2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.3 冪函數(shù)教學案 新人教A版必修第一冊

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1、3.3 冪函數(shù) (教師獨具內(nèi)容) 課程標準：1.通過具體實例了解冪函數(shù)的概念.2.會畫冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的圖象，并能通過圖象了解冪函數(shù)的圖象與性質(zhì).3.能正確應(yīng)用冪函數(shù)的知識解決相關(guān)問題． 教學重點：1.冪函數(shù)的概念.2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 教學難點：應(yīng)用冪函數(shù)的知識解決相關(guān)問題． 【知識導學】 知識點一　冪函數(shù)的概念 一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)(power function)，其中x是自變量，α是常數(shù)． 知識點二　一些常用冪函數(shù)的圖象 同一坐標系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的圖象(如圖)． 知識點三　一

2、些常用冪函數(shù)的性質(zhì) 【新知拓展】 1．冪函數(shù)的特征 (1)xα的系數(shù)是1； (2)xα的底數(shù)x是自變量； (3)xα的指數(shù)α為常數(shù)． 只有滿足這三個條件，才是冪函數(shù)．對于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函數(shù)都不是冪函數(shù)． 2．冪函數(shù)的性質(zhì) (1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)； (2)如果α＞0，那么冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增； (3)如果α＜0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限接近y軸，當x從原點趨向于＋∞時，圖象

3、在x軸上方無限接近x軸； (4)在(1，＋∞)上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝x3＋2是冪函數(shù)．(　　) (2)冪函數(shù)的圖象必過(0,0)和(1,1)這兩點．(　　) (3)冪函數(shù)y＝xα的定義域為R，與指數(shù)無關(guān)．(　　) (4)當x＞1時，函數(shù)y＝x2的圖象總在函數(shù)y＝x3的圖象的下方．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)若y＝mxα＋(2n－4)是冪函數(shù)，則m＋n＝________. (2)已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過點(

4、2,8)，則f(－2)＝________. (3)若y＝ax是冪函數(shù)，則該函數(shù)的值域是________． 答案　(1)3　(2)－8　(3)[0，＋∞) 題型一 冪函數(shù)的定義 例1　已知冪函數(shù)y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此冪函數(shù)的解析式，并指出其定義域． [解]　∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3為冪函數(shù)， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 當m＝2時，m2－2m－3＝－3，則y＝x－3，且有x≠0； 當m＝－1時，m2－2m－3＝0，則y＝x0，且有x≠0. 故所求冪函數(shù)的解析式為y＝x－3或y＝x0，它們的定義域都是{x|x≠0}．

5、 金版點睛 判斷函數(shù)是冪函數(shù)的依據(jù) 判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即滿足：①指數(shù)α為常數(shù)；②底數(shù)x為自變量；③系數(shù)為1. 　(1)在函數(shù)y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，冪函數(shù)的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)已知y＝(m2－4m＋4)x＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值． 答案　(1)B　(2)見解析 解析　(1)y＝＝x－2，所以是冪函數(shù)；y＝2x2由于系數(shù)是2，因此不是冪函數(shù)；y＝x2＋x是兩項和的形式，不是冪函數(shù)；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函數(shù)y＝1的圖象比冪函數(shù)y＝x0的圖

6、象多了一個點(0,1)，所以常函數(shù)y＝1不是冪函數(shù)． (2)由題意得解得 所以m＝3，n＝. 題型二 冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用 例2　冪函數(shù)y＝x2，y＝x－1，y＝x，y＝x在第一象限內(nèi)的圖象依次是圖中的曲線(　　) A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3 [解析]　由于在第一象限內(nèi)直線x＝1的右側(cè)，冪函數(shù)y＝xα的圖象從上到下相應(yīng)的指數(shù)α由大變小，即冪函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)直線x＝1右側(cè)的“高低”關(guān)系是“指大圖高”，故冪函數(shù)y＝x2在第一象限內(nèi)的圖象為C1，y＝x－1在第一象限內(nèi)的圖象為C4，y＝x在第

7、一象限內(nèi)的圖象為C2，y＝x在第一象限內(nèi)的圖象為C3. [答案]　D 金版點睛 解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個原則 (1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0,1]上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；在[1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠離x軸(簡記為指大圖高)． (2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)來判斷． 　(1)如圖是冪函數(shù)y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則(　　) A．－11 D．n

8、<－1，m>1 (2)已知函數(shù)y＝. ①求定義域； ②判斷奇偶性； ③已知該函數(shù)在第一象限的圖象如圖所示，試補全圖象，并由圖象確定單調(diào)區(qū)間． 答案　(1)B　(2)見解析 解析　(1)在(0,1)內(nèi)取x0，作直線x＝x0，與各圖象有交點，則“點低指數(shù)大”．如圖，0

9、區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞減. 題型三 冪函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 例3　比較下列各題中兩個值的大小： (1)2.3，2.4； (2)() ，()； (3)(－0.31)2,0.352. [解]　(1)∵y＝x在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且2.3<2.4，∴2.3<2.4. (2)∵y＝x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且<， ∴()>(). (3)∵y＝x2為R上的偶函數(shù)，∴(－0.31)2＝0.312. 又函數(shù)y＝x2在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且0.31<0.35， ∴0.312<0.352，即(－0.31)2<0.352. 金版點睛 比較冪值大小的方法 比較冪值的大小，關(guān)

10、鍵是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，若指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮構(gòu)造冪函數(shù)，然后根據(jù)所構(gòu)造的冪函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、奇偶性等來解決問題． 例4　若(3－2m) >(m＋1) ，求實數(shù)m的取值范圍． [解]　因為y＝x在定義域[0，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以解得－1≤m<. 故實數(shù)m的取值范圍為. 金版點睛 利用冪函數(shù)解不等式的步驟 利用冪函數(shù)解不等式，實質(zhì)是已知兩個函數(shù)值的大小，判斷自變量的大小，常與冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等綜合命題．求解步驟如下： (1)確定可以利用的冪函數(shù)； (2)借助相應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的大小關(guān)系，轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系； (3)解不等式(組)求參數(shù)范圍，注

11、意分類討論思想的應(yīng)用． 　(1)比較下列各組數(shù)的大?。? ①與；②－3.143與－π3； (2)已知冪函數(shù)y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3，當x∈(0，＋∞)時，y隨x的增大而減小，求此冪函數(shù)的解析式． 解　(1)①∵y＝x在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且>， ∴>. ②∵y＝x3是R上的增函數(shù)，且3.14<π， ∴3.143<π3，∴－3.143>－π3. (2)∵y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3是冪函數(shù)， ∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0， ∴m＝2或m＝－3. 當m＝2時，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是冪函數(shù)，且滿足當x∈(0，＋∞)

12、時，y隨x的增大而減小； 當m＝－3時，m2－2m－3＝12，y＝x12是冪函數(shù)，但不滿足當x∈(0，＋∞)時，y隨x的增大而減小，故舍去． ∴y＝x－3(x≠0)． 1．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是(　　) A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 答案　B 解析　由冪函數(shù)的定義知函數(shù)y＝5x不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝5x是正比例函數(shù)，不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝(x＋1)3的底數(shù)不是自變量x，不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝x5是冪函數(shù)． 2．函數(shù)y＝x3的圖象大致是圖中的(　　) 答案　B 解析　∵函數(shù)y＝x3是奇函數(shù)，且α＝3>1，則其為增函數(shù)，且y隨x

13、的增大急劇增大，∴函數(shù)圖象為B. 3．設(shè)a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．b