2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第1章 集合與常用邏輯術(shù)語(yǔ) 1.2 集合間的基本關(guān)系教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

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1、1.2 集合間的基本關(guān)系 (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解子集、真子集的概念，能識(shí)別給定集合的子集.2.理解兩個(gè)集合包含與相等的含義，能用子集的觀點(diǎn)解釋兩個(gè)集合的相等關(guān)系． 教學(xué)重點(diǎn)：1.子集、真子集定義的理解.2.寫出給定集合的子集.3.兩個(gè)集合之間關(guān)系的判定.4.用子集觀點(diǎn)解釋兩個(gè)集合的相等關(guān)系． 教學(xué)難點(diǎn)：1.兩個(gè)集合之間關(guān)系的判定.2.一些關(guān)系符號(hào)(?，?，，，∈，?)的準(zhǔn)確使用.3.具體問題中易忽視空集的情況. 【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】 知識(shí)點(diǎn)一　　 子集 一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或

2、B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)． 注意：(1)子集是刻畫兩個(gè)集合之間關(guān)系的，它反映的是局部與整體之間的關(guān)系(而元素與集合之間的關(guān)系是個(gè)體與整體之間的關(guān)系)． (2)并不是任意兩個(gè)集合之間都具有包含關(guān)系．例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因?yàn)?∈A，但2?B，所以A不是B的子集；同理，因?yàn)?∈B，但3?A，所以B也不是A的子集． (3)子集有下列兩個(gè)性質(zhì)： ①自反性：任何一個(gè)集合都是它本身的子集，即A?A； ②傳遞性：對(duì)于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C. 知識(shí)點(diǎn)二　　　Venn圖 為了直觀地表示集合間的關(guān)系，常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這

3、種圖稱為Venn圖．因此，A?B可用Venn圖表示為 知識(shí)點(diǎn)三　　　集合相等 一般地，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A＝B. 也就是說(shuō)，若A?B，且B?A，則A＝B. 很明顯，若兩個(gè)集合相等，則它們的元素完全相同；若集合A與B中有不相同的元素，則這兩個(gè)集合不相等，可記為A≠B. 知識(shí)點(diǎn)四　　　真子集 如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集(proper subset)，記作AB(或BA)． 從真子集的定義可以看出，要想證明A是B的真子集，需要兩步：一是證明A?

4、B(即A中的任何元素都屬于B)，二是證明A≠B(即B中的元素不是都屬于A，或者說(shuō)B中至少有一個(gè)元素不屬于A)． 知識(shí)點(diǎn)五　　　空集 一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為?，并規(guī)定：空集是任何集合的子集． 在這個(gè)規(guī)定的基礎(chǔ)上，結(jié)合子集和真子集的有關(guān)概念，可以得到： (1)空集只有一個(gè)子集，即它本身； (2)空集是任何非空集合的真子集． 【新知拓展】 1．對(duì)子集、真子集有關(guān)概念的理解 (1)集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，這是判斷A?B的常用方法． (2)不能簡(jiǎn)單地把“A?B”理解成“A是B中部分元素組成的集合”．因?yàn)槿鬉＝?時(shí)，則A

5、中不含任何元素；若A＝B，則A中含有B中的所有元素． (3)在真子集的定義中，AB首先要滿足A?B，其次至少有一個(gè)x∈B，但x?A. 2．集合子集的個(gè)數(shù) 求集合的子集問題時(shí)，一般可以按照子集元素個(gè)數(shù)分類，再依次寫出符合要求的子集． 集合的子集、真子集個(gè)數(shù)的規(guī)律為：含n個(gè)元素的集合有2n個(gè)子集，有(2n－1)個(gè)真子集，有(2n－2)個(gè)非空真子集．寫集合的子集時(shí)，空集和集合本身易漏掉． 3．0，{0}，?，{?}的關(guān)系 ?與0 ?與{0} ?與{?} 相同點(diǎn) 都表示無(wú) 的意思 都是集合 都是集合 不同點(diǎn) ?是集合； 0是實(shí)數(shù) ?中不含任何元素；{0}含一個(gè)元

6、素0 ?不含任何元素；{?}含一個(gè)元素，該元素是? 關(guān)系 0?? ?{0} ?{?}或 ?∈{?} 1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)若A?B，則B中至少有一個(gè)元素不屬于A.(　　) (2)若A?B，則要么AB，要么A＝B.(　　) (3)空集沒有真子集．(　　) (4)若A?B，則B不會(huì)是空集．(　　) (5)若A＝B，則必有A?B.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 2．做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)用適當(dāng)?shù)姆?hào)(?，?，，，＝)填空： N*________N，R________Q

7、， {x|x2＝1}________{－1,1}， {(x，y)|x＋y＝1}________. (2)給出下列集合：A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是菱形}，D＝{x|x是正方形}，它們的關(guān)系可以表示為________________． 答案　(1)　　＝　　(2)DBA，DCA 題型一 判斷集合之間的關(guān)系 例1　判斷下列各組集合之間的關(guān)系： (1)A＝{1,2,4}，B＝{x|x是8的正約數(shù)}； (2)A＝{x|x是等邊三角形}，B＝{x|x是有一個(gè)內(nèi)角是60°的等腰三角形}； (3)A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B

8、＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． [解]　(1)集合A中的元素1,2,4都是8的正約數(shù)，從而這三個(gè)元素都屬于B，即A?B；但B中的元素8不屬于A，從而A≠B，所以AB. (2)等邊三角形都是有一個(gè)內(nèi)角是60°的等腰三角形，即A?B；有一個(gè)內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，即B?A，所以A＝B. (3)解法一：兩個(gè)集合都表示一些正奇數(shù)組成的集合，但由于n∈N*，因此集合A含有元素“1”，而集合B不含元素“1”，故BA. 解法二：由列舉法知A＝{1,3,5,7，…}，B＝{3,5,7,9，…}，所以BA. 金版點(diǎn)睛 集合之間的關(guān)系是由兩集合中元素的關(guān)系確定的，因此，要判定集

9、合之間的關(guān)系，必須根據(jù)集合的表示方法，弄清集合中的元素是什么，再根據(jù)元素之間的關(guān)系給出結(jié)果；很明顯當(dāng)AB或者A＝B時(shí)，不宜表示為A?B. 　例1中(3)，兩集合中條件“n∈N*”改為n∈Z，結(jié)果如何？ 解　A＝B. 題型二 寫出集合的子集 例2　寫出集合{a，b，c}的所有子集． [解]　因?yàn)榧蟵a，b，c}中有3個(gè)元素，所以其子集中的元素個(gè)數(shù)只能是0,1,2,3. 有0個(gè)元素的子集：?； 有1個(gè)元素的子集：{a}，，{c}； 有2個(gè)元素的子集：{a，b}，{a，c}，{b，c}； 有3個(gè)元素的子集：{a，b，c}． 因此集合{a，b，c}的所有子集為?，{

10、a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}． 金版點(diǎn)睛 本例采用分類列舉的方法，分類的標(biāo)準(zhǔn)是子集中元素的個(gè)數(shù)，這樣做，所寫的子集不重不漏，是一種思路清晰、條理明確的解題方法. 　寫出集合{1,2,3}的所有子集． 解　?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}. 題型三 有限集子集個(gè)數(shù)探究 例3　令集合A0＝?，集合An＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N*)，試探究集合An子集的個(gè)數(shù)． [解]　為了方便，不妨設(shè)集合An的子集數(shù)為m(An)．我們把An的子集分為兩類，第一類：含元素an；第二類

11、：不含元素an.易知，第二類就是集合An－1的子集，且第一類和第二類同樣多．因此，m(An)＝2m(An－1)．從而，m(An－1)＝2m(An－2)，…，m(A1)＝2m(A0)，易知m(A0)＝1.所以m(An)＝2m(An－1)＝22m(An－2)＝23m(An－3)＝…＝2nm(A0)＝2n. 金版點(diǎn)睛 若一組對(duì)象分為甲、乙兩類，當(dāng)兩類對(duì)象同樣多時(shí)，我們只要知道其中一類對(duì)象的個(gè)數(shù)，也就知道了另一類對(duì)象的個(gè)數(shù)，從而也就知道了這組對(duì)象的總個(gè)數(shù).“同樣多”是一種一一對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn). 如下例： 注意：如果非空集合A中有n(n∈N*)個(gè)元素，那么集合A的子集有2n個(gè)，真子集有(2n－

12、1)個(gè)，非空真子集有(2n－2)個(gè)． 　滿足{1,2}M?{1,2,3,4,5}的集合M有多少個(gè)？ 解　由{1,2}M可知，M中必定有1,2兩個(gè)元素，且至少還有異于1,2的“其他”一個(gè)元素；由M?{1,2,3,4,5}可知，上面所說(shuō)的“其他”應(yīng)當(dāng)來(lái)自于3,4,5這三個(gè)數(shù)：可以是其中的1個(gè)(三種情況)，2個(gè)(三種情況)，3個(gè)(一種情況)．故滿足條件的集合M有7個(gè)(也就是集合{3,4,5}的非空子集的個(gè)數(shù)). 題型四 含參問題探究 例4　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若BA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [解]?、佼?dāng)B≠?時(shí)，如圖所示

13、： ∴或 解這兩個(gè)不等式組，得2≤m≤3. ②當(dāng)B＝?時(shí)，由m＋1>2m－1，得m<2.綜上可得，m的取值范圍是{m|m≤3}． 金版點(diǎn)睛 本例的難點(diǎn)是解讀集合B，事實(shí)上，集合B就是不等式組 的解集(只是寫法不同)，易知當(dāng)m＋1>2m－1，即m<2時(shí)，不等式組無(wú)解，即B＝?；當(dāng)m＝2時(shí)，B＝{3}；當(dāng)m>2時(shí)，從幾何角度講，集合B是數(shù)軸上一條變端點(diǎn)、變長(zhǎng)度的線段. 　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1

14、時(shí)，有 解得－1≤m<2， 綜上得實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m≥－1}． 1．下列說(shuō)法： ①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個(gè)子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A，則A≠?.其中正確的有(　　) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 答案　B 解析　①空集是它本身的子集；②空集只有一個(gè)子集；③空集不是它本身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③錯(cuò)誤，④正確． 2．集合P＝{0,1}，Q＝{y|x2＋y2＝1，x∈N}，則集合P，Q間的關(guān)系是(　　) A．P＝Q B．PQ C．QP D．不確定 答案　B 解析　由x2＋

15、y2＝1，x∈N，得y＝±1,0，即Q＝{－1，0,1}，所以PQ.故選B. 3．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，則下列式子表示正確的有(　　) ①1∈A；②{－1}∈A；③??A；④{1，－1}?A. A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 答案　C 解析　A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，故①③④正確，②不正確． 4．滿足{a}?M{a，b，c，d}的集合M共有(　　) A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．15個(gè) 答案　B 解析　依題意a∈M，且M{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0個(gè)、1個(gè)或2個(gè)，即M的個(gè)數(shù)等于集合{b，c，d}的真子集的個(gè)數(shù)，有23－1＝7(個(gè))． 5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若A是B的真子集，求a的取值范圍； (2)若B是A的子集，求a的取值范圍； (3)若A＝B，求a的取值范圍． 解　(1)若AB，由圖可知a＞2. (2)若B?A，由圖可知1≤a≤2. (3)由A＝B，可得a＝2. - 8 -