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1、2022年高三數(shù)學總復習 一元二次不等式教案 理
教材分析
一元二次不等式的解法是高中數(shù)學的一個重要內容,它是進一步學習不等式的基礎,同時是解決有關實際問題的重要方法之一.這節(jié)課通過具體例子,借助二次函數(shù)的圖像求解不等式,進而歸納、總結出一元二次不等式,一元二次方程與二次函數(shù)的關系,得到利用二次函數(shù)圖像求解一元二次不等式的方法.最后,說明一元二次不等式可以轉化為一元一次不等式組,由此又引出了簡單分式不等式的解法.這節(jié)內容的重點是一元二次不等式的解法,難點是弄清一元二次不等式、一元二次方程與二次函數(shù)的關系.
教學目標
1. 讓學生經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程.
2.
2、通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系,熟練掌握應用二次函數(shù)圖像解一元二次不等式的方法.
3. 通過一元二次不等式轉化為一元一次不等式組的解法,讓學生體會等價轉化的數(shù)學思想,培養(yǎng)學生的邏輯推理能力.
任務分析
這節(jié)課的主要任務是應用二次函數(shù)的圖像解一元二次不等式.首先通過實例抽象出一元二次不等式模型,讓學生感受到現(xiàn)實生活中存在大量的一元二次不等式,從而得出本節(jié)的主要任務.然后通過解決一些具體的一元二次不等式,讓學生體會和總結出借助二次函數(shù)的圖像解一元二次不等式的方法.最后抽象和概括出一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的關系.學習方法是講練結合,引導學生從具體到一般地總結出一元二
3、次不等式的圖像解法.
教學設計
一、問題情境
1. 出示問題
(1)某產品的總成本c(萬元)與產量x(臺)之間滿足關系:c=3000+20x-0.1x2,其中x∈(0,240),x∈N,若每臺產品售價25萬元,試求生產者不虧本時的最低產量x.
引導學生建立一元二次不等式模型:
由題意,得銷售收入為25x(萬元),
要使生產者不虧本,必須使
3000+20x-0.1x2≤25x,即x2+50x-30000≥0.
(2)國家為了加強對某特種商品生產的宏觀管理,實行征收附加稅政策.現(xiàn)知每件產品70元,不加收附加稅時,每年大約產銷100萬件,若政府征收附加稅,每銷售100元要征稅R
4、元(即稅率為R%),則每年的產銷量要減少10R萬件.要使每年在此項經營中所收取的附加稅稅金不少于112萬元,問R應怎樣確定.
2. 引導學生建立一元二次不等式模型
設產銷量為每年x(萬件),則銷售收入為每年70x(萬元),從中征收的稅金為70x·R%(萬元),并且x=100-10R.
由題意,知70(100-10R)·R%≥112,
即R2-10R+16≤0.
如何求解以上兩個一元二次不等式呢?
二、建立模型
1. 對于不等式x2+50x-30000≥0,可以借助二次函數(shù)的圖像來解決
設二次函數(shù)f(x)=x2+50x-30000,拋物線開口向上,與x軸交點的橫坐標是相應二次方程
5、x2+50x-30000=0的解.此時x1=-200,x2=150.如圖,所謂解不等式x2-50x-30000≥0,就相當于求使函數(shù)f(x)≥0的x的集合.考慮圖像在x軸及其上方的部分,即f(x)≥0,相應的x的集合{x|x≤-200或x≥150}就是不等式的解集.結合實際,可知生產者不虧本時的最低產量為150臺.
運用完全類似的方法,可以求解不等式R2-10R+16≤0的解集為{R|2≤R≤8}.
2. 教師明晰
設a>0,解一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0),
首先,設f(x)=as2+bx+c.
(1)計算Δ=b2-4ac,判斷拋物線y=f(x)與x軸交點的情況.
6、
(2)若Δ≥0,解一元二次方程ax2+bx+c=0,得兩根為x1,x2,(x1≤x2).
(3)結合(1)(2)畫出y=f(x)的圖像.
(4)解不等式ax2+bx+c>0,就相當于使f(x)>0.考慮圖像在x軸上方的部分,即f(x)>0,相應的x的集合就是ax2+bx+c>0的解集.
解不等式ax2+bx+c<0,就相當于使f(x)<0.考慮圖像在x軸下方的部分,即f(x)<0,相應的x的集合就是ax2+bx+c<0的解集.
根據(jù)上述內容,結合圖像寫出不等式的解集.
思考:對于一元二次不等式的二次項系數(shù)a,如果a<0,上述結論如何?
三、解釋應用
[例 題]
1. 解不
7、等式2x2-3x-2>0.
解:∵Δ=(-3)2-4×2×(-2)=25>0,
方程2x2-3x-2=0的兩根為x1=-,x2=2,
∴不等式2x2-3x-2>0的解集為{x|x<-或x>2}.
2. 解不等式-x2+2x-3≥0.
3. 已知不等式mx2-(m-2)x+m>0的解集為R,求m的取值范圍.
解:(1)當m=0時,原不等式可化為2x>0,解集不是R.
(2)當m<0時,拋物線y=mx2-(m-2)x+m開口向下,解集也不是R.
(3)當m>0時,須滿足
[練 習]
1. 解下列不等式.
(1)-3x2+6x>2. ?。?)4x2-4x-1>0.
8、
(3)x2-3x+5>0. ?。?)-6x2-x+2≤0.
4. 以每秒a(m)的速度從地面垂直向上發(fā)射子彈,t(s)后,子彈上升的高度x可由x=ab-4.9t2確定.已知發(fā)射后5s,子彈上升的高度為245m,問:子彈保持在245m以上高度有多少秒?
四、拓展延伸
一元二次不等式(ax+b)(cx+d)>0(<0)也可以根據(jù)實數(shù)運算的符號法則求解,如解不等式(x+4)(x-1)<0.
注意到不等式左邊是兩個x的一次式的積,右邊是0,那么它可以根據(jù)積的符號法則化為一次不等式組:
點 評
這篇案例設計完整,思想清晰.案例首先從實際問題情境引入,關注不等式從現(xiàn)實問題中的抽象過程,進而利用從已有知識,即二次方程的根的情況及一元二次函數(shù)的圖像與一元二次不等式的解的關系歸納出一般結論,體現(xiàn)了用數(shù)形結合處理問題的思想方法,培養(yǎng)了學生的類比推理能力.例、習題的變形培養(yǎng)了學生靈活運用知識,處理問題的能力,既鞏固了所學新知識,又培養(yǎng)了學生靈活解題的能力.“拓展延伸”開發(fā)了學生的內在潛力,培養(yǎng)了學生的等價轉化意識,為將來處理較復雜問題提供了行之有效的方法.