2019高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 第七講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 微專題2 函數(shù)與方程、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用學(xué)案 理

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2019高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 第七講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 微專題2 函數(shù)與方程、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用學(xué)案 理_第1頁
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1、微專題2 函數(shù)與方程、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 命 題 者 說 考 題 統(tǒng) 計(jì) 考 情 點(diǎn) 擊 2018·全國卷Ⅰ·T9·函數(shù)的零點(diǎn) 2018·全國卷Ⅲ·T15·函數(shù)的零點(diǎn) 2018·浙江高考·T11·方程組的實(shí)際應(yīng)用 2017·全國卷Ⅲ·T11·函數(shù)的零點(diǎn)   從近5年高考情況來看,本部分內(nèi)容一直是高考的熱點(diǎn),尤其是對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的個(gè)數(shù)的判定及利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)是否存在和零點(diǎn)存在區(qū)間的考查較為頻繁,一般會(huì)將本部分內(nèi)容知識(shí)與函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合起來考查,綜合性較強(qiáng),一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn),解題時(shí)要充分利用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想。 考向一 判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)

2、數(shù)或所在區(qū)間 【例1】 (1)函數(shù)f (x)=log2x-的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(  ) A. B. C.(1,2) D.(2,3) (2)函數(shù)f (x)=4cos2cos-2sinx-|ln(x+1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________。 解析 (1)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?0,+∞),且函數(shù)f (x)在(0,+∞)上為增函數(shù)。f =log2-=-1-2=-3<0,f (1)=log21-=0-1<0,f (2)=log22-=1-=>0,f (3)=log23->1-=>0,即f (1)·f (2)<0,所以函數(shù)f (x)=log2x-的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)。故選C。 (

3、2)f (x)=4cos2sinx-2sinx-|ln(x+1)|=2sinx·-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|,令f (x)=0,得sin2x=|ln(x+1)|。在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)y=sin2x與函數(shù)y=|ln(x+1)|的大致圖象如圖所示。令ln(x+1)=1,則x=e-1。觀察圖象可知,兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)f (x)有2個(gè)零點(diǎn)。 答案 (1)C (2)2 (1)函數(shù)零點(diǎn)(即方程的根)的確定問題,常見的類型有: ①函數(shù)零點(diǎn)值大致存在區(qū)間的確定。 ②零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定。 ③兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定。 (2)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的主

4、要方法: ①解方程f (x)=0,直接求零點(diǎn)。 ②利用零點(diǎn)存在定理。 ③數(shù)形結(jié)合法:對(duì)于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形,常會(huì)通過分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)能畫出的函數(shù)圖象交點(diǎn)問題。 變|式|訓(xùn)|練 1.(2018·南寧摸底)設(shè)函數(shù)f (x)=lnx-2x+6,則f (x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(  ) A.3     B.2 C.1     D.0 解析 令f (x)=0,則lnx=2x-6,令g(x)=lnx,h(x)=2x-6(x>0),在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖所示,兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就等于函數(shù)f (x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),容易看出函數(shù)f (x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

5、為2,故選B。 答案 B 2.已知函數(shù)f (x)滿足:①定義域?yàn)镽;②?x∈R,都有f (x+2)=f (x);③當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f (x)=-|x|+1,則方程f (x)=log2|x|在區(qū)間[-3,5]內(nèi)解的個(gè)數(shù)是(  ) A.5    B.6 C.7    D.8 解析 畫出函數(shù)圖象如圖所示,由圖可知,共有5個(gè)解。故選A。 答案 A 考向二 根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的范圍 【例2】 已知函數(shù)f (x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn),則a=(  ) A.-   B. C.   D.1 解析 解法一:令f (x)=0,則x2-2x=-a(

6、ex-1+e-x+1),設(shè)g(x)=ex-1+e-x+1,則g′(x)=ex-1-e-x+1=ex-1-=,當(dāng)g′(x)=0時(shí),x=1,故當(dāng)x<1時(shí),g′(x)<0,函數(shù)g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)g(x)取得最小值2,設(shè)h(x)=x2-2x,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)h(x)取得最小值-1,若-a<0,h(1)=-ag(1)時(shí),此時(shí)函數(shù)h(x)和-ag(x)有一個(gè)交點(diǎn),即-a×2=-1?a=。故選C。 解法二:f (2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-2x+a(e1

7、-x+ex-1)=f (x),所以f (x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱,而f (x)有唯一的零點(diǎn),則f (x)的零點(diǎn)只能為x=1,即f (1)=-1+2a=0,解得a=。故選C。 答案 C 利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法 (1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解。 (2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解。 (3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式求解。 變|式|訓(xùn)|練 已知在區(qū)間(0,2]上的函數(shù)f (x)=且g(x)=f (x)-mx在區(qū)間(0,2]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  ) A.∪ B.∪ C.∪

8、 D.∪ 解析  由函數(shù)g(x)=f (x)-mx在(0,2]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn),得y=f (x),y=mx在(0,2]內(nèi)的圖象有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。當(dāng)y=mx與y=-3在x∈(0,1]相切時(shí),mx2+3x-1=0,Δ=9+4m=0,m=-,結(jié)合圖象可得當(dāng)-

9、折線圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(  ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月,波動(dòng)性更小,變化比較平穩(wěn) (2)某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)x千件該產(chǎn)品需另投入的成本為G(x)(單位:萬元),當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),G(x)=x2+10x;當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí),G(x)=51x+-1 450。已知每件產(chǎn)品的售價(jià)為0.05萬元。通過市場分析,該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完,則該工廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤的最大值是________萬元。 解析 (1)通過題圖可知

10、A不正確,并不是逐月增加,但是每一年是遞增的,從圖觀察C是正確的,D也正確,1~6月比較平穩(wěn),7~12月波動(dòng)較大。故選A。 (2)因?yàn)槊考a(chǎn)品的售價(jià)為0.05萬元,所以x千件產(chǎn)品的銷售額為0.05×1 000x=50x(萬元)。①當(dāng)0

11、000萬元。由于950<1 000,所以當(dāng)產(chǎn)量為100千件時(shí),該工廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大,最大年利潤為1 000萬元。 答案 (1)A (2)1 000 解決函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題的2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)認(rèn)真讀題,縝密審題,準(zhǔn)確理解題意,明確問題的實(shí)際背景,然后進(jìn)行科學(xué)地抽象概括,將實(shí)際問題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。 (2)要合理選取參變量,設(shè)定變量之后,就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關(guān)系,建立相應(yīng)的函數(shù)模型,最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問題獲解。 變|式|訓(xùn)|練 1.(2018·昆明調(diào)研)下圖是1951~2016年我國年平均氣溫變化圖。 根據(jù)上圖,下列

12、結(jié)論正確的是(  ) A.1951年以來,我國年平均氣溫逐年增高 B.1951年以來,我國年平均氣溫在2016年再創(chuàng)新高 C.2000年以來,我國年平均氣溫都高于1981~2010年的平均值 D.2000年以來,我國年平均氣溫的平均值高于1981~2010年的平均值 解析 由1951~2016年我國年平均氣溫變化圖可以看出,年平均氣溫有升高的也有降低的,所以A錯(cuò)誤;2016年的年平均氣溫不是最高的,所以B錯(cuò)誤;2012年的年平均氣溫低于1981~2010年的平均值,所以C錯(cuò)誤;2000年以來,只有2012年的年平均氣溫低于1981~2010年的平均值,所以2000年以來,我國年平均氣

13、溫的平均值高于1981~2010年的平均值,故D正確。故選D。 答案 D 2.(2018·馬鞍山一模)某高校為提升科研能力,計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入。若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費(fèi)1 300萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長12%,則該高校全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開始超過2 000萬元的年份是________。(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)(  ) A.2020年 B.2021年 C.2022年 D.2023年 解析 若2018年是第一年,則第n年科研費(fèi)為1 300×1.12n,由1 300×1.12n>2 000,可得l

14、g1.3+nlg1.12>lg2,得n×0.05>0.19,n>3.8,n≥4,即4年后,到2021年科研經(jīng)費(fèi)超過2 000萬元。故選B。 答案 B 1.(考向一)(2018·昆明調(diào)研)已知函數(shù)f (x)=則函數(shù)f (x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________。 解析 解法一:當(dāng)x>1時(shí),由log2(x-1)=0得x=2,即x=2為函數(shù)f (x)在區(qū)間(1,+∞)上的一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)x≤1時(shí),因?yàn)閒 (x)=x3-3x+1,所以f ′(x)=3x2-3,由f ′(x)=0得x=-1或x=1,因?yàn)楫?dāng)x<-1時(shí),f ′(x)>0,當(dāng)-1≤x≤1時(shí),f ′(x)≤0,所以x=-1為函數(shù)f (x)=x3-

15、3x+1在(-∞,1]上的極大值點(diǎn),因?yàn)閒 (-1)=3>0,f (1)=-1<0,且當(dāng)x→-∞時(shí),f (x)→-∞,所以函數(shù)f (x)=x3-3x+1在(-∞,1]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)。綜上,函數(shù)f (x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3。 解法二:當(dāng)x>1時(shí),作出函數(shù)y=log2(x-1)的圖象如圖①所示,當(dāng)x≤1時(shí),由f (x)=x3-3x+1=0得,x3=3x-1,在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=x3和y=3x-1的圖象如圖②所示,由圖①,②可知函數(shù)f (x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3。 答案 3 2.(考向一)(2018·洛陽統(tǒng)考)已知函數(shù)f (x)滿足f (1-x)=f (1+x)=f (x-1

16、)(x∈R),且當(dāng)0≤x≤1時(shí),f (x)=2x-1,則方程|cosπx|-f (x)=0在[-1,3]上的所有根之和為(  ) A.8 B.9 C.10 D.11 解析 方程|cosπx|-f (x)=0在[-1,3]上的所有根之和即y=|cosπx|與y=f (x)在[-1,3]上的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。由f (1-x)=f (1+x)得f (x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,由f (1-x)=f (x-1)得f (x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,由f (1+x)=f (x-1)得f (x)的一個(gè)周期為2,而當(dāng)0≤x≤1時(shí),f (x)=2x-1,在同一坐標(biāo)系中作出y=f (x)和y=|c

17、osπx|在[-1,3]上的大致圖象,如圖所示。易知兩圖象在[-1,3]上共有11個(gè)交點(diǎn),又y=f (x),y=|cosπx|的圖象都關(guān)于直線x=1對(duì)稱,故這11個(gè)交點(diǎn)也關(guān)于直線x=1對(duì)稱,故所有根之和為11。故選D。 答案 D 3.(考向二)已知函數(shù)f (x)=-kx2(x∈R)有四個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(  ) A.(-∞,0) B.(-∞,1) C.(0,1) D.(1,+∞) 解析 因?yàn)閤=0是函數(shù)f (x)的零點(diǎn),則函數(shù)f (x)=-kx2(k∈R)有四個(gè)不同的零點(diǎn),等價(jià)于方程k=有三個(gè)不同的根,即方程=|x|(x+2)有三個(gè)不同的根。記函數(shù)g(x)

18、=|x|(x+2)=由題意y=與y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn),作圖可知(圖略)0<<1,所以k>1。故選D。 答案 D 4.(考向二)(2018·四川統(tǒng)考)函數(shù)f (x)=若關(guān)于x的方程2f 2(x)-(2a+3)f (x)+3a=0有五個(gè)不同的零點(diǎn),則a的取值范圍是(  ) A.(1,2) B. C. D.∪ 解析  作出f (x)=|x|+1,x≠0的圖象如圖所示。設(shè)t=f (x),則原方程化為2t2-(2a+3)t+3a=0,由圖象可知,若關(guān)于x的方程2f 2(x)-(2a+3)f (x)+3a=0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,只有當(dāng)直線y=a與函數(shù)y=f (x)的圖象有兩

19、個(gè)不同的公共點(diǎn)時(shí)才滿足條件,所以10,解得a≠,綜上,得1,lg100.7=0.7>lg3>lg2,所以100.7>3>2,10-0.7<<,所以<<。故選C。 答案 C 9

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