2019高考高考數(shù)學二輪復習 第二部分 第六講 解析幾何 微專題2 橢圓、雙曲線、拋物線學案 理

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1、微專題2 橢圓、雙曲線、拋物線 命 題 者 說 考 題 統(tǒng) 計 考 情 點 擊 2018·全國卷Ⅰ·T8·直線與拋物線位置關系 2018·全國卷Ⅰ·T11·雙曲線的幾何性質(zhì) 2018·全國卷Ⅱ·T5·雙曲線的漸近線 2018·全國卷Ⅱ·T12·橢圓的離心率 2018·全國卷Ⅲ·T11·雙曲線的離心率 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)是每年高考必考的內(nèi)容。以選擇、填空題的形式考查,常出現(xiàn)在第4~11或15~16題的位置,著重考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)與標準方程,難度中等。 考向一 圓錐曲線的定義與標準方程 【例1】 (1)(2018·衡水中學五調(diào))設F1、F2分別是橢圓+=

2、1的左、右焦點,P為橢圓上任意一點,點M的坐標為(6,4),則|PM|-|PF1|的最小值為________。 (2)(2018·天津高考)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點。設A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析 (1)由橢圓的方程可知F2(3,0),由橢圓的定義可得|PF1|=2a-|PF2|。所以|PM|-|PF1|=|PM|-(2a-|PF2|)=|PM|+|PF2|-2a≥|MF2|-2a,當且僅

3、當M,P,F(xiàn)2三點共線時取得等號,又|MF2|==5,2a=10,所以|PM|-|PF1|≥5-10=-5,即|PM|-|PF1|的最小值為-5。 (2)由d1+d2=6,得雙曲線的右焦點到漸近線的距離為3,所以b=3。因為雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為2,所以=2,所以=4,所以=4,解得a2=3,所以雙曲線的方程為-=1。故選C。 答案 (1)-5 (2)C (1)準確把握圓錐曲線的定義和標準方程及其簡單幾何性質(zhì),注意當焦點在不同坐標軸上時,橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式。 (2)求解圓錐曲線的標準方程的方法是“先定型,后計算”。所謂“定型”,就是指確定類型,

4、所謂“計算”,就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2,p的值,最后代入寫出橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程。 變|式|訓|練 1.已知雙曲線-y2=1的左、右焦點分別為F1、F2,點P在雙曲線上,且滿足|PF1|+|PF2|=2,則△PF1F2的面積為(  ) A.1 B. C. D. 解析 在雙曲線-y2=1中,a=,b=1,c=2。不妨設P點在雙曲線的右支上,則有|PF1|-|PF2|=2a=2,又|PF1|+|PF2|=2,所以|PF1|=+,|PF2|=-。又|F1F2|=2c=4,而|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,所以S△PF1F

5、2=×|PF1|×|PF2|=×(+)×(-)=1。故選A。 答案 A 2.(2018·昆明調(diào)研)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A,B兩點,過線段AB的中點N且垂直于l的直線與C的準線交于點M,若|MN|=|AB|,則l的傾斜角為(  ) A.15° B.30° C.45° D.60° 解析 分別過A,B,N作拋物線的準線的垂線,垂足分別為A′,B′,C,由拋物線的定義知|AF|=|AA′|,|BF|=|BB′|,|NC|=(|AA′|+|BB′|)=|AB|,因為|MN|=|AB|,所以|NC|=|MN|,所以∠MNC=60°,即直

6、線MN的傾斜角為120°,又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角,所以直線l的傾斜角為30°。故選B。 答案 B 考向二 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 微考向1:圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì) 【例2】 (1)已知雙曲線C1:-y2=1與雙曲線C2:-y2=-1,給出下列說法,其中錯誤的是(  ) A.它們的焦距相等 B.它們的焦點在同一個圓上 C.它們的漸近線方程相同 D.它們的離心率相等 (2)(2018·福州聯(lián)考)過雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別作雙曲線的兩條漸近線的平行線,若這4條直線所圍成的四邊形的周長為8b,則該雙曲線的漸近線方程為(  ) A.y=±x

7、 B.y=±x C.y=±x D.y=±2x 解析 (1)由題意知C2:y2-=1,則兩雙曲線的焦距相等且2c=2,焦點都在圓x2+y2=3上,其實為圓與坐標軸的交點。漸近線方程都為y=±x。由于實軸長度不同,故離心率e=不同。故選D。 (2)由雙曲線的對稱性得該四邊形為菱形,因為該四邊形的周長為8b,所以菱形的邊長為2b,由勾股定理得4條直線與y軸的交點到x軸的距離為=,又4條直線分別與兩條漸近線平行,所以=,解得a=b,所以該雙曲線的漸近線的斜率為±1,所以該雙曲線的漸近線方程為y=±x。故選A。 答案 (1)D (2)A (1)橢圓、雙曲線中a,b,c之間的關系 在

8、橢圓中:a2=b2+c2,離心率為e== ;在雙曲線中:c2=a2+b2,離心率為e== 。 (2)雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x。注意離心率e與漸近線的斜率的關系。 變|式|訓|練 1.已知雙曲線-x2=1的兩條漸近線分別與拋物線y2=2px(p>0)的準線交于A,B兩點,O為坐標原點。若△OAB的面積為1,則p的值為(  ) A.1 B. C.2 D.4 解析 雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2x,拋物線的準線方程為x=-,故A,B兩點的坐標為,|AB|=2p,所以S△OAB=·2p·==1,因為p>0,解得p=,故選B。 答案 B 2.(20

9、18·武漢調(diào)研)已知雙曲線C:-=1(m>0,n>0)的離心率與橢圓+=1的離心率互為倒數(shù),則雙曲線C的漸近線方程為(  ) A.4x±3y=0 B.3x±4y=0 C.4x±3y=0或3x±4y=0 D.4x±5y=0或5x±4y=0 解析 由題意知,橢圓中a=5,b=4,所以橢圓的離心率e==,所以雙曲線的離心率為=,所以=,所以雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x,即4x±3y=0。故選A。 答案 A 微考向2:離心率問題 【例3】 (2018·全國卷Ⅱ)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,A是C的左頂點,點P在過A且斜率為的直線上,△PF1F2為等腰

10、三角形,∠F1F2P=120°,則C的離心率為(  ) A. B. C. D. 解析  由題意可得橢圓的焦點在x軸上,如圖所示,設|F1F2|=2c,因為△PF1F2為等腰三角形,且∠F1F2P=120°,所以|PF2|=|F1F2|=2c。因為|OF2|=c,所以點P坐標為(c+2ccos60°,2csin60°),即點P(2c,c)。因為點P在過A且斜率為的直線上,所以=,解得=,所以e=,故選D。 答案 D 橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法 求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍,關鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關系或不等關系,然后把b用a,c代換

11、,求的值。 變|式|訓|練 1.(2018·廣州調(diào)研)在直角坐標系xOy中,設F為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點,P為雙曲線C的右支上一點,且△OPF為正三角形,則雙曲線C的離心率為(  ) A. B. C.1+ D.2+ 解析 解法一:設F′為雙曲線的左焦點,|F′F|=2c,依題意可得|PO|=|PF|=c,連接PF′,由雙曲線的定義可得|PF′|-|PF|=2a,故|PF′|=2a+c,在△PF′O中,∠POF′=120°,由余弦定理可得cos120°=,化簡可得c2-2ac-2a2=0,即2-2×-2=0,解得=1+或=1-(不合題意,舍去),故雙曲線的

12、離心率e=1+。故選C。 解法二:依題意|OP|=|OF′|=c=|PF|,又△OPF為正三角形,所以∠F′OP=120°,所以|PF′|=c,又|PF′|-|PF|=2a=c-c,所以e===+1。故選C。 答案 C 2.(2018·豫南九校聯(lián)考)已知兩定點A(-1,0)和B(1,0),動點P(x,y)在直線l:y=x+3上移動,橢圓C以A,B為焦點且經(jīng)過點P,則橢圓C的離心率的最大值為(  ) A. B. C. D. 解析 解法一:不妨設橢圓方程為+=1(a>1),與直線l的方程聯(lián)立得消去y得(2a2-1)x2+6a2x+10a2-a4=0,由題意易知Δ=36a4-

13、4(2a2-1)(10a2-a4)≥0,解得a≥,所以e==≤,所以e的最大值為。故選A。 解法二:若求橢圓C的離心率的最大值,因為c=1,e=,所以只需求a的最小值。因為P在橢圓上,依定義得|PA|+|PB|=2a,而A(-1,0)關于直線l:y=x+3的對稱點為A′(-3,2),所以|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|=2,即2a≥2,所以a≥,所以emax==。故選A。 答案 A 考向三 直線與圓錐曲線的位置關系 【例4】 (2018·全國卷Ⅲ)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點。若∠AMB=90°,則k

14、=________。 解析 解法一:設A(x1,y1),B(x2,y2),則所以y-y=4(x1-x2),所以k==,取AB中點M′(x0,y0),分別過點A,B作準線x=-1的垂線,垂足分別為A′,B′。因為∠AMB=90°,所以|MM′|=|AB|=(|AF|+|BF|)=(|AA′|+|BB′|)。因為M′為AB的中點,所以MM′平行于x軸,因為M(-1,1),所以y0=1,則y1+y2=2,即k=2。 解法二:由題意知拋物線的焦點為(1,0),則過C的焦點且斜率為k的直線方程為y=k(x-1)(k≠0),由消去y得k2(x-1)2=4x,即k2x2-(2k2+4)x+k2=0,設A

15、(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=1。由消去x得y2=4,即y2-y-4=0,則y1+y2=,y1y2=-4,由∠AMB=90°,得·=(x1+1,y1-1)·(x2+1,y2-1)=x1x2+x1+x2+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,將x1+x2=,x1x2=1與y1+y2=,y1y2=-4代入,得k=2。 答案 2 將直線方程代入圓錐曲線方程得到一元二次方程,利用根與系數(shù)的關系可以解決有關相交問題、弦長問題、中點問題等,有時也可采用設而不求的方法即點差法。 變|式|訓|練 1.(2018·濰坊統(tǒng)考)已知拋物線y2=4x與直線2x-y-3=0相

16、交于A,B兩點,O為坐標原點,設OA,OB的斜率分別為k1,k2,則+的值為(  ) A.- B.- C. D. 解析 設A,B,易知y1y2≠0,則k1=,k2=,所以+=,將x=代入y2=4x,得y2-2y-6=0,所以y1+y2=2,+=。故選D。 答案 D 2.(2018·常德一模)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F的直線l交拋物線C于A,B兩點,弦AB的中點M到拋物線C的準線的距離為5,則直線l的斜率為(  ) A.± B.±1 C.± D.± 解析 由題意知直線l的斜率存在且不為零,設直線l的方程為y=k(x-1),點A(x1,y1),B(x2

17、,y2),線段AB的中點為M(x0,y0)。由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=。又因為弦AB的中點M到拋物線C的準線的距離為5,所以+=+1=5,所以x1+x2==8,解得k2=,所以k=±。故選C。 答案 C 1.(考向一)(2018·惠州調(diào)研)設F1,F(xiàn)2為橢圓+=1的兩個焦點,點P在橢圓上,若線段PF1的中點在y軸上,則的值為(  ) A.    B. C.    D. 解析  如圖,設線段PF1的中點為M,因為O是F1F2的中點,所以OM∥PF2,可得PF2⊥x軸,可求得|PF2|=,|PF1|=2a-|PF2|=,=。故選D。 答案 D

18、 2.(考向一)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,且與橢圓+=1有公共焦點,則C的方程為(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析 由y=x,可得=?!、儆蓹E圓+=1的焦點為(3,0),(-3,0),可得a2+b2=9?!、谟散佗诳傻胊2=4,b2=5。所以C的方程為-=1。故選B。 答案 B 3.(考向二)(2018·貴陽摸底)橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點為A,右焦點為F,過點F且垂直于x軸的直線交C于P,Q兩點,若cos∠PAQ=,則橢圓C的離心率e為(  ) A.     B. C.     D. 解析

19、 解法一:根據(jù)題意可取P,Q,所以tan∠PAF=====1-e,cos∠PAQ=cos2∠PAF=cos2∠PAF-sin2∠PAF====,故5-5(1-e)2=3+3(1-e)2?8(1-e)2=2?(1-e)2=。又橢圓的離心率e的取值范圍為(0,1),所以1-e=,e=。故選A。 解法二:設∠PAF=α,則cos∠PAQ=cos2α=,cos2α==,cosα=,所以sinα=,所以tanα==,所以a(a+c)=2b2=2(a2-c2),2c2+ac-a2=0,2e2+e-1=0,解得e=。故選A。 答案 A 4.(考向二)(2018·洛陽統(tǒng)考)過橢圓+=1上一點H作圓x

20、2+y2=2的兩條切線,A,B為切點。過A,B的直線l與x軸,y軸分別交于P,Q兩點,則△POQ(O為坐標原點)的面積的最小值為(  ) A. B. C.1 D. 解析 依題意,設H(3cosθ,2sinθ)(sinθcosθ≠0),由題意知H,A,O,B四點共圓,故以OH為直徑的圓的方程為x(x-3cosθ)+y(y-2sinθ)=0,即x2+y2-3xcosθ-2ysinθ=0,所以兩圓方程相減得公共弦AB所在直線的方程為3xcosθ+2ysinθ-2=0,所以P,Q,所以S△POQ=××=×≥×1=。故選B。 答案 B 5.(考向三)(2018·鄭州質(zhì)檢)設拋物線y2=

21、4x的焦點為F,過點M(,0)的直線與拋物線相交于A,B兩點,與拋物線的準線相交于C點,|BF|=3,則△BCF與△ACF的面積之比=(  ) A. B. C. D. 解析 設點A在第一象限,點B在第四象限,A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為x=my+。由y2=4x得p=2,因為|BF|=3=x2+=x2+1,所以x2=2,則y=4x2=4×2=8,所以y2=-2,由得y2-4my-4=0,由根與系數(shù)的關系,得y1y2=-4,所以y1=,由y=4x1,得x1=。過點A作AA′垂直于準線x=-1,垂足為A′,過點B作BB′垂直于準線x=-1,垂足為B′,易知△CBB′∽△CAA′,所以==。又|BB′|=|BF|=3,|AA′|=x1+=+1=,所以==。故選D。 答案 D 11

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