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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 數(shù)列教案 理
教材分析
這節(jié)課主要研究數(shù)列的有關(guān)概念,并運用概念去解決有關(guān)問題,其中,對數(shù)列概念的理解及應(yīng)用,既是教學(xué)的重點,也是教學(xué)的難點.
教學(xué)目標
1. 理解數(shù)列及數(shù)列的通項公式等有關(guān)概念,會根據(jù)一個數(shù)列的有限項寫出這個數(shù)列的一個通項公式.
2. 了解遞推數(shù)列,并會由遞推公式寫出此數(shù)列的若干項.
3. 進一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納和猜想的能力.
任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容以往很少涉及,對學(xué)生來說,既新又抽象,所以,須要依靠實例進行教學(xué).數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)在函數(shù)定義的基礎(chǔ)上加以理解.由若干項寫出數(shù)列的一個通項公式是難點,但這又是鍛煉學(xué)生的歸納、猜想能力的極好機會,
2、應(yīng)大膽讓學(xué)生親自歸納和猜想.
教學(xué)設(shè)計
一、問題情景
傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題,他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù).比如,他們研究過1,3,6,10,…由于這些數(shù)都能夠表示成三角形(如圖44-1),他們就將其稱為三角形數(shù).類似地,1,4,9,16,…能夠表示成正方形(如圖44-2),他們就將其稱為正方形數(shù).
二、建立模型
1. 引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析數(shù)列的順序要求,設(shè)法用自己的語言描述出數(shù)列的定義及有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、遞增數(shù)列、擺動數(shù)列等有關(guān)概念像1,4,9,16,…等按照一定規(guī)律排列的一列數(shù),就叫作數(shù)列.
[練 習(xí)]
下面的數(shù)列,哪些是遞增數(shù)
3、列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列?
(1)全體自然數(shù)構(gòu)成數(shù)列
0,1,2,3,…
(2)1996~xx年某市普通高中生人數(shù)(單位:萬人)構(gòu)成數(shù)列
82,93,105,119,129,130,132.
(3)無窮多個3構(gòu)成數(shù)列
3,3,3,3,…
(4)目前通用的人民幣面額按從大到小的順序構(gòu)成數(shù)列(單位:元)
100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01.
(5)-1的1次冪,2次冪,3次冪,4次冪,……構(gòu)成數(shù)列
-1,1,-1,1,…
(6)的精確到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值與過剩近似值分別構(gòu)成數(shù)列
1,
4、1.4,1.41,1.414,…
2,1.5,1.42,1.415,…
2. 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實例、項和第n項等概念發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
如:數(shù)列1,2,0,-1,3,8,…,第1項是1,第4項是-1,……由此可以發(fā)現(xiàn),對于一個給定的數(shù)列,當確定了項的位置后,這個數(shù)列的項也隨之唯一確定.一般地,數(shù)列可以看作定義域為N(或其子集)的函數(shù)當自變量依次為1,2,3,…時的一系列函數(shù)值.
[問 題]
數(shù)列既然可以看作一列函數(shù)值,那么“這個函數(shù)”可以如何表示?一定有解析式嗎?你能舉出一些有解析式的例子嗎?根據(jù)學(xué)生的討論,探究,得出:數(shù)列可以用列表、圖像和函數(shù)解析式來表示,從而,解析式即為數(shù)列的通項
5、公式.
三、解釋應(yīng)用
[例 題]
1. 寫出下面數(shù)列的一個通項公式,使它的前4項分別是下列各數(shù).
(1)1,-,,-.
(2)2,0,2,0.
解:(1).
(2)可以寫成也可以寫成an=1+(-1)n-1,(其中n=1,2,…).
注:對于(2),可以引導(dǎo)學(xué)生得到不同的結(jié)論,從而發(fā)現(xiàn),根據(jù)數(shù)列的前若干項寫出的通項公式不一定唯一.
2. 下圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形.在下圖4個三角形中,黑色三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項,請寫出這個數(shù)列的一個通項公式,并在直角坐標系中畫出它的圖像.
解:如圖44-3,這4個三角形中的黑色三角形的個數(shù)依次為1,3,9,27,則
6、所求數(shù)列的前4項都是3的指數(shù)冪,并且指數(shù)為序號減1.所以,這個數(shù)列的一個通項公式是an=3n-1.
在直角坐標系中的圖像見下圖:
3. 設(shè)數(shù)列滿足
試寫出這個數(shù)列的前5項.
解:∵a1=1,
注:像這樣給出數(shù)列的方法叫逆推法.
[練 習(xí)]
1. 數(shù)列的前5項分別是以下各數(shù),試分別寫出各數(shù)列的一個通項公式.
2. 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=-1(n>1),試寫出它的前5項.
3. 已知數(shù)列的通項公式為an=n2-10n+10,那么這個數(shù)列從第n項起各項的數(shù)值是否逐漸增大?從第n項起各項的數(shù)值是否均為正數(shù)?
四、拓展延伸
教師引導(dǎo)學(xué)生分析思考下面的兩個問
7、題(可以在課堂上或課后完成):
1. 已知數(shù)列{an}滿足,問:此數(shù)列有無最大項和最小項?
2. 通常用Sn表示數(shù)列{an}的前n項的和,即Sn=a1+a2+a3+…+an.已知{an}的前n項和Sn=n2-3n+2,試求{an}的通項公式.一般地,如何用Sn表示an呢?
點 評
這篇案例通過實例闡述了數(shù)列的有關(guān)概念,注意揭示了知識發(fā)生、發(fā)展的過程,比較好地調(diào)動了學(xué)生參與探索的積極性和主動性.問題情景設(shè)計新穎,合理;問題提出得準確,恰當;總體設(shè)計完整,清晰.另外,該案例還關(guān)注了學(xué)生科學(xué)地提出和解決問題的能力的培養(yǎng).
美中不足的是,自“問題情景”到“建立模型”兩個環(huán)節(jié)的“交接處”顯得有些跳躍,步驟有些過簡.