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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 冪函數(shù)教案 理
教材分析
冪函數(shù)是基本初等函數(shù)之一,是在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念與函數(shù)性質(zhì)之后,全面掌握有理指數(shù)冪和根式的基礎(chǔ)上來研究的一種特殊函數(shù),是對函數(shù)概念及性質(zhì)的應(yīng)用.從教材的整體安排看,學(xué)習(xí)了解冪函數(shù)是為了讓學(xué)生進一步獲得比較系統(tǒng)的函數(shù)知識和研究函數(shù)的方法,為今后學(xué)習(xí)三角函數(shù)等其他函數(shù)打下良好的基礎(chǔ).在初中曾經(jīng)研究過y=x,y=x2,y=x-1三種冪函數(shù),這節(jié)內(nèi)容,是對初中有關(guān)內(nèi)容的進一步的概括、歸納與發(fā)展,是與冪有關(guān)知識的高度升華.知識的安排環(huán)環(huán)緊扣,非常緊湊,充分體現(xiàn)了知識的發(fā)生、發(fā)展過程.對冪函數(shù)進行系統(tǒng)的理論研究,在研究過程中得出相應(yīng)的結(jié)論固然重要
2、,但更為重要的是,要讓學(xué)生了解系統(tǒng)研究一類函數(shù)的方法.這節(jié)課要特別讓學(xué)生去體會研究的方法,以便能將該方法遷移到對其他函數(shù)的研究.
教學(xué)目標(biāo)
1. 通過對冪函數(shù)概念的學(xué)習(xí)以及對冪函數(shù)圖像和性質(zhì)的歸納與概括,讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)概念的形成過程,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.
2. 使學(xué)生理解并掌握冪函數(shù)的圖像與性質(zhì),并能初步運用所學(xué)知識解決有關(guān)問題,培養(yǎng)學(xué)生的靈活思維能力.
任務(wù)分析
學(xué)生對抽象的冪函數(shù)及其圖像缺乏感性認(rèn)識,不能夠在理解的基礎(chǔ)上來運用冪函數(shù)的性質(zhì).為此,在教學(xué)過程中讓學(xué)生自己去感受冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)是這一堂課的突破口.因此,這節(jié)課的難點是冪函數(shù)圖像和性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程,教學(xué)重點是冪函數(shù)的
3、性質(zhì)及運用.首先,從學(xué)生已經(jīng)掌握的最簡單的冪函數(shù)y=x,y=x2和y=x-1的知識出發(fā),利用實例,由師生共同歸納、總結(jié)出冪函數(shù)的定義,認(rèn)清冪函數(shù)的特點,深刻理解其定義域.其次,舉出幾個簡單的冪函數(shù)引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)研究其定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、是否過公共定點這幾個性質(zhì),讓學(xué)生自己去探究,把主動權(quán)交給學(xué)生.然后,再由學(xué)生自己結(jié)合性質(zhì)去畫冪函數(shù)的圖像,讓學(xué)生在獲得一定的感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上,通過歸納、比較上升為理性認(rèn)識,從而形成對概念與性質(zhì)的完整認(rèn)識.最后通過例題3與練習(xí),讓學(xué)生利用圖像與性質(zhì),比較兩個數(shù)的大小,從而提高學(xué)生獲取知識的能力.
教學(xué)設(shè)計
一、問題情景
下列問題中的函數(shù)各有什么
4、共同特征?
(1)如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w(kg),那么她應(yīng)支付p=w元.這里p是w的函數(shù).
(2)如果正方形的邊長為a,那么正方形的面積為S=a2.這里S是a的函數(shù).
(3)如果立方體的邊長為a,那么立方體的體積為V=a3.這里V是a的函數(shù).
(4)如果一個正方形場地的面積為S,那么這個正方形的邊長為a=.這里a是S的函數(shù).
(5)如果某人t(s)內(nèi)騎車行進了1km,那么他騎車的平均速度為v=t-1(km/s).這里v是t的函數(shù).
由學(xué)生討論,總結(jié),即可得出:p=w,s=a2,a=,v=t-1都是自變量的若干次冪的形式.
教師指出:我們把這樣的都是自變量的若干次冪的形式
5、的函數(shù)稱為冪函數(shù).
二、建立模型
定義:一般地,函數(shù)y=xa叫作冪函數(shù),其中x是自變量,a是實常數(shù).
教師指出:由于無理指數(shù)冪的意義我們還沒學(xué)到,因此目前只討論a是有理數(shù)的情況.
思考討論:在冪函數(shù)y=xn中,當(dāng)n=0時,其表達(dá)式怎樣?定義域、值域、圖像如何?
教師指出:此時y=x0=1;定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),特別強調(diào),當(dāng)x為任何非零實數(shù)時,函數(shù)的值均為1,圖像是從點(0,1)出發(fā),平行于x軸的兩條射線,但點(0,1)要除外.
三、解釋應(yīng)用
[例題一]
1. 求下列函數(shù)的定義域.
解:(1)R.?。?)R. (3){x|x≥0}.?。?){x|x∈R且x≠0
6、).(5){x|x>0}.
2. 求下列函數(shù)的定義域,并判斷函數(shù)的奇偶性.
解:(1){x|x∈R且x≠0)},偶函數(shù).(2)R,非奇非偶函數(shù).(3)R,奇函數(shù).(4){x|x>0},非奇非偶函數(shù).
[問題探究]
1. 對于冪函數(shù)y=xa,討論當(dāng)a=1,2,3,,-1時的函數(shù)性質(zhì).
表13-1
以上問題給學(xué)生留出充分時間去探究,教師引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)解析式出發(fā)來研究函數(shù)性質(zhì).
2. 在同一坐標(biāo)系中,畫出y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的圖像,并歸納出它們具有的共同性質(zhì).
教師講評:冪函數(shù)的性質(zhì).
(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義,并且圖像都過點(1,
7、1).
(2)如果a>0,則冪函數(shù)的圖像通過原點,并在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù).
(3)如果a<0,則冪函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù),在第一象限內(nèi),當(dāng)x從右邊趨向于原點時,圖像在y軸右方無限地趨近y軸;當(dāng)x趨向于+∞時,圖像在x軸上方無限地趨近x軸.
思考討論:(1)在冪函數(shù)y=xa中,當(dāng)a是正偶數(shù)時,這一類函數(shù)有哪種重要性質(zhì)?
(2)在冪函數(shù)y=xa中,當(dāng)a是正奇數(shù)時,這一類函數(shù)有哪種重要性質(zhì)?
教師講評:(1)在冪函數(shù)y=xa中,當(dāng)a是正偶數(shù)時,函數(shù)都是偶函數(shù),在第一象限內(nèi)是增函數(shù).
(2)在冪函數(shù)y=xa中,當(dāng)a是正奇數(shù)時,函數(shù)是奇函數(shù),在第一象限內(nèi)是增函數(shù).
[例題二]
8、
比較下列各題中兩個值的大?。?
解:(1)∵冪函數(shù)y=x1.5是增函數(shù),又0.7>0.6,∴0.71.5>0.61.5.
(2)∵冪函數(shù)y=是減函數(shù),又2.2>1.8,∴
注意:由于學(xué)生對冪函數(shù)還不是很熟悉,所以在講評中要刻意體現(xiàn)出冪函數(shù)y=x1.5與y=的圖像的畫法,即再一次讓學(xué)生體會根據(jù)解析式來畫圖像解題這一基本思路.
[練 習(xí)]
比較下列各題中兩個值的大?。?
四、拓展延伸
1. 如果把函數(shù)圖像向上凸的函數(shù)稱為凸函數(shù),把函數(shù)圖像向下凸的函數(shù)稱為凹函數(shù),對于冪函數(shù)y=xa,x∈[0,+∞),當(dāng)a>0且a≠1時,研究其凸凹性.
2. 研究冪指數(shù)與冪函數(shù)奇偶性的關(guān)系.
9、
3. 研究冪指數(shù)與冪函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.
(以上問題的探究可以借助計算機來完成)
點 評
這篇案例的突出特點是,緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo),遵循直觀式、啟發(fā)式原則而展開.在這節(jié)課中,教師放手讓學(xué)生去探索與研究,并在一旁適時地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)幾個實例函數(shù)的公共特點歸納、總結(jié)冪函數(shù)的定義,對幾個特殊冪函數(shù)的性質(zhì)先進行初步探索,再根據(jù)研究的結(jié)果結(jié)合描點作圖畫出冪函數(shù)的圖像,讓學(xué)生觀察和分析所作的圖像,歸納得出圖像特征,并由圖像特征得到相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì),讓學(xué)生充分體會系統(tǒng)研究函數(shù)的方法.整個教學(xué)過程的絕大部分時間都給了學(xué)生,讓學(xué)生動腦動手.通過對同類舊知識的回憶,充分引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合,找出與新知識的連接點,并在對照、類比分析中找出規(guī)律.這些均提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自學(xué)能力,培養(yǎng)了他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新思維習(xí)慣.最后“拓展延伸”的設(shè)計又把學(xué)生的思維推向了更廣闊的空間.