2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第1節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案 文 北師大版

《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第1節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案 文 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第1節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案 文 北師大版（7頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第一節(jié)　任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) [考綱傳真]　1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第39頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．角的概念的推廣 (1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形． (2)分類 (3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定義和公式 (1)定義：在單位圓中，長度為1的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度．

2、正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0. (2)公式 角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(弧長用l表示) 角度與弧度的換算 ①1°＝ rad； ②1 rad＝° 弧長公式 弧長l＝|α|r 扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 定義 設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，記作sin α x叫做α的余弦，記作cos α 叫做α的正切，記作tan α 各象限符號(hào) Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋

3、 － 三角函 數(shù)線 有向線段MP為正弦線 有向線段OM為余弦線 有向線段AT為正切線 [知識(shí)拓展] 1．三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律 三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函數(shù)的定義(推廣) 設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)小于90°的角是銳角．(　　) (2)銳角是第一象限角，反之亦然．(　　) (3)角α的三角函數(shù)值與終邊上

4、點(diǎn)P的位置無關(guān)．(　　) (4)若α為第一象限角，則sin α＋cos α＞1.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(2017·西寧復(fù)習(xí)檢測(cè)(一))若cos θ＞0，且sin 2θ＜0，則角θ的終邊所在象限為(　　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[由cos θ>0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0得sin θ＜0，則角θ的終邊在第四象限，故選D．] 3．(教材改編)已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為M，則sin α＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090079】 A． B．± C． D．±

5、 B　[由題意知|r|2＝2＋y2＝1，所以y＝±.由三角函數(shù)定義知sin α＝y(tǒng)＝±.] 4．在單位圓中，200°的圓心角所對(duì)的弧長為(　　) A．10π B．9π C．π D．π D　[單位圓的半徑r＝1,200°的弧度數(shù)是200×＝π，由弧長公式得l＝π.] 5．終邊在射線y＝－x(x＜0)上的角的集合是________． 　[終邊在射線y＝－x(x＜0)上的一個(gè)角為π，從而所求角的集合為] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第40頁) 角的有關(guān)概念及其集合表示 　(1)若角α是第二象限角，則是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第

6、二或第四象限角 (2)已知角α的終邊在如圖3-1-1所示陰影部分表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角α用集合可表示為________． 圖3-1-1 (1)C　(2)2kπ＋，2kπ＋π(k∈Z)　[(1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z. 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角； 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角． 綜上，是第一或第三象限角． (2)在[0,2π)內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為， ∴所求角的集合為(k∈Z)．] [規(guī)律方法]　1.與角α終邊相同的角可以表示為β＝2kπ＋α(k∈Z)的形式，α是任意角；相等的

7、角終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等；角度制與弧度制不能混用． 2．由α所在象限，判定所在象限，應(yīng)先確定的范圍，并對(duì)整數(shù)k的奇、偶情況進(jìn)行討論． [變式訓(xùn)練1]　(1)終邊在直線y＝－x上的角的集合是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090080】 A． B． C． D． (2)已知角α＝45°，在區(qū)間[－720°，0°]內(nèi)與角α有相同終邊的角β＝________. (1)D　(2)－675°或－315°　[(1)在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝－x上的角為，所以終邊在直線y＝－x上的角的集合為. (2)由終邊相同的角的關(guān)系知β＝k·360°＋45°，k∈Z， ∴

8、取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.] 扇形的弧長、面積公式 　(1)已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角； (2)已知扇形周長為40，當(dāng)它的半徑和圓心角分別取何值時(shí)，扇形的面積最大？ [解]　(1)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則 解得(舍去)或 ∴扇形的圓心角為. (2)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則2r＋rθ＝40. 又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100. 當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時(shí)，Smax＝100，此時(shí)2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴當(dāng)r＝10，θ＝2時(shí)，扇形的面積最大． [規(guī)律方法]　1.(

9、1)在弧度制下，計(jì)算扇形面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷；(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于R的二次函數(shù)的最值問題(如本例)或不等式問題來求解． 2．利用公式：(1)l＝αR；(2)S＝lR；(3)S＝αR2.其中R是扇形的半徑，l是弧長，α(0＜α＜2π)為圓心角，S是扇形面積，知道兩個(gè)量，可求其余量． [變式訓(xùn)練2]　(1)若圓弧長度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為(　　) A．　　　　　　 B． C．3 D． (2)若扇形的圓心角α＝120°，弦長AB＝12 cm，則弧長l＝________cm. (1)D　(2)π　[(1)如圖，等邊

10、三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，則線段AB所對(duì)的圓心角∠AOB＝， 作OM⊥AB，垂足為M， 在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝， ∴AM＝r，AB＝r， ∴l(xiāng)＝r， 由弧長公式得α＝＝＝. (2)設(shè)扇形的半徑為r cm，如圖． 由sin 60°＝，得r＝4 cm， ∴l(xiāng)＝|α|·r＝×4＝π cm.] 三角函數(shù)的定義 　(1)(2018·天水模擬)若角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，則cos θ的值為________． (2)點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為____

11、____． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090081】 (1)－　(2)　[(1)由題意知r＝， ∴sin θ＝＝m， ∵m≠0，∴m＝±，∴r＝＝2， ∴cos θ＝＝－. (2)由三角函數(shù)定義可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足x＝cos ＝－，y＝sin ＝. ∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.] [規(guī)律方法]　用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況． (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解； (2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題． [變式訓(xùn)練3]　(1)(2018·合肥模擬)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－x，－6)，且cos α＝－，則x＝________. (2)已知角α的終邊上一點(diǎn)P，若α∈(－π，0)，則α＝________. (1)　(2)－　[(1)cos α＝＝－，解得x＝，或x＝－，又－x＜0，即x＞0，所以x＝. (2)法一：點(diǎn)P的坐標(biāo)為P，點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離r＝1，從而cos α＝，又α∈(－π，0)，所以α＝－. 法二：由sin2π＋cos2π＝1得cos α＝sinπ＝cos＝cos，又α∈(－π，0)，所以α＝－.] 7