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1、2022年高一數(shù)學(xué) 函數(shù)的應(yīng)用舉例 第八課時(shí) 第二章
●課 題
§2.9.1 函數(shù)的應(yīng)用舉例（一）
●教學(xué)目標(biāo)
（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)
1.數(shù)學(xué)模型.
2.數(shù)學(xué)建模.
3.數(shù)學(xué)應(yīng)用題的能力要求.
4.解答應(yīng)用題的基本步驟.
（二）能力訓(xùn)練要求
1.了解數(shù)學(xué)建模.
2.掌握根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式.
3.培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.
4.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).
（三）德育滲透目標(biāo)
1.認(rèn)識(shí)事物之間的相互聯(lián)系.
2.了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用.
●教學(xué)重點(diǎn)
根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式
●教學(xué)難點(diǎn)
數(shù)學(xué)建模意識(shí)
●教學(xué)方法
讀議講練法
首先要求學(xué)生通
2、過閱讀課本來(lái)了解數(shù)學(xué)模型的概念及數(shù)學(xué)建模的思想方法，然后通過討論與學(xué)生一起分析得出數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解決應(yīng)達(dá)到哪些能力要求，再通過講解例題與大家一起總結(jié)解答應(yīng)用題的基本步驟，最后通過相應(yīng)的課堂練習(xí)使學(xué)生鞏固對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的認(rèn)識(shí)，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的熟悉程度.
●教具準(zhǔn)備
幻燈片
第一張：例1（記作§2.9.1 A）
第二張：例2（記作§2.9.1 B）
第三張：數(shù)學(xué)應(yīng)用題能力要求及解答步驟（記作§2.9.1 C）
●教學(xué)過程
Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧
［師］前面，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，并要求大家在課前對(duì)本章作系統(tǒng)地歸納整理，接下來(lái)，用已學(xué)過的知識(shí)舉例說(shuō)明函數(shù)
3、的應(yīng)用.
Ⅱ.講授新課
［師］大家首先閱讀課本P91～P92，來(lái)了解一下數(shù)學(xué)建模的有關(guān)知識(shí).
1.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模
簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型就是把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象概括，再?gòu)臄?shù)學(xué)角度來(lái)反映或近似地反映實(shí)際問題時(shí)，所得出的關(guān)于實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述.
數(shù)學(xué)模型方法，是把實(shí)際問題加以抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用這些模型來(lái)研究實(shí)際問題的一般數(shù)學(xué)方法.
2.例題講解
［例1］用長(zhǎng)為m的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架（如圖），若矩形底邊長(zhǎng)為2x，求此框架的面積y與x的函數(shù)式，并寫出它的定義域.
分析：所求框架面積由矩形和半圓組成，數(shù)量關(guān)系較為明確，而且題中已設(shè)出變量，所以屬于函
4、數(shù)關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
解：如圖，設(shè)AB=2x，則CD弧長(zhǎng)=πx,于是AD=
因此y=2x·+,即y=－x2+mx
再由,
解之得0＜x＜,
即函數(shù)式是y=－·x2+mx
定義域是：（0，）
評(píng)述：此題雖為函數(shù)關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用，但應(yīng)讓學(xué)生通過此題明確應(yīng)用題的能力要求及求解應(yīng)用題的基本步驟.
（1）數(shù)學(xué)應(yīng)用題的能力要求
①閱讀理解能力；②抽象概括能力；③數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用能力；④分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力；
（2）解答應(yīng)用題的基本步驟
①合理、恰當(dāng)假設(shè)；②抽象概括數(shù)量關(guān)系，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示；③分析、解決數(shù)學(xué)問題；④數(shù)學(xué)問題的解向?qū)嶋H問題的還原.
［師］有了上述說(shuō)明，我們?cè)诳蠢?
5、時(shí)就應(yīng)有所注意.
［例2］如圖所示，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上，寫出這個(gè)梯形周長(zhǎng)y和腰長(zhǎng)x間的函數(shù)式，并求出它的定義域.
分析：要用腰長(zhǎng)表示周長(zhǎng)的關(guān)系式，應(yīng)該知道等腰梯形各邊的長(zhǎng)，下底長(zhǎng)已知為2R，兩腰長(zhǎng)為2x,因此，只須用已知量（半徑R）和腰長(zhǎng)x把上底表示出來(lái)，即可寫出周長(zhǎng)y與腰長(zhǎng)x的函數(shù)式.
解：如圖所示，AB=2R，C、D在⊙O的半圓周上
設(shè)腰長(zhǎng)AD=BC=x，作DE⊥AB，垂足為E，連結(jié)BD，那么∠ADB直角，由此Rt△ADE∽R(shí)t△ABD.
∴AD2=AE·AB，即AE=
∴CD=AB
6、－2AE=2R－
所以，y=2R+2x+(2R－),即y=－+2x+4R
再由,
解得0＜x＜
∴周長(zhǎng)y與腰長(zhǎng)x的函數(shù)式為：y=－ (x2+2x+4R),定義域?yàn)椋海?，）
評(píng)述：例2是實(shí)際應(yīng)用問題.解題過程是從問題出發(fā)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立函數(shù)關(guān)系式，再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并結(jié)合問題的實(shí)際意義做出回答，這個(gè)過程實(shí)際上就是建立數(shù)學(xué)模型的一種最簡(jiǎn)單的情形.
Ⅲ.課堂練習(xí)
課本P89練習(xí)
1.將一個(gè)底面圓的直徑為d的圓柱截成橫截面為長(zhǎng)方形的棱柱，若這個(gè)長(zhǎng)方形截面的一條邊長(zhǎng)為x，對(duì)角線長(zhǎng)為d，截面的面積為A，求面積A以x為自變量的函數(shù)式，并寫出它的定義域.
解：如圖，截面的一條邊
7、為x，對(duì)角線AC=d,另一條邊BC=,所以S=x,定義域?yàn)椋簕x|0＜x＜d
2.如圖，有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮，將其四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形，然后折成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，寫出體積V以x為自變量的函數(shù)式，并討論這個(gè)函數(shù)的定義域.
解：∵底面邊長(zhǎng)為a－2x,∴底面積為(a－2x)2
又長(zhǎng)方體高為x,
∴長(zhǎng)方體體積V=x(a－2x)2
由a－2x＞0,得x＜
又x＞0,∴函數(shù)定義域?yàn)閧x|0＜x＜}
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
［師］通過本節(jié)學(xué)習(xí)，大家應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)建模有所了解，并能根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式，逐步掌握解決實(shí)際問題的能力.
Ⅴ.課后作業(yè)
（一）課本P89習(xí)題2.9
1.建
8、筑一個(gè)容積為8000 m3，深為6 m的長(zhǎng)方體蓄水池，池壁的造價(jià)為a元/m2,池底的造價(jià)為2a元/m2,把總造價(jià)y(元)表示為底的一邊長(zhǎng)為x(m)的函數(shù).
解：設(shè)底面的另一邊長(zhǎng)為z(m)，則根據(jù)題意有6xz=8000,z=
池壁造價(jià)為a·(2x+2z)·6=12a(x+)
池底造價(jià)為2a·=a
所以，總造價(jià)：y=[12a(x+)+a](元)
2.如圖，灌溉渠的橫截面是等腰梯形，底寬2 m，邊坡的傾角為45°，水深h m，求橫斷面中有水面積A（m2）與水深h(m)的函數(shù)關(guān)系式.
解：如圖，作AC⊥CE，BD⊥CE，
∴Rt△BDE面積：h2，矩形面積：2h
∴A=S矩+2SRt△BDE=2h+2×h2=h2+2h(m2)
（二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P86例1
2.預(yù)習(xí)提綱：
（1）例2的數(shù)學(xué)模型和哪種函數(shù)有關(guān)？
（2）試列舉有關(guān)平均增長(zhǎng)率的實(shí)際問題.
●板書設(shè)計(jì)
§2.9.1 函數(shù)的應(yīng)用舉例
1.應(yīng)用題能力要求：
（1）閱讀理解能力；
（2）抽象概括能力；
（3）數(shù)學(xué)語(yǔ)言運(yùn)用能力；
（4）分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力.
2.解答基本步驟：
（1）合理、恰當(dāng)假設(shè)；
（2）抽象數(shù)量關(guān)系；
（3）分析解決問題；
（4）數(shù)學(xué)問題的解向?qū)嶋H問題還原.
例1 例2 學(xué)生練習(xí)
2022年高一數(shù)學(xué) 函數(shù)的應(yīng)用舉例 第八課時(shí) 第二章
