2019版高考數(shù)學一輪復習 第九章 計數(shù)原理與概率 第60講 離散型隨機變量及其分布列學案

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1、 第60講　離散型隨機變量及其分布列 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性． 2．理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用. 2016·全國卷Ⅰ，19 2015·重慶卷，17 2015·四川卷，17 利用排列、組合知識求解離散型隨機變量的分布列，運用概率知識解決實際問題. 分值：5分 1．隨機變量 隨著試驗結(jié)果變化__而變化__的變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． 2．離散型隨機變量 所有取值可以__一一列出__的隨機變量． 3．離散型隨機變量分布列的概率 若

2、離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，有時也用等式__P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n__表示X的分布列． 4．離散型概率分布列的性質(zhì) (1)__pi≥0(i＝1,2，…，n)__； (2)i＝1. 5．兩點分布 若隨機變量X服從兩點分布，則其分布列為 X 0 1 P __1－p__ p 其中p＝__P(X＝1)_

3、_稱為成功概率． 6．超幾何分布 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為：P(X＝k)＝____(k＝0，1,2，…，m)，其中m＝__min{M，n}__，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，如果隨機變量X的分布列具有下表形式. X 0 1 … m P ____ ____ … ____ 則稱隨機變量X服從超幾何分布． 1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)． (1)隨機試驗所有可能的結(jié)果是明確的，并且不止一個．(　√　) (2)離散型隨機變量的所有取值有時無法一一列出．(　×　) (3)離散型隨機變量的分布

4、列中pi>0(i＝1,2，…，n)．(　×　) (4)離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．(　√　) 解析 (1)正確．根據(jù)隨機試驗的條件可知正確． (2)錯誤．離散型隨機變量的所有取值可以一一列出． (3)錯誤．離散型隨機變量的分布列中pi≥0(i＝1,2,3，…，n)． (4)正確．由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)可知該命題正確． 2．投擲甲、乙兩顆骰子，所得點數(shù)之和為X，那么X＝4表示的事件是(　C　) A．一顆是3點，一顆是1點 B．兩顆都是2點 C．甲是3點，乙是1點或甲是1點，乙是3點或兩顆都是2點 D．以上答案都不對 解析

5、甲是3點，乙是1點與甲是1點，乙是3點是試驗的兩個不同結(jié)果，故選C． 3．設(shè)隨機變量X的分布列如下. X 1 2 3 4 5 P p 則p＝(　C　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 由＋＋＋＋p＝1，得p＝. 4．用X表示投擲一枚均勻的骰子獲得的點數(shù)，且X的分布列為P(X＝i)＝(i＝1,2，…，6)，則擲出的點數(shù)是偶數(shù)的概率為____. 解析 概率P＝P(X＝2)＋P(X＝4)＋P(X＝6)＝＋＋＝. 5．10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是____. 解析 從10件產(chǎn)品中任取4件共有C＝210種

6、不同的取法，因為10件產(chǎn)品中有7件正品、3件次品，所以從中任取4件恰好取到1件次品共有CC＝105種不同的取法，故所求的概率為P＝＝. 一　離散型隨機變量的分布列及性質(zhì) (1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù)． (2)求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機變量對應的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式． 【例1】 設(shè)隨機變量X的分布列為P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求a；(2)求P；(3)求P. 解析 (1)由分布列的性質(zhì)， 得P＋P＋P＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋

7、4a＋5a＝1， 所以a＝. (2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝ 3×＋4×＋5×＝. (3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝＝. 二　離散型隨機變量分布列的求法 求離散型隨機變量X的分布列的步驟 ①理解X的意義，寫出X可能取的全部值；②求X取每個值的概率；③寫出X的分布列． 注：求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機變量所取值對應的概率，在求解時，要注意應用計數(shù)原理、古典概型等知識． 【例2】 端午節(jié)包粽子是我國的傳統(tǒng)習俗．設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個． (1)求三種粽子各取到1個的概率； (2)設(shè)X表示

8、取到的豆沙粽的個數(shù)，求X的分布列． 解析 (1)令A表示事件“三種粽子各取到1個”， 則由古典概型的概率計算公式有P(A)＝＝. (2)X能取到的所有可能值為0,1,2，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 綜上知，X的分布列為 X 0 1 2 P 【例3】 某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù). 日銷售量/件 0 1 2 3 頻數(shù) 1 5 9 5 試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件，當天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率

9、視為概率． (1)求當天商店不進貨的概率； (2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的分布列． 解析 (1)P(當天商店不進貨)＝P(當天商品銷售量為0件)＋P(當天商品銷售量為1件)＝＋＝. (2)由題意知，X的可能取值為2,3.P(X＝2)＝P(當天商品銷售量為1件)＝＝； P(X＝3)＝P(當天商品銷售量為0件)＋P(當天商品銷售量為2件)＋P(當天商品銷售量為3件)＝＋＋＝. 所以X的分布列為 X 2 3 P 【例4】 甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲

10、勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立． (1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率； (2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列． 解析 用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”． 則P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5. (1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) ＝2＋×2＋××2＝. (2)X的可能取值為2,3,4,5. P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(

11、A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝， P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3) ＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝， P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4) ＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝， P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝. 故X的分布列為 X 2 3 4 5 P 三　超幾何分布 超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)，超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各

12、類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的分布列．超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型． 【例5】 一袋中裝有10個大小相同的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是. (1)求白球的個數(shù)； (2)從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列． 解析 (1)記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個數(shù)為x， 則P(A)＝1－＝，解得x＝5.故白球有5個． (2)X服從超幾何分布． P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3. 于是可得其分布列為 X 0 1 2

13、3 P 1．設(shè)離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X＋1的分布列； (2)|X－1|的分布列． 解析 由分布列的性質(zhì)知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.首先列表為 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 |X－1| 1 0 1 2 3 從而由上表得兩個分布列為： (1)2X＋1的分布列 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)|X－1

14、|的分布列 |X－1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 2．4支圓珠筆標價分別為10元、20元、30元、40元． (1)從中任取一支，求其標價X的分布列； (2)從中任取兩支，若以Y表示取到的圓珠筆的最高標價，求Y的分布列． 解析 (1)X的可能取值分別為10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故X的分布列為 X 10 20 30 40 P (2)根據(jù)題意，Y的可能取值為20,30,40， 且P(Y＝20)＝＝， P(Y＝30)＝＝，P(Y＝40)＝＝. 所以Y的分布列為 Y 20 30 40

15、 P 3．(2018·湖南益陽測試)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束． (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率； (2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列． 解析 (1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A.P(A)＝＝. (2)X的可能取值為200,300,400. P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－

16、P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝. 故X的分布列為 X 200 300 400 P 4．在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，求： (1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列； (2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率． 解析 (1)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果數(shù)為C，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為CC，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X＝k)＝，k＝0，1,2,3. 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P

17、 (2)設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”為事件A3. 由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3， 而P(A1)＝＝， P(A2)＝P(X＝2)＝， P(A3)＝P(X＝3)＝. ∴取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為 P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝. 易錯點　隨機變量取值不全 錯因分析：弄清隨機變量的取值，正確應用概率公式是關(guān)鍵．有時雖然弄清了隨機變量的所有取值，但對某個取值考慮不全面．避免這種

18、錯誤發(fā)生的有效方法是驗證隨機變量的概率和是否為1. 【例1】 盒子中有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個．第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球(假設(shè)取到每個球的可能性都相同)，記第一次與第二次取得球的標號之和為ξ，求隨機變量ξ的可能取值及其分布列． 解析 由題意可得，隨機變量ξ的可能取值是2,3,4,6,7,10. P(ξ＝2)＝0.3×0.3＝0.09， P(ξ＝3)＝C×0.3×0.4＝0.24， P(ξ＝4)＝0.4×0.4＝0.16， P(ξ＝6)＝C×0.3×0.3＝0.18， P(ξ＝7)＝C×0.4×0.3＝0

19、.24， P(ξ＝10)＝0.3×0.3＝0.09. 故隨機變量ξ的分布列為 ξ 2 3 4 6 7 10 P 0.09 0.24 0.16 0.18 0.24 0.09 【跟蹤訓練1】 (2016·全國卷Ⅰ)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖． 以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺

20、機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)． (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值； (3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應選用哪個？ 解析 (1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4，0.2，0.2.從而 P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24

21、； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 所以X的分布列為 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值為19. (3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)． 當n＝19時， E(Y)＝19×2

22、00×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040. 當n＝20時， E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 可知當n＝19時所需費用的期望值小于n＝20時所需費用的期望值，故應選n＝19. 課時達標　第60講 [解密考綱]離散型隨機變量及其分布列在高考中一般與排列、組合及古典概型、幾何概型、二項分布及超幾何分布相結(jié)合，以實際問題為背景呈現(xiàn)在三種題型中，難度中等或較大． 一、選擇題 1．設(shè)某項試驗的成功率是失

23、敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X＝0)＝(　C　) A．0　　 B．　　 C．　　 D． 解析 設(shè)X的分布列為： X 0 1 P p 2p 即“X＝0”表示試驗失敗，“X＝1”表示試驗成功，設(shè)失敗率為p，則成功率為2p，∴由p＋2p＝1，得p＝，故選C． 2．一只袋內(nèi)裝有m個白球，n－m個黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設(shè)此時取出了X個白球，下列概率等于的是(　D　) A．P(X＝3)　　 B．P(X≥2) C．P(X≤3)　　 D．P(X＝2) 解析 由超幾何分布知P(X＝2)＝. 3．設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列

24、為 X －1 0 1 P 2－3q q2 則q＝(　C　) A．1　　 B．± C．－　　 D．＋ 解析 由分布列的性質(zhì)知∴q＝－. 4．隨機變量X的概率分布為P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則P＝(　D　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 ∵P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＋＝1，∴a＝，∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝. 5．若隨機變量X的分布列為 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 則當P(X

25、，實數(shù)a的取值范圍是(　C　) A．(－∞，2]　　 B．[1,2] C．(1,2]　　 D．(1,2) 解析 由隨機變量X的分布列知：P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，則當P(X

26、＋m＝1?m＝1－＝1－＝，故選C． 二、填空題 7．設(shè)隨機變量X的概率分布列為 X 1 2 3 4 P m 則P(|X－3|＝1)＝　　. 解析 由＋m＋＋＝1，解得m＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝. 8．由于電腦故障，使得隨機變量X的分布列中部分數(shù)據(jù)丟失(以“x，y”代替)，其分布列如下. X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 則丟失的兩個數(shù)據(jù)x，y依次為__2,5__. 解析 由于0.20＋0.10＋(0.1·x＋0.05)＋0.10＋(0

27、.1＋0.01·y)＋0.20＝1，得10x＋y＝25，又因為x，y為正整數(shù)，故兩個數(shù)據(jù)依次是2,5. 9．若離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 則常數(shù)c＝____，P(X＝1)＝____. 解析 由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知： 解得c＝. P(X＝1)＝3－8×＝. 三、解答題 10．設(shè)ξ為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條：當兩條棱相交時，ξ＝0；當兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，ξ＝1. (1)求概率P(ξ＝0)； (2)求ξ的分布列． 解析 (1)若兩條棱相交，則交點必為正方體8個頂

28、點中的1個，過任意1個頂點恰有3條棱，所以共有8C對相交棱， 因此P(ξ＝0)＝＝＝. (2)若兩條棱平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝. 所以隨機變量ξ的分布列是 ξ 0 1 P 11．某學校的三個學生社團的人數(shù)分布如下表(每名學生只能參加一個社團). 圍棋社 舞蹈社 拳擊社 男生 5 10 28 女生 15 30 m 學校要對這三個社團的活動效果進行抽樣調(diào)查，按分層抽樣的方法從三個社團成員中抽取18人，結(jié)果拳擊社被抽出了6人． (1)求拳擊社團被抽出6人中

29、有5人是男生的概率； (2)設(shè)拳擊社團有X名女生被抽出，求X的分布列． 解析 (1)由于按分層抽樣的方法從三個社團成員中抽取18人，拳擊社被抽出了6人， ∴＝，∴m＝2. 設(shè)A為“拳擊社團被抽出的6人中有5人是男生”， 則P(A)＝＝. (2)由題意可知X＝0,1,2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝＝， X的分布列為 X 0 1 2 P 12．某高中共派出足球、排球、籃球三個球隊參加市學校運動會，它們獲得冠軍的概率分別為，，. (1)求該高中獲得冠軍個數(shù)X的分布列； (2)若球隊獲得冠軍，則給其所在學校加5分，否則加2分，

30、求該高中得分Y的分布列． 解析 (1)由題意知X的可能取值為0,1,2,3， 則P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P (2)∵得分Y＝5X＋2(3－X)＝6＋3X， ∵X的可能取值為0,1,2,3， ∴Y的可能取值為6,9,12,15，則 P(Y＝6)＝P(X＝0)＝，P(Y＝9)＝P(X＝1)＝， P(Y＝12)＝P(X＝2)＝，P(Y＝15)＝P(X＝3)＝. ∴Y的分布列為 Y 6 9 12 15 P 15