∈R）. (3)對空間任一點O，有＝x＋y（x＋y＝1）. 3．(1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點是(　　) A．A，B，D　　 B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D A　[因為＝＋＋＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b

14、 所以＝3. 又直線AB，AD有公共點A，故A，B，D三點共線．] (2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F(xiàn)在對角線A1C上，且＝. 求證：E，F(xiàn)，B三點共線． [證明]　設(shè)＝a，＝b，＝c， 因為＝2，＝， 所以＝，＝， 所以＝＝b， ＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c，所以＝－＝a－b－c＝. 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c， 所以＝，所以E，F(xiàn)，B三點共線． 　向量共面問題 [探究問題] 1．能說明P，A，B，C四點共面的結(jié)論有哪些？ [提示]　(1)存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得＝x＋y. (2)空間一點P在平面A

15、BC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)． (3)∥. 2．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，試判斷p，m，n是否共面． [提示]　設(shè)p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋ y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c. 因為a，b，c不共面，所以 而此方程組無解，所以p不能用m，n表示， 即p，m，n不共面． 【例4】　如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE. 求證：向量，

16、，共面． 思路探究：可通過證明＝x＋y求證． [證明]　因為M在BD上，且BM＝BD，所以＝＝＋.同理＝＋. 所以＝＋＋ ＝＋＋＝＋＝＋. 又與不共線，根據(jù)向量共面的充要條件可知，，共面． 1．利用四點共面求參數(shù) 向量共面的充要條件的實質(zhì)是共面的四點中所形成的兩個不共線的向量一定可以表示其他向量，對于向量共面的充要條件，不僅會正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值． 2．證明空間向量共面或四點共面的方法 (1)向量表示：設(shè)法證明其中一個向量可以表示成另兩個向量的線性組合，即若p＝xa＋yb，則向量p，a，b共面． (2)若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對于空間任一點O，有＝x

17、＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，則P，A，B，C四點共面． (3)用平面：尋找一個平面，設(shè)法證明這些向量與該平面平行． 4．已知A，B，C三點不共線，點O是平面ABC外的任意一點，若點P分別滿足下列關(guān)系： (1)＋2＝6－3； (2)＋＝4－. 試判斷點P是否與點A，B，C共面． [解]　法一：(1)∵3－3＝＋2－3＝(－)＋(2－2)， ∴3＝＋2，即＝－2－3. 根據(jù)共面向量定理的推論知：點P與點A，B，C共面． (2)設(shè)＝＋x＋y(x，y∈R)，則 ＋x＋y＋＝4－， ∴＋x(－)＋y(－)＋＝4－， ∴(1－x－y－4)＋(1＋x)＋(1＋y)＝0，

18、 由題意知，，均為非零向量，所以x，y滿足： 顯然此方程組無解，故點P與點A，B，C不共面． 法二：(1)由題意，＝＋＋， ∵＋＋＝1，∴點P與點A，B，C共面． (2)∵＝4－－，而4－1－1＝2≠1， ∴點P與點A，B，C不共面． 1．一些特殊向量的特性 (1)零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的． (2)單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1. (3)兩個向量模相等，不一定是相等向量，反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚? 2．四點P，A，B，C共面?對空間任意一點O，都有＝x＋y＋z，且x＋

19、y＋z＝1. 3．＝＋x＋y稱為空間平面ABC的向量表達式．由此可知空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定． 4．證明(或判斷)三點A，B，C共線時，只需證明存在實數(shù)λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“對空間任意一點O，有＝t＋(1－t)”來證明三點A，B，C共線． 5．空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使＝x＋y，滿足這個關(guān)系式的點都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點都滿足這個關(guān)系式．這個充要條件常用于證明四點共面. 1．在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是(　　) A.＝2－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0

20、 C　[由MA＋MB＋MC＝0得＝－－，故M，A，B，C四點共面．] 2．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是上底面A1C1的中點，若＝x＋y＋z，x＋y＋z＝________． 2　[∵＝＋＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋， ∴x＝，y＝，z＝1， ∴x＋y＋z＝2.] 3．已知O是空間任意一點，A，B，C，D四點滿足任意三點不共線，但四點共面，且＝2x＋3y＋4z，則2x＋3y＋4z＝________． －1　[由＝2x＋3y＋4z得＝－2x－3y－4z， 所以－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.] 4.如圖，在空間四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，E，F(xiàn)分別為邊CD和AD的中點，試化簡＋－，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量． [解]　∵G是△BCD的重心，BE是CD邊上的中線， ∴＝. 又＝(－) ＝－＝－＝， ∴＋－ ＝＋－＝(如圖所示)． - 13 -