數(shù)學第五章 平面向量 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例 文

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1、第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例總綱目錄教材研讀1.平面向量的數(shù)量積考點突破2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)3.向量的數(shù)量積的運算律考點二平面向量數(shù)量積的應用考點二平面向量數(shù)量積的應用考點一平面向量數(shù)量積的運算4.平面向量的數(shù)量積的坐標表示考點三平面向量與三角函數(shù)的綜合問題考點三平面向量與三角函數(shù)的綜合問題1.平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積(1)向量向量a與與b的夾角的夾角:已知兩個非零向量a,b,過O點作=a,=b,則AOB=(0180)叫做向量a與b的夾角.當=90時,a與b垂直,記作ab;當=0時,a與b同向;當=180時,a與b反向.(2)a與與b的數(shù)量積的數(shù)量積已知兩個非零向量a和b

2、,它們的夾角為,則把數(shù)量|a|b|cos叫做a和bOAOB教材研讀教材研讀的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab=|a|b|cos.(3)規(guī)定規(guī)定0a=0.(4)一個向量在另一個向量方向上的投影一個向量在另一個向量方向上的投影設(shè)是a與b的夾角,則|a|cos叫做a在b的方向上的投影,|b|cos叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一個實數(shù),而不是向量.(5)ab的幾何意義的幾何意義ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積.2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,是a與e的夾角,則(1)ea=ae=|a|cos.(2)ab

3、ab=0.(3)當a與b同向時,ab=|a|b|.當a與b反向時,ab=-|a|b|.特別地,aa=|a|2.(4)cos=.(5)|ab|a|b|.| |a bab3.向量的數(shù)量積的運算律向量的數(shù)量積的運算律(1)ab=ba.(2)(a)b=(ab)=a(b)(R).(3)(a+b)c=ac+bc.4.平面向量的數(shù)量積的坐標表示平面向量的數(shù)量積的坐標表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),則aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),則|=,這就是平面內(nèi)兩點間的距離公式.(4)若a=(

4、x1,y1),b=(x2,y2),a,b為非零向量,則abx1x2+y1y2=0. 22xyAB222121()()xxyy1.(2016北京海淀二模)已知向量a=(1,2),b=(2,t),且ab=0,則|b|=()A.B.2C.2D.5525答案答案Aa=(1,2),b=(2,t)且ab=0,2+2t=0,t=-1.b=(2,-1).故|b|=.222( 1) 5A2.(2017北京西城二模)設(shè)向量a=(2,1),b=(0,-2),則與a+2b垂直的向量可以是()A.(3,2)B.(3,-2)C.(4,6)D.(4,-6)答案答案A由題意,可知a+2b=(2,-3).利用兩非零向量數(shù)量積為

5、0可推出兩向量垂直,檢驗四個選項,只有A符合題意.A3.若非零向量a,b滿足|a|=|b|,(2a+b)b=0,則a與b的夾角為()A.30B.60C.120D.150答案答案C設(shè)a與b的夾角為,(2a+b)b=0,2ab+b2=0,2|a|b|cos+b2=0,又|a|=|b|,2|a|2cos+|a|2=0,cos=-,又0180,=120.故選C.12C4.(2018北京西城高三期末)向量a,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,如果小正方形網(wǎng)格的邊長為1,那么ab=.4.(2018北京西城高三期末)向量a,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,如果小正方形網(wǎng)格的邊長為1,那么ab=.答案答案44解

6、析解析以a的起點為坐標原點,a的方向為x軸的正方向,建平面直角坐標系,則a=(2,0),b=(2,-1),ab=4.5.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1,),b=(,1),則a與b夾角的大小為.33答案答案解析cos=,a與b夾角的大小為.6| |a bab133 12 23266考點一平面向量數(shù)量積的運算考點一平面向量數(shù)量積的運算考點突破考點突破典例典例1(1)(2017北京朝陽期中)已知三角形ABC外接圓的半徑為1(O為圓心),且+=0,|=2|,則等于()A.-B.-C.D.(2)(2017北京豐臺一模)如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=CD=

7、1,P是AB的中點,則=.OBOCOAABCABC1543415434DPAB答案答案(1)A(2)-1解析解析(1)三角形ABC外接圓的半徑為1(O為圓心),且+=0,O為BC的中點,BC為圓O的直徑,故ABC是直角三角形,BAC為直角,OA=OC=1.又|=2|,|=,|=2,|=,cosC=.=-=-|cosC=-2=-.故選A.(2)如圖,以D為原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸建立平面直角OBOCOAABAB12BCAC1522222ACOCOAAC OC15415212154CABCACBCACBC152154154坐標系.由題意知D(0,0),A(2,0),B(1,1)

8、,C(0,1).P是AB的中點,P,=,=(-1,1).3 1,2 2DP3 1,2 2AB=-+=-1.DPAB3212方法技巧方法技巧(1)求兩個向量的數(shù)量積有三種方法:利用定義;利用向量的坐標運算;利用數(shù)量積的幾何意義.(2)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運算問題時,可先利用向量的加減運算或數(shù)量積的運算律化簡再運算,但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補.另外,解決此類問題時,可建立坐標系,利用向量的坐標表示求解.1-1(2016北京朝陽期中)在ABC中,已知=4,|=3,M,N分別是BC邊上的三等分點,則的值是()A.5B.C.6D.8ABACBCAMAN214C答案答案

9、C如圖,設(shè)BC的中點為O,連接AO.由=4,|=3,可得(+)(+)=(+)(-)=-=-=4,=.=(+)(+)=(+)(-)=-=-=6.ABACBCAOOBAOOCAOOBAOOB2AO2OB2AO2322AO254AMANAOOMAOONAOOMAOOM2AO2OM254212故選C.1-2(2016北京石景山一模)如圖所示,已知正方形ABCD的邊長為1,點E從D點出發(fā),按字母順序DABC沿線段DA,AB,BC運動到C點,在此過程中,的最大值是()A.0B.C.1D.-1DECD12A答案答案A建系如圖.則B(0,0),C(1,0),D(1,1),A(0,1).設(shè)E(x,y)(0 x1

10、,0y1).=(x-1,y-1),=(0,1),=y-1(0y1).當y=1時,有最大值,為0.DECDDECDDECD典例典例2(1)已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為,那么|4a-b|=()A.2B.6C.2D.12(2)(2015北京西城一模)已知平面向量a,b滿足a=(1,-1),(a+b)(a-b),那么|b|=.33考點二平面向量數(shù)量積的應用考點二平面向量數(shù)量積的應用命題角度一模的問題命題角度一模的問題答案答案(1)C(2)2解析解析(1)|4a-b|2=16a2+b2-8ab=161+4-812cos=12,|4a-b|=2.(2)(a+b)(a-b),(a+b)(a-b

11、)=0,即a2-b2=0,所以|b|=|a|=.332命題角度二垂直問題命題角度二垂直問題典例典例3(2016北京朝陽二模)已知向量a=(1,2),向量b=(2,m),若a+b與a垂直,則實數(shù)m的值為.答案答案-72-72解析解析a=(1,2),b=(2,m),a+b=(3,2+m).a+b與a垂直,(a+b)a=0.3+2(2+m)=0.m=-.72典例典例4(1)(2016課標全國,3,5分)已知向量=,=,則ABC=()A.30B.45C.60D.120(2)已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夾角為,則實數(shù)m=()A.2B.C.0D.-(3)(2017北京朝陽二模)已知

12、平面向量a,b滿足(a+b)(2a-b)=-4,且|a|=2,|b|=4,則a與b的夾角等于.BA13,22BC3 1,2236333命題角度三夾角問題命題角度三夾角問題答案答案(1)A(2)B(3)3解析解析(1)cosABC=,所以ABC=30,故選A.(2)a=(1,),b=(3,m),|a|=2,|b|=,ab=3+m,又a,b的夾角為,=cos,即=,+m=,解得m=.(3)(a+b)(2a-b)=2|a|2+ab-|b|2=-4,| |BA BCBABC32329m36| |a bab62332 9mm32329m3則ab=-4-2|a|2+|b|2=4.設(shè)a與b的夾角為,0,co

13、s=.=.| |a bab123方法技巧方法技巧平面向量數(shù)量積求解問題的策略(1)求兩向量的夾角:cos=,要注意0,.(2)兩向量垂直的應用:abab=0|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模:利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有a2=aa=|a|2或|a|=.|ab|=.若a=(x,y),則|a|=.| |a baba a2()ab222aa bb 22xy2-1(2015北京西城期末)在平面直角坐標系xOy中,點A(1,3),B(-2,k),若向量,則實數(shù)k=()A.4B.3C.2D.1OAAB2-1(2015北京西城期末)在平面直角坐標系xOy中,點A(1,3),B(-2,k),若向量

14、,則實數(shù)k=()A.4B.3C.2D.1OAAB解析解析A易知=(1,3),=(-3,k-3),=0,即1(-3)+3(k-3)=0,解得k=4.故選A.OAABOAABOAABA2-2(2015北京朝陽一模)已知和是平面內(nèi)的兩個單位向量,它們的夾角為60,則2-與的夾角是()A.30B.60C.90D.120ABACABACCA答案答案C設(shè)2-與的夾角為,則cos=,因為與是平面內(nèi)的兩個單位向量,所以|=1,|=1,則(2-)=-(2-)=-2+=-2|cos60+|2=0,所以cos=0,又0180,所以=90,故選C.ABACCA(2)|2| |ABACCAABACCAABACABACA

15、BACCAABACACABAC2ACABACACC2-3(2015北京海淀一模)已知單位向量a與向量b=(1,-1)的夾角為,則|a-b|=.4答案答案1解析解析b=(1,-1),|b|=.又|a|=1,a與b的夾角為,|a-b|=1.242()ab222aa bb 22212 12( 2)2 1典例典例5(2015北京石景山期末)已知平面向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),xR,函數(shù)f(x)=a(b-c).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若f=,求sin的值.222考點三平面向量與三角函數(shù)的綜合問題考點三平面向量與三角函數(shù)的

16、綜合問題解析解析(1)因為b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),所以b-c=(sinx+cosx,sinx-cosx),又a=(sinx,cosx),所以f(x)=a(b-c)=sinx(sinx+cosx)+cosx(sinx-cosx),則f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x=sin.則當2k+2x-2k+,kZ,即k+xk+,kZ時,函數(shù)f(x)為減函數(shù),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是,kZ.224x2432387837,88kk(2)由(1)知f(x)=sin,因為f=,所以sin=,sin=.因為sin2+cos2=1

17、,所以cos=.sin=sin=sincos+cossin.所以當cos=時,sin=+=;當cos=-時,224x22224224124443244444443212223222624432sin=+=.12223222264方法技巧方法技巧平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出的向量坐標中含有三角函數(shù)的形式時,先運用向量共線或垂直或等式成立等,得到三角函數(shù)的關(guān)系式,然后求解.(2)當給出用三角函數(shù)表示的向量坐標,要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式時,其解題思路是經(jīng)過向量的運算,利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性,求得值域等.3-1已知向量a=,b=,且x.(1)求ab及|

18、a+b|;(2)若f(x)=ab-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.33cos,sin22xxcos, sin22xx,3 4 解析解析(1)ab=coscos-sinsin=cos2x.a+b=,|a+b|=2|cosx|.x,cosx0,|a+b|=2cosx.(2)f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2-.32x2x32x2x33coscos,sinsin2222xxxx2233coscossinsin2222xxxx22cos2x,3 4 21cos2x32x,cosx1,當cosx=時,f(x)取得最小值-;當cosx=1時,f(x)取得最大值-1.,3 4 121232