2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第18講 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案

《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第18講 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第18講 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第18講　任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) 考綱要求 考情分析 命題趨勢(shì) 1．了解任意角的概念，了解弧度制的概念. 2．能進(jìn)行弧度與角度的互化. 3．理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義. 2017·北京卷，12 2016·全國(guó)卷Ⅱ，9 1．根據(jù)角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值. 2．根據(jù)三角函數(shù)值求參數(shù)值. 3．利用三角函數(shù)的定義判斷三角函數(shù)的圖象. 分值：3～5分 1．角的有關(guān)概念 (1)從運(yùn)動(dòng)的角度看，角可分為正角、?。?！　負(fù)角　###和?。?！　零角　###. (2)從終邊位置來(lái)看，角可分為象限角與軸線角. (3)若β與α是終

2、邊相同的角，則β用α表示為！??！　β＝2kπ＋α，k∈Z　###. 2．弧度與角度的互化 (1)1弧度的角 長(zhǎng)度等于?。?！　半徑　###的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角. (2)角α的弧度數(shù) 如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，那么角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|α|＝?。?！　　###. (3)角度與弧度的換算 ①1°＝?。?！　　###rad；②1 rad＝?。?！　°　###. (4)弧長(zhǎng)、扇形面積的公式 設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，圓心角大小為α rad，半徑為r，則l＝?。。　α|r　###，扇形的面積為S＝lr＝！??！　|α|·r2　###. 3．任意角的三角函數(shù) (1)定義：

3、設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sin α＝！?。　　###，cos α＝?。?！　x　###，tan α＝?。?！　(x≠0)　###；若α終邊上有一點(diǎn)P(x，y)(與O不重合)，則sin α＝，cos α＝，tan α＝，其中r＝. (2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0).如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的?。?！　正弦線　###，！??！　余弦線　###和?。?！　正切線　###. 1．思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”). (1)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的角是正角.

4、(　×　) (2)鈍角是第二象限的角.(　√　) (3)若兩個(gè)角的終邊相同，則這兩個(gè)角相等.(　×　) (4)1弧度的角就是長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)的圓心角.(　×　) (5)終邊在y軸上的角的正切值不存在.(　√　) 解析　(1)錯(cuò)誤.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的角是負(fù)角. (2)正確.鈍角的范圍是，顯然是第二象限的角. (3)錯(cuò)誤.角180°的終邊與角－180°的終邊相同，顯然它們不相等. (4)錯(cuò)誤.1弧度的角是單位圓中長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)的圓心角. (5)正確.終邊在y軸上的角與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，(0，－1).由三角函數(shù)的定義知，角的正切值不存在. 2．－870°的終邊在第幾象

5、限(　C　) A．一　　　 B．二　　　 C．三　　　 D．四 解析　因－870°＝－2×360°－150°，－150°是第三象限角. 3．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，－1)，則角α的最小正值是(　B　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 解析　∵sin α＝＝－，且α的終邊在第四象限，∴α＝π. 4．若sin α<0且tan α>0，則α是(　C　) A．第一象限角　　　 B．第二象限角 C．第三象限角　　　 D．第四象限角 解析　由sin α<0，知α在第三、第四象限或α終邊在y軸的負(fù)半軸上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限. 5．弧長(zhǎng)為

6、3π，圓心角為135°的扇形半徑為?。?！　4　###，面積為?。?！　6π　###. 解析　弧長(zhǎng)l＝3π，圓心角α＝π，由弧長(zhǎng)公式l＝|α|·r得r＝＝＝4，面積S＝lr＝6π. 一　象限角及終邊相同的角 象限角和終邊相同的角的判斷及表示方法 (1)若要確定一個(gè)絕對(duì)值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根據(jù)α所在的象限予以判斷. (2)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需角. 【例1】 (1)寫(xiě)出終邊在直線y＝x上的角的集合.

7、(2)若角θ的終邊與π角的終邊相同，求在［0,2π］內(nèi)終邊與角的終邊相同的角. (3)已知角α是第一象限角，試確定2α，所在的象限. 解析　(1)終邊在直線y＝x上的角的集合為. (2)所有與π角終邊相同的角的集合是， ∴所有與角終邊相同的角可表示為＝π＋kπ，k∈Z. ∴在［0,2π］內(nèi)終邊與角終邊相同的角有π，π，π. (3)∵2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，∴4kπ<2α<4kπ＋π，kπ<

8、α的三角函數(shù)值.先求P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解. (2)已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值. (3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo). 【例2】 (1)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sin θ＝－，則y＝！?。　。?　###. (2)(2017·北京卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若sin α＝，則cos(α－β)＝?。?！?。?##. 解析　(1)r＝＝，且

9、sin θ＝－， 所以sin θ＝＝＝－，解得y＝－8. (2)因?yàn)榻铅僚c角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱， 所以α＋β＝2kπ＋π，k∈Z， 所以cos(α－β)＝cos(2kπ＋π－2α)＝cos(2kπ＋π－2α)＝ －cos 2α＝－(1－2sin2α)＝－＝－. 三　扇形的弧長(zhǎng)及面積公式的應(yīng)用 (1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度. (2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決. (3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形. 【例3】 已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.

10、 (1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧長(zhǎng)l. (2)若扇形的周長(zhǎng)為20，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？ (3)若α＝，R＝2，求扇形的弧所在的弓形的面積. 解析　(1)l＝10×＝. (2)由已知得l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以R＝5時(shí)，S取得最大值25，此時(shí)l＝10，α＝2 rad. (3)設(shè)弓形面積為S弓，由題知l＝， S弓＝S扇－S△＝××2－×22×sin ＝. 1．若sin α·tan α<0，且<0，則角α是(　C　) A．第一象限角　　　 B．第二象限角 C．第三象限角

11、　　　 D．第四象限角 解析　由sin α·tan α<0可知sin α，tan α異號(hào)，從而α為第二或第三象限角；由<0，可知cos α，tan α異號(hào)，從而α為第三或第四象限角.綜上，α為第三象限角. 2．如圖，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)在圓上按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過(guò)的弧的長(zhǎng)為l，弦AP的長(zhǎng)為d，則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致為(　C　) 　 解析　如圖取AP的中點(diǎn)為D，連接OD，連接OP.設(shè)∠DOA＝θ，則d＝2sin θ，l＝2θ，故d＝2sin . 3．若cos α＝－，且角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x,2)，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x是(　D　) A．2　　　 B

12、．±2　　　 C．－2　　　 D．－2 解析　r＝， 由題意得＝－，解得x＝－2. 4．已知半徑為10的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為10. (1)求弦AB所對(duì)的圓心角α的大??； (2)求α所在的扇形弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S. 解析　(1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10， 所以△AOB為等邊三角形.所以弦AB所對(duì)的圓心角α＝. (2)由扇形的弧長(zhǎng)與扇形面積公式，得l＝α·R＝×10＝， S扇形＝R·l＝α·R2＝. 又S△AOB＝OA·OB·sin ＝25. 所以弓形的面積S＝S扇形－S△AOB＝50. 易錯(cuò)點(diǎn)　定義應(yīng)用錯(cuò)誤 錯(cuò)因分析：用三角函數(shù)的定義求三角

13、函數(shù)值時(shí)，要注意點(diǎn)的位置或字母正負(fù)的討論. 【例1】 已知α角的終邊過(guò)點(diǎn)P(3a，－4a)(a≠0)，求α角的三個(gè)三角函數(shù)值， 解析　根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義可得 r＝＝＝5|a|， 當(dāng)a<0時(shí)，r＝－5a，sin α＝＝，cos α＝＝－， tan α＝＝－； 當(dāng)a>0時(shí)，r＝5a，sin α＝＝－，cos α＝＝， tan α＝＝－. 【跟蹤訓(xùn)練1】 已知角α的終邊在直線y＝－3x上，求10sin α＋的值. 解析　設(shè)α終邊上任一點(diǎn)為P(k，－3k)， 則r＝＝|k|. 當(dāng)k>0時(shí)，r＝k， ∴sin α＝＝－，＝＝， ∴10sin α＋＝－3＋3＝0； 當(dāng)k

14、<0時(shí)，r＝－k， ∴sin α＝＝，＝＝－. ∴10sin α＋＝3－3＝0. 綜上，10sin α＋＝0. 課時(shí)達(dá)標(biāo)　第18講 ［解密考綱］本考點(diǎn)主要考查三角函數(shù)的概念、任意角和弧度制.通常以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn).安排在比較靠前的位置. 一、選擇題 1．將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的角的弧度數(shù)是(　C　) A．　　　 B． C．－　　　 D．－ 解析　將表的分針撥快應(yīng)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，為負(fù)角.故A項(xiàng)，B項(xiàng)不正確，又因?yàn)閾芸?0分鐘，故應(yīng)轉(zhuǎn)過(guò)的角為圓周的， 即為－×2π＝－，故選C． 2．點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)Q，則

15、點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(　A　) A．　　　 B． C．　　　 D． 解析　由三角函數(shù)定義可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足x＝cos＝－，y＝sin＝. 3．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　A　) A．(－2,3］　　　 B．(－2,3) C．［－2,3)　　　 D．［－2,3］ 解析　由cos α≤0，sin α>0可知，角α的終邊在第二象限或y軸的正半軸上，所以有解得－2

16、B．－ C．　　　 D．－ 解析　因?yàn)閞＝，cos α＝x＝，得x＝3或x＝－3，又因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，則x＝－3，r＝5，所以sin α＝，故選A． 5．(2018·安徽合肥模擬)已知角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ＝(　B　) A．－　　　 B．－ C．　　　 D． 解析　由題意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，將其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，故選B． 6．已知正角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則角α的最小值為(　D　) A．　　　 B． C．　　　

17、 D． 解析　∵＝，∴角α為第四象限角，且sin α＝－，cos α＝，∴角α的最小值為，故選D． 二、填空題 7．在與2 010°終邊相同的角中，絕對(duì)值最小的角的弧度數(shù)為?。? 解析　∵2 010°＝π＝12π－， ∴與2 010°終邊相同的角中絕對(duì)值最小的角的弧度數(shù)為－. 8．設(shè)角θ為第四象限角，并且角θ的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x0，y0).若x0＋y0＝－，則cos 2θ＝?。?！?。?##. 解析　由三角函數(shù)的定義，得x0＝cos θ，y0＝sin θ.∵ cos θ＋sin θ＝－，兩邊平方得sin 2θ＝－，∴cos 2θ＝±＝±.∵θ為第四象限角，sin θ<0

18、，cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，∴|sin θ|>|cos θ|，∴cos 2θ＝cos2 θ－sin2 θ<0，∴cos 2θ＝－. 9．設(shè)角α是第三象限角，且＝－sin，則角是第！??！　四　###象限角. 解析　由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，kπ＋<

19、∴α的終邊只可能在第三、四象限. ①若點(diǎn)P位于第三象限，可設(shè)P(－4k，－3k)(k>0)， 則r＝＝5k，從而cos α＝＝－，tan α＝＝， ∴cos α＋2tan α＝. ②若點(diǎn)P位于第四象限，可設(shè)P(4k，－3k)(k>0)， 則r＝＝5k， 從而cos α＝＝，tanα＝＝－， ∴cos α＋2tan α＝－. 綜上所述，若點(diǎn)P位于第三象限，則cos α＋2tan α＝； 若點(diǎn)P位于第四象限，則cos α＋2tan α＝－. 11．已知扇形AOB的周長(zhǎng)為8. (1)若這個(gè)扇形的面積為3，求圓心角的大小； (2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦AB

20、的長(zhǎng). 解析　設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，圓心角為α， (1)由題意可得解得或 ∴α＝＝或α＝＝6. (2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，當(dāng)且僅當(dāng)r＝2，即α＝＝2時(shí)，扇形面積取得最大值4. ∴弦長(zhǎng)AB＝2sin 1×2＝4sin 1． 12．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)確定的終邊所在的象限； (3)試判斷tansincos 的符號(hào). 解析　(1)由sin α<0，知α的終邊在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上；由tan α>0，知α的終邊在第一、三象限， 故α的終邊在第三象限，其集合為 . (2)由(2k＋1)π<α<2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋<0，cos <0， 所以tansin cos 取正號(hào)； 當(dāng)在第四象限時(shí)，tan<0，sin <0，cos >0， 所以tansin cos 也取正號(hào)． 因此tansin cos 取正號(hào)． 11