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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 平面向量的正交分解與坐標(biāo)運(yùn)算教案 理
教材分析
這節(jié)課通過建立直角坐標(biāo)系,結(jié)合平面向量基本定理,給出了向量的另一種表示———坐標(biāo)表示,這樣使平面中的向量與它的坐標(biāo)建立起了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,然后導(dǎo)出了向量的加法、減法及實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算,這就為利用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問題搭起了橋梁,更突出也更簡(jiǎn)化了向量的應(yīng)用.所以,一定要讓學(xué)生重點(diǎn)掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算,以利于掌握坐標(biāo)形式下的向量的一些關(guān)系式及運(yùn)用.教學(xué)難點(diǎn)是讓學(xué)生建立起平面向量的坐標(biāo)概念.
教學(xué)目標(biāo)
1. 理解平面向量坐標(biāo)概念,領(lǐng)會(huì)它的引入過程,進(jìn)一步體會(huì)一一對(duì)應(yīng)的思想意識(shí).
2. 理解平面向量的坐標(biāo)的概
2、念,掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,并能應(yīng)用坐標(biāo)運(yùn)算解決一些問題.
3. 增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識(shí),領(lǐng)會(huì)“沒有運(yùn)算,向量只是一個(gè)‘路標(biāo)’,因?yàn)橛辛诉\(yùn)算,向量的力量無限”的說法.
任務(wù)分析
1. 有了平面向量的基本定理,就不難有平面向量的正交分解,有了坐標(biāo)系下點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,也就容易有在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的向量與坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng).
2. 可以從兩個(gè)角度來理解平面向量的坐標(biāo)表示:
(1)設(shè)i,j為x,y軸方向上的單位向量,則任一向量a可唯一地表示為xi+yj,即唯一對(duì)應(yīng)數(shù)對(duì)(x,y),所以可以說a=(x,y).
(2)任一向量a可平移成,一一對(duì)應(yīng)點(diǎn)A(x,y),從而可說a=(x,y).
3. 在接
3、觸過xOy平面內(nèi)一點(diǎn)到它的坐標(biāo)的這種形、數(shù)過渡的基礎(chǔ)上,容易接受由向量到坐標(biāo)的這種代數(shù)化的過渡.
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、問題情景
1. 光滑斜面上的木塊所受重力可以分解為平行斜面使木塊下滑的力F1和木塊產(chǎn)生的垂直于斜面的壓力F2(如圖).
一個(gè)向量也可以分解為兩個(gè)互相垂直的向量的線性表達(dá),這種情形叫向量的正交分解.以后可以看到,在正交分解下,許多有關(guān)向量問題將變得較為簡(jiǎn)單.
2. 在平面直角坐標(biāo)系中,每一個(gè)點(diǎn)可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)(即它的坐標(biāo))表示,那么對(duì)平面直角坐標(biāo)內(nèi)的每一個(gè)向量,可否用實(shí)數(shù)對(duì)來表示?又如何表示呢?
二、建立模型
1. 如圖,在直角坐標(biāo)系中,先分別取與x軸、y軸方向相同的
4、兩個(gè)單位向量i,j作為基底.對(duì)于平面上一個(gè)向量a,由平面向量的基本定理,知有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使a=xi+yj,這樣平面內(nèi)任一向量a都可由x,y唯一確定,(x,y)叫a的坐標(biāo),記作a=(x,y).
顯然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
若把a的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn),即a=,則點(diǎn)A的位置由a唯一確定.設(shè)=xi+yj,則的坐標(biāo)就是點(diǎn)A的坐標(biāo);反過來,點(diǎn)A的坐標(biāo)(x,y)也就是的坐標(biāo).因此,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)實(shí)數(shù)(即坐標(biāo))唯一表示.
2. 學(xué)生思考討論
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐標(biāo)嗎?
∵a
5、=(x1,y1),b=(x2,y2),
∴a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.
∴a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,
∴a+b=(x1+x2,y1+y2).
同理a+b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1).
上述結(jié)論可表述為:兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差);實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).
三、解釋應(yīng)用
[例 題]
1. 已知A(x1,y1),B(x2,y2),求AB→的坐標(biāo).
解:如圖39-3,AB→=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).
總結(jié):一個(gè)向量的坐
6、標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).
思考:能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為(x2-x1,y2-y1)的P點(diǎn)嗎?
平移到,則P(x2-x1,y2-y1).
2. 已知A(-2,1),B(-1,3),C(3,4).
(1)求-的坐標(biāo). (2)求ABCD中D點(diǎn)的坐標(biāo).
放開思考,展開討論,看學(xué)生們有哪些不同方法.
(1)解法1:∵=(1,2),=(5,3),
∴-=(1,2)-(5,3)=(-4,-1).
解法2:-==(-4,-1).
(2)解法1:設(shè)D(x,y),=,即(1,2)=(3-x,4-y),
∴x=y(tǒng)=2,D(2,2).
思考:你能比較出對(duì)(2)的兩種解
7、法在思想方法上的異同點(diǎn)嗎?
(解法1是間接的思想,即方程的思想,解法2是直接的思想)
3. 在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(3,2),點(diǎn)B(-2,4),求向量+的方向和長(zhǎng)度.
解:由已知,得=(3,2),=(-2,4).
設(shè)=+,則=+=(3,2)+(-2,4)=(1,6).
由兩點(diǎn)的距離公式,得
設(shè)相對(duì)x軸正向的轉(zhuǎn)角為α,則
查表或使用計(jì)算器,得α=80°32′.
答:向量的方向偏離x軸正向約為80°32′,長(zhǎng)度等于,向量的方向偏離x軸正向約為116°34′,長(zhǎng)度等于2.
[練 習(xí)]
1. 已知a=(2,1),b=(-3,4),求3a+4b的坐標(biāo).
2. 設(shè)a+
8、b=(-4,-3),a-b=(2,1),求a,b.
解法1:∵2a=(-4,-3)+(2,1)=(-2,-2),
2b=(-4,-3)-(2,1)=(-6,-4),
∴a=(-1,-1),b=(-3,-2).
解法2:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則
3. 已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),試以a,b為基底來表示c.
解:設(shè)c=k1a+k2a,即(-1,2)=k1(1,1)+k2(1,-1),即(-1,2)=(k1+k2,k1-k2),
四、拓展延伸
1. 在直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(x1,y1),B(x2,y2),求線段AB中點(diǎn)的坐
9、標(biāo).
解:設(shè)點(diǎn)M(x,y)是線段AB的中點(diǎn)(如圖39-5),則=(+).
將上式換為向量的坐標(biāo),得
(x,y)=[(x1,y1 )+(x2,y2 )].
即.
這里得到的公式叫作線段中點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算公式,簡(jiǎn)稱中點(diǎn)公式.
2. 對(duì)于向量a,b,c,若存在不全為0的實(shí)數(shù)k1,k2,k3,使k1a+k2b+k3c=0,則稱a,b,c三個(gè)向量線性相關(guān),試研究三個(gè)向量=(3,5),=(0,-1),=(-3,-4)是否線性相關(guān).
解法1:顯然有++=0,∴三者線性相關(guān).
解法2:由k1+k2+k3=0,
即k1(3,5)+k2(0,-1)+k3(-3,-4)=0,
即(3k1-3k3,5k1-k2-4k3)=(0,0),
取k1=k2=k3=1,則++=0,故三個(gè)向量線性相關(guān).
點(diǎn) 評(píng)
這篇案例設(shè)計(jì)完整,思路自然.由斜邊上物體所受重力的分解,聯(lián)想到向量應(yīng)有常見的正交分解;由點(diǎn)的坐標(biāo)表示,結(jié)合平面向量基本定理聯(lián)想到向量也有坐標(biāo)形式.這為鍛煉學(xué)生的類比聯(lián)想能力,增強(qiáng)數(shù)學(xué)地提出問題、解決問題的能力提供了平臺(tái).向量用坐標(biāo)表示即把向量代數(shù)化,增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí),也增強(qiáng)了一一對(duì)應(yīng)的意識(shí),為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)打下了良好的基礎(chǔ).