2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 點(diǎn)到直線的距離教案 理

上傳人:xt****7 文檔編號:105105444 上傳時間:2022-06-11 格式:DOC 頁數(shù):8 大?。?6.52KB
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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 點(diǎn)到直線的距離教案 理 教材分析 點(diǎn)到直線的距離是解析幾何的重要內(nèi)容之一,它的應(yīng)用十分廣泛.點(diǎn)到直線的距離是指由點(diǎn)向直線引垂線的垂線段的長.我們知道,求點(diǎn)到點(diǎn)的距離,有“工具”———兩點(diǎn)間的距離公式可用,同樣有必要創(chuàng)造出一套“工具”來方便地解決點(diǎn)到直線的距離問題,也就是說:已知點(diǎn)P(x1,y1)和直線l:Ax+By+C=0,(A,B不全為0),目標(biāo)是設(shè)法用已知的量x1,y1,A,B,C把點(diǎn)P到l的距離表示出來,當(dāng)作公式用.教材上公式的推導(dǎo)運(yùn)用了兩點(diǎn)間的距離公式,具體做法是作直線m過點(diǎn)P與l垂直,設(shè)垂足為Po(xo,yo),Po滿足直線m的方程,也滿足直線l的方程,

2、將Po的坐標(biāo)分別代入直線m和直線l的方程,通過恒等變形利用兩點(diǎn)間的距離公式,推出點(diǎn)到直線的距離公式.這種方法思路清晰,學(xué)生易于接受,但恒等變形較抽象,學(xué)生難于掌握,故教學(xué)中應(yīng)注意啟發(fā)學(xué)生怎樣想到這樣變形.這樣既可以活躍學(xué)生的思維,又可以鍛煉其發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的能力.公式的推導(dǎo)方法還有很多,對學(xué)有余力的同學(xué)可加以啟發(fā),展開討論,以培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力. 這節(jié)課的重點(diǎn)是理解和掌握點(diǎn)到直線的距離公式,并能熟練地應(yīng)用公式求點(diǎn)到直線的距離,難點(diǎn)是點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo). 教學(xué)目標(biāo) 1. 通過探索點(diǎn)到直線距離公式的思維過程,培養(yǎng)學(xué)生探索與研究問題能力. 2. 理解和掌握點(diǎn)到直線的距離公

3、式,體會知識發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用的過程,數(shù)形結(jié)合、化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力. 任務(wù)分析 這節(jié)課是在學(xué)習(xí)了“兩點(diǎn)間的距離公式”、“兩條直線的位置關(guān)系”的基礎(chǔ)上引入的,通過復(fù)習(xí)兩直線垂直、兩直線相交及兩點(diǎn)間的距離公式,學(xué)生容易想到把點(diǎn)到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問題.為了利用兩點(diǎn)間的距離公式,須要求垂足的坐標(biāo).若利用垂線與已知直線相交解出垂足的坐標(biāo),想法自然,但求解較繁,為了簡化解題過程,自然要想其他方法,教材采用了設(shè)而不求,整體代換來解決問題,簡單明了,但恒等變形較難,因此,通過分析兩點(diǎn)間的距離公式與點(diǎn)到直線距離的聯(lián)系和區(qū)別,找到恒等變形的思路

4、是解決問題的關(guān)鍵.本課通過觀察、分析掌握兩點(diǎn)間距離公式的特點(diǎn),總結(jié)應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式的步驟;通過例題和練習(xí)使學(xué)生掌握并能應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式解決有關(guān)問題;通過探索和研究有關(guān)問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問題情境 1. 某供電局計(jì)劃年底解決本地區(qū)一個村莊的用電問題,經(jīng)過測量,若按部門內(nèi)部設(shè)計(jì)好的坐標(biāo)圖(以供電局為原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸的正半軸,正北方向?yàn)椋S的正半軸,長度單位為km),則這個村莊的坐標(biāo)是(15,20),它附近只有一條線路通過,其方程為3x-4y-10=0.問:要完成任務(wù),至少需要多長的電線? 這實(shí)際上是一個求點(diǎn)到直線的距離問題,那么什么是點(diǎn)到直線的距離,如何求村

5、莊到線路的距離呢? 2. 在學(xué)生思考討論的基礎(chǔ)上,教師收集學(xué)生各種的求法,得常見求法如下: (1)設(shè)過點(diǎn)P(15,20)與l:3x-4y-10=0垂直的直線為m,易求m的方程為4x+3y-120=0.由 解得即m與l的交點(diǎn) 由兩點(diǎn)間的距離公式,得 故要完成任務(wù),至少需要9km長的電線. (2)設(shè)直線l:3x-4y-10=0與x軸的交點(diǎn)為Q,則Q(,0).在直線l上任取一點(diǎn)M(0,-),易讓向量=(,)與向量n=(3,-4)垂直. 設(shè)向量與向量n的夾角為θ,點(diǎn)P到直線l的距離為d,由向量的數(shù)量積的定義易知 (3)設(shè)過點(diǎn)P(15,20)與l:3x-4y-10=0垂直的直

6、線為m,易求m的方程為4(x-15)+3(y-20)=0. 設(shè)垂足為Po(xo,yo),則4(xo-15)+3(yo-20)=0,                     ① 又因?yàn)辄c(diǎn)Po在l上,所以3xo-4yo-10=0,即3xo-4yo=10, 而3×15-4×20-10=3×15-4×20-3xo+4yo=-3(xo-15)+4(yo-20), 即3(xo-15)-4(yo-20)=45.                                ② 把等式①和等式②兩邊相加,得 25[(xo-15)2+(yo-20)2]=452, ∴(xo-15)2+(yo-20)

7、2=, 3. 教師展現(xiàn)學(xué)生們的求法,師生共同點(diǎn)評各種求法,得出:求垂線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo),再用兩點(diǎn)間的距離公式使問題得解,想法雖自然,但計(jì)算量較大;不求垂足的坐標(biāo),設(shè)出垂足的坐標(biāo)代入直線方程,進(jìn)而通過等式變形,利用兩點(diǎn)間的距離公式求得結(jié)果,想法既巧妙,又簡單明了. 二、建立模型 設(shè)坐標(biāo)平面上(如圖24-1),有點(diǎn)P(x1,y1)和直線l:Ax+By+C=0(A,B不全為0). 我們來尋求點(diǎn)到直線l距離的算法. 作直線m通過點(diǎn)P(x1,y1),并且與直線l垂直,設(shè)垂足為P0(x0,y0).容易求得直線m的方程為 B(x-x1)-A(y-y1)=0. 由此得B(x0-x1)-A

8、(y0-y1)=0.① 由點(diǎn)P0在直線l上,可知Ax0+By0+C=0, 即C=-Ax0-By0. 所以Ax1+By1+C=Ax1+By1-Ax0-By0, 即A(x1-x0)+B(y1-y0)=Ax1+By1+C.② 把等式①和②兩邊平方后相加,整理可得 (A2+B2)[(x1-x0)2+(y1-y0)2]=(Ax1+By1+C)2, 即(x1-x0)2+(y1-y0)2= 容易看出,等式左邊即為點(diǎn)P(x1,y1)到直線l距離的平方.由此我們可以得到點(diǎn)P(x1,y1)到直線l的距離d的計(jì)算公式: 歸納求點(diǎn)P(x1,y1)到直線l:Ax+By+C=0的距離的計(jì)算步驟如下:

9、 (1)給出點(diǎn)的坐標(biāo)x1和y1賦值. (2)給A,B,C賦值. (3)計(jì)算 注意:(1)在求點(diǎn)到直線的距離時,直線方程要化為一般式. (2)當(dāng)直線與x軸或y軸平行時,公式也成立,但此時求距離一般不用公式. 三、解釋應(yīng)用 [例 題] 1. 求點(diǎn)P(-1,2)到下列直線的距離: l1:2x+y=5,   l2:3x=2. 注意:規(guī)范解題格式. 2. 求兩平行直線l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,(C1≠C2)之間的距離. 分析:求兩條平行線間的距離,就是在其中一條直線上任取一點(diǎn),求該點(diǎn)到另一條直線的距離. 解:在l1上任取一點(diǎn)P(x1,y1),則Ax

10、1+By=-C1,點(diǎn)P到l2的距離d= 3. 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,證明:等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高. 解:以等腰三角形底邊所在的直線為x軸,底邊上的高所在的直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系(如圖24-2). 不妨設(shè)底邊|AB|=2a,高|OC|=b,則直線AC: 即bx-ay+ab=0; 直線BC:,即bx+ay-ab=0, ∴點(diǎn)B(a,0). 在線段AB上任取一點(diǎn)D(m,0), 則-a≤m≤a. ∴d1+d2=,即等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高. [練 習(xí)] 1. 求下列點(diǎn)到直線的距離. (1)0(0,0),l1:3

11、x+4y-5=0. (2)A(1,0),l2:x+y-=0. (3)B(1,2),l3:3x+y=0. (4)C(-2,3),l4:y-7=0. 2. 求兩條平行直線2x+3y-8=0和2x+3y+18=0之間的距離. 3. (1)求過點(diǎn)A(-1,2),且與原點(diǎn)的距離為的直線方程. (2)若點(diǎn)P(x,y)在直線x+y-4=0上,O為原點(diǎn),求OP的最小值. (3)若△ABC的三頂點(diǎn)分別為A(7,8),B(0,4),C(2,-4),求△ABC的面積. (4)求點(diǎn)P(0,1)關(guān)于直線x-2y+1=0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo). (5)求直線2x+11y+16=0關(guān)于點(diǎn)P(0,1)對稱的直線方程

12、. 四、拓展延伸 1. 點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用非常廣泛,你能舉例說明它在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用嗎? 2. 點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)方法有很多,對學(xué)有余力的同學(xué)可探索其他推導(dǎo)方法,下面介紹兩種常見的推導(dǎo)方法. (1)如圖,已知點(diǎn)P0(x0,y0),直線l:Ax+By+C=0,求點(diǎn)P0到直線l的距離. 不妨設(shè)A≠0,B≠0,這時l和x軸、y軸都相交.過點(diǎn)P0作直線l的垂線,交l于Q.令|P0Q|=d,過P0作x軸的平行線交l于R(x1,y0),作y軸的平行線交l于S(x0,y2). 由Ax1+By0+C=0,Ax0+By2+C=0得 易證A=0或B=0,公式也成立. (2)點(diǎn)

13、到直線的距離公式也可用向量的知識求得,此法更能體現(xiàn)出代數(shù)與幾何的聯(lián)系,比其他方法更簡單,直觀,易懂.求法如下: ①如圖24-4,證明向量n=(A,B)與直線l垂直. 不妨設(shè)A≠0,直線l與x軸的交點(diǎn)是Q(-,0). 如果P1(x1,y1)是直線l上不同于Q的點(diǎn),則Ax1+By1+C=0. ∴A(x1+)+B(y1-0)=0, 即(A,B)·(x1+,y1-0)=0, ∴向量n=(A,B),與向量=(x1+,y1-0)垂直,即向量n與直線l垂直. ②求點(diǎn)P0到直線l的距離d. 由數(shù)量積的定義,如果向量與向量n的夾角為θ,那么 易證當(dāng)A=0或B=0時,公式也成立. 點(diǎn) 評 這節(jié)課首先通過實(shí)例闡述了點(diǎn)到直線距離的產(chǎn)生背景,并通過學(xué)生思考討論,歸納和概括出了求點(diǎn)到直線的距離的常用方法,然后按照由特殊到一般的思路,找出了推導(dǎo)點(diǎn)到直線距離公式的方法.這種安排充分體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)理念,符合新課程標(biāo)準(zhǔn)精神.例題與練習(xí)的設(shè)計(jì)由淺入深,完整,全面.解釋應(yīng)用深有新意,有深度.拓展延伸活躍了學(xué)生思維,培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的能力.總之,這篇案例較好地體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)教育發(fā)展的一絲新理念.

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