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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 向量加法運(yùn)算及其幾何意義教案 理
教材分析
引入向量后,考查向量的運(yùn)算及運(yùn)算律,是數(shù)學(xué)研究中的基本的問題.教材中向量的加法運(yùn)算是以位移的合成、力的合成等物理模型為背景引入的,在此基礎(chǔ)上抽象概括了向量加法的意義,總結(jié)了向量加法的三角形法則、平行四邊形法則.向量加法的運(yùn)算律,教材是通過“探究”和構(gòu)造圖形引導(dǎo)學(xué)生類比數(shù)的運(yùn)算律,驗(yàn)證向量的交換律和結(jié)合律.例2是一道實(shí)際問題,主要是要讓學(xué)生體會向量加法的實(shí)際意義.這節(jié)課的重點(diǎn)是向量加法運(yùn)算(三角形法則、平行四邊形法則),向量的運(yùn)算律.難點(diǎn)是對向量加法意義的理解和認(rèn)識.
教學(xué)目標(biāo)
1. 通過物理學(xué)中的位移合成、力的合成等
2、實(shí)例,認(rèn)識理解向量加法的意義,體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程.
2. 理解和掌握向量加法的運(yùn)算,熟練運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則作向量的和向量.
3. 理解和掌握向量加法的運(yùn)算律,能熟練地運(yùn)用它們進(jìn)行向量運(yùn)算.
4. 通過由實(shí)例到概念,由具體到抽象,培養(yǎng)學(xué)生的探究能力,使學(xué)生數(shù)學(xué)地思考問題,數(shù)學(xué)地解決問題.
任務(wù)分析
這節(jié)的主要內(nèi)容是向量加法的運(yùn)算和向量加法的應(yīng)用.對向量加法運(yùn)算,學(xué)生可能不明白向量可以相加的道理,產(chǎn)生疑惑:向量既有大小、又有方向,難道可以相加嗎?為此,在案例設(shè)計中,首先回顧物理學(xué)中位移、力的合成,讓學(xué)生體驗(yàn)向量加法的實(shí)際含義,明確向量的加法就是物理學(xué)中的矢量合成.在
3、此基礎(chǔ)上,歸納總結(jié)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.向量加法的運(yùn)算律發(fā)現(xiàn)并不困難,主要任務(wù)是讓學(xué)生對向量進(jìn)行探究,構(gòu)造圖形進(jìn)行驗(yàn)證.關(guān)于例2的教學(xué),主要是幫助學(xué)生正確理解題意,把問題轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算.
教學(xué)設(shè)計
一、問題情境
1. 如圖,某物體從A點(diǎn)經(jīng)B點(diǎn)到C點(diǎn),兩次位移,的結(jié)果,與A點(diǎn)直接到C點(diǎn)的位移結(jié)果相同.
2. 如圖,表示橡皮筋在兩個力F1,F(xiàn)2的作用下,沿GE的方向伸長了EO,與力F的作用結(jié)果相同.
位移與合成為等效,力F與分力F1,F(xiàn)2的共同作用等效,這時我們可以認(rèn)為:,F(xiàn)分別是位移與、分力F1與F2某種運(yùn)算的結(jié)果.?dāng)?shù)的加法啟發(fā)我們,位移、力的合成可看作數(shù)學(xué)
4、上的向量加法.
2. 在師生交流討論基礎(chǔ)上,歸納并抽象概括出向量加法的定義
已知非零向量a,b(如圖37-3),在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作=a,=b,再作向量,則向量叫a與b的和,記作a+b,即a+b=+=.
求兩個向量和的運(yùn)算,叫作向量的加法.這種求向量和的作圖法則,稱為向量求和的三角形法則,我們規(guī)定0+a=a+0=a.
3. 提出問題,組織學(xué)生討論
(1)根據(jù)力的合成的平行四邊形法則,你能定義兩個向量的和嗎?
(2)當(dāng)a與b平行時,如何作出a+b?
強(qiáng)調(diào):向量的和仍是一個向量.用三角形法則求和時,作圖要求兩向量首尾相連;而用平行四邊形法則求和時,作圖要求兩向量的起點(diǎn)平移在一起
5、.
(3)實(shí)數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系,類似地,向量的加法是否也有運(yùn)算律呢?首先,讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)加法運(yùn)算律,類比向量加法運(yùn)算律.向量加法的交換律由平行四邊形法則容易驗(yàn)證.向量加法的結(jié)合律的驗(yàn)證則比較困難,教學(xué)時,應(yīng)放手讓學(xué)生進(jìn)行充分探索.最后通過下面的兩個圖形驗(yàn)證加法結(jié)合律.
三、解釋應(yīng)用
[例 題]
1. 已知非零向量a,b,就(1)a與b不共線,(2)a與b共線,分別求作向量a+b.
注:要求寫出作法,規(guī)范解題格式.
2. 長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪船進(jìn)行運(yùn)輸.一艘輪船從長江南岸A點(diǎn)出發(fā),以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度為向東2km/h.
6、
(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度.
(2)求船實(shí)際航行的速度的大小與方向(速度的大小保留2個有效數(shù)字,方向用與江水速度間的夾角表示,精確到度).
[練 習(xí)]
1. 如圖,已知a,b,畫圖表示a+b.
2. 已知兩個力F1,F(xiàn)2的夾角是直角,合力F與F1的夾角是60°,|F|=10N,求F1和F2的大小.
3. 在△ABC中,求證.
4. 在n邊形A1A2…An中,計算
四、拓展延伸
1. 對于任意向量a,b,探索|a+b|與|a|+|b|的大小,并指出取“=”號的條件.
2. 在求作兩個向量和時,你可能選擇不同的始點(diǎn)求和.你有沒有想過,選擇不同的始點(diǎn)
7、作出的向量和都相等嗎?你可能認(rèn)為,這是“顯然”對的,你能證明這個問題嗎?
點(diǎn) 評
向量的加法運(yùn)算是向量的基本運(yùn)算.為了正確認(rèn)識理解向量加法的運(yùn)算,案例首先回顧了的物理學(xué)中的位移、力的合成.在此基礎(chǔ)上,使學(xué)生認(rèn)識到:物理學(xué)中的矢量合成可抽象為數(shù)學(xué)中的向量加法運(yùn)算,進(jìn)而總結(jié)出向量加法的三角形法則,平行四邊形法則,這樣設(shè)計自然,流暢,全面.向量加法的運(yùn)算律的教學(xué),是引導(dǎo)學(xué)生通過類比方法發(fā)現(xiàn)的,并讓學(xué)生自主探索,構(gòu)造圖形驗(yàn)證,這樣不僅體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位,同時還能培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的探究能力.例題與練習(xí)、“拓展延伸”的設(shè)計,有層次,有力度,深入淺出,能較好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.這是一篇優(yōu)秀的案例設(shè)計.