2019-2020學年新教材高中數學 第三章 函數 3.1 函數的概念與性質 3.1.3 函數的奇偶性 第1課時 函數的奇偶性學案 新人教B版必修第一冊

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1、第1課時　函數的奇偶性 (教師獨具內容) 課程標準：1.結合具體函數，了解函數奇偶性的概念和奇偶函數圖像的特征.2.會根據函數奇偶性的概念判斷和證明函數的奇偶性． 教學重點：函數奇偶性的概念，判斷函數奇偶性的方法． 教學難點：函數奇偶性的判斷. 【情境導學】(教師獨具內容) 畢達哥拉斯曾說：“一切平面圖形中，最美的是圓形．”那是因為圓在各個方向上都是對稱的，是一種極致的美．可以這樣說，大自然便是用對稱來組織與生成的．如我們人體則更是這種高度對稱的代表．請大家再舉幾個對稱的例子(更好地激發(fā)學習熱情)．由于函數是用來揭示自然界的奧秘的，因此有些函數便天然地具有這種對稱性．我們還知道

2、，對稱有軸對稱和中心對稱兩種，如果這 個對稱軸變成了坐標系中的y軸，對稱中心變成了原點，那么此時的函數具有哪些性質呢？這些性質是否一樣能給我們帶來美的享受呢？ 【知識導學】 知識點一　函數奇偶性的概念 (1)偶函數：一般地，設函數y＝f(x)的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，則稱y＝f(x)為偶函數． (2)奇函數：一般地，設函數y＝f(x)的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，則稱y＝f(x)為奇函數． 知識點二 奇偶函數的圖像特征 (1)偶函數的圖像關于y軸對稱；反之，圖像關于y軸對稱的函數一定

3、是偶函數． (2)奇函數的圖像關于原點對稱；反之，圖像關于原點對稱的函數一定是奇函數． 【新知拓展】 　理解函數的奇偶性要注意的四點 (1)函數的單調性是函數的“局部”性質，而奇偶性是函數的“整體”性質，只有對其定義域內的每一個x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能說f(x)是奇(或偶)函數． (2)函數y＝f(x)是奇函數或偶函數的一個必不可少的條件：定義域關于原點對稱，換言之，若所給函數的定義域不關于原點對稱，則這個函數一定不具有奇偶性．例如，函數y＝x2在區(qū)間(－∞，＋∞)上是偶函數，但在區(qū)間[－1,2]上卻無奇偶性可言． (3)若奇函數在原點處有定義

4、，則必有f(0)＝0. (4)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，則f(x)既是奇函數又是偶函數，既奇又偶的函數有且只有一類，即f(x)＝0，x∈D，D是關于原點對稱的非空實數集． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)奇、偶函數的定義域都關于原點對稱．(　　) (2)函數f(x)＝x2的圖像關于原點對稱．(　　) (3)對于定義在R上的函數f(x)，若f(－1)＝－f(1)，則函數f(x)一定是奇函數．(　　) (4)函數f(x)＝x3，x∈[－1,1)是奇函數．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做(請把正確的答案

5、寫在橫線上) (1)若函數f(x)是定義在R上的奇函數，則f(0)＝______. (2)函數f(x)＝x在定義域R上是________函數(填“奇”或“偶”)． (3)已知函數f(x)是定義域為R的偶函數，若f(2)＝4，則f(－2)＝________. 答案　(1)0　(2)奇　(3)4 題型一 函數奇偶性的判斷 例1　判斷下列函數的奇偶性： (1)f(x)＝x4＋2x2； (2)f(x)＝x3＋； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝2－|x|； (5)f(x)＝； (6)f(x)＝x3＋x2. [解]　(1)因為f(x)的定義域為R，關于原點對稱，

6、且f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＝x4＋2x2＝f(x)，所以f(x)為偶函數． (2)因為f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱，且f(－x)＝(－x)3＋＝－＝－f(x)，所以f(x)為奇函數． (3)因為f(x)的定義域為{－1,1}，是兩個具體數，但它關于原點對稱，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)＝＋既是奇函數，又是偶函數． (4)因為f(x)的定義域是R，關于原點對稱，且f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以f(x)是偶函數． (5)因為f(x)＝的定義域是{x|x≥0}，它不關于原點對稱，所以f(x

7、)是非奇非偶函數． (6)因為f(x)＝x3＋x2的定義域是R，關于原點對稱，f(－x)＝－x3＋x2， 所以f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)， 所以f(x)是非奇非偶函數． 金版點睛 判斷函數奇偶性的方法 (1)定義法 根據函數奇偶性的定義進行判斷．步驟如下： ①判斷函數f(x)的定義域是否關于原點對稱．若不對稱，則函數f(x)為非奇非偶函數，若對稱，則進行下一步． ②驗證．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)． ③下結論．若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數；若f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數； 若f(－x)≠－f(x)，且f(－x

8、)≠f(x)，則f(x)為非奇非偶函數． (2)圖像法 ①若f(x)圖像關于原點對稱，則f(x)是奇函數． ②若f(x)圖像關于y軸對稱，則f(x)是偶函數． ③若f(x)圖像既關于原點對稱，又關于y軸對稱，則f(x)既是奇函數，又是偶函數． ④若f(x)的圖像既不關于原點對稱，又不關于y軸對稱，則f(x)既不是奇函數也不是偶函數． (3)性質法 ①偶函數的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數； ②奇函數的和、差仍為奇函數； ③奇(偶)數個奇函數的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數； ④一個奇函數與一個偶函數的積為奇函數． 　判斷下列函數的奇偶性： (1)f(

9、x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|； (4)f(x)＝·. 解　(1)因為函數的定義域關于坐標原點不對稱，即存在－4∈[－4,4)，而4?[－4,4)，所以，函數f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)既不是奇函數也不是偶函數． (2)因為函數的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，定義域關于坐標原點對稱，且對任意的x(x≠0)有f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以，函數f(x)＝是奇函數． (3)函數的定義域為實數集R，定義域關于坐標原點對稱，且對任意的x∈R，都有f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2

10、|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，所以，函數f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函數． (4)函數的定義域為[1，＋∞)，由于函數f(x)的定義域不關于坐標原點對稱，故函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數. 題型二 奇偶函數的圖像特征及應用 例2　(1)如圖①，給出奇函數y＝f(x)的局部圖像，試作出y軸右側的圖像并求出f(3)的值． (2)如圖②，給出偶函數y＝f(x)的局部圖像，試作出它在y軸右側的圖像，并比較f(1)與f(3)的大小． [解]　(1)奇函數y＝f(x)在y軸左側圖像上任一點P(－x，－f(x))關于原點的對稱點是P′(x，f(x))．下圖為

11、補充后的圖像．易知f(3)＝－2. (2)偶函數y＝f(x)在y軸左側圖像上任一點P(－x，f(x))關于y軸的對稱點是P′(x，f(x))，如圖為補充后的圖像，易知f(1)>f(3)． 金版點睛 用奇偶函數圖像的對稱性作圖 給出奇函數(或偶函數)在直角坐標平面內的某個半平面上的圖像，要作出它在另一個半平面內的圖像是依據奇、偶函數圖像的對稱性．其過程是作出原圖像上幾個關鍵點(圖像的最高點、最低點等)關于原點或y軸的對稱點，然后按原圖像的特征用平滑曲線連接這些點，就作出了它在另外一個半平面內的圖像． 　奇函數y＝f(x)的局部圖像如圖，試作出該函數在y軸左側部分

12、的圖像，并根據圖像寫出y＝f(x)(x∈R)的單調遞增區(qū)間． 解　將奇函數y＝f(x)在y軸左側的圖像補充后如圖所示． 由圖像可知，函數y＝f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，－3)、(－1,0)、(0,1)和(3，＋∞)． 1．下列函數為奇函數的是(　　) A．y＝－|x| B．y＝2－x C．y＝ D．y＝－x2＋8 答案　C 解析　A，D中，函數均為偶函數，B中函數為非奇非偶函數，而C中函數為奇函數． 2．若函數f(x)為定義在R上的奇函數，下列結論不正確的是(　　) A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)

13、 C．f(－x)f(x)≤0 D.＝－1 答案　D 解析　∵f(x)為R上的奇函數，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝－2f(x)，f(－x)·f(x)＝－[f(x)]2≤0，∴A，B，C正確． 而D不一定成立，如f(x)＝x，則＝＝－1(x≠0)，即當x＝0時，無意義． 3．已知函數f(x)是奇函數，函數g(x)是偶函數，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　B 解析　由題意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋

14、g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.兩式相加，解得g(1)＝3. 4．偶函數f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上的圖像如圖，則函數f(x)的增區(qū)間為________． 答案　[－1,0]，[1，＋∞) 解析　偶函數的圖像關于y軸對稱，補全圖像后可知函數f(x)的增區(qū)間為[－1,0]，[1，＋∞)． 5．判斷下列函數的奇偶性： (1)f(x)＝x2(x2＋2)； (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (3)f(x)＝. 解　(1)∵x∈R，關于原點對稱， 又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2] ＝x2(x2＋2)＝f(x)， ∴f(x)為偶函數． (2)∵x∈R，關于原點對稱， 又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， ∴f(x)為奇函數． (3)f(x)的定義域為[－1,0)∪(0,1]，關于原點對稱， 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)． ∴f(x)為奇函數． 8