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1、2022年高三數(shù)學(xué)第五次月考試題 理(VI)
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知是虛數(shù)單位，和都是實(shí)數(shù)，且,則
=（ ）
A. B. C. D.
2. 右圖所示的算法運(yùn)行后，輸出的的值等于（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3. 過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與圓的位置關(guān)系為( )
A.相交 B.相切 C
2、. 相離 D. 以上均有可能
4. 數(shù)列滿足，若，則=（ ）
A． B． C． D．
5. 下列命題中
①“數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列是常數(shù)列”；
②若命題“且”為假命題，則均為假命題；
③對(duì)命題:存在使得，則對(duì)于任意的均有；
④若兩個(gè)非零向量共線，則存在兩個(gè)非零實(shí)數(shù)，使.
正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6. 直線是常數(shù)），當(dāng)此直線在軸的截距和最小時(shí)，正數(shù)的值是（ ） A.0 B.2 C. D.1
3、
7. 如圖，矩形內(nèi)的陰影部分是由曲線及直線與軸圍成，向矩形內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，若落在陰影部分的概率為，則的值是( )
A . B. C . D.
8. 為了從甲乙兩人中選一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，老師將二人最近6次數(shù)學(xué)測(cè)試的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，甲乙兩人的平均成績(jī)分別是、，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. ，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定，應(yīng)選乙參加比賽
B. ，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定，應(yīng)選甲參加比賽
C. ，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定，應(yīng)選甲參加比賽
D. ，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定，應(yīng)選乙參加比賽
9. 設(shè)函數(shù)，若，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （ ）
A. 1 B. 2
4、 C. 3 D. 4
10. 已知數(shù)列滿足：，定義：使為整數(shù)的數(shù)叫做“希望數(shù)”，則區(qū)間內(nèi)所有希望數(shù)的和等于（ ）
A．2026 B．2036 C．2046 D．2048
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共25分）
11．的二項(xiàng)展開(kāi)式中x的系數(shù)是 ；（用數(shù)字作答）
12．雙曲線（a>0,b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若P為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍是 ；
13．觀察下列式子：
,…,
根據(jù)以上式子可猜想:
;
5、
14. 右圖中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積
為的幾何體的三視圖，則= cm
A
B
C
D
E
15. （請(qǐng)從下列三個(gè)小題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)分.）
A．(幾何證明選做題）如圖，是的高，
是外接圓的直徑，
則的長(zhǎng)為 ；
B．（不等式選做題）如果關(guān)于的不等式
的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ；
C．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 已知圓C的圓心為，半徑為5，直線
被圓截得的弦長(zhǎng)為8，則= ；
三、解答題：本大題共6小題，16～19每小題12分，20題13分，21題14分，滿分75分.
6、
16. (本小題滿分12分)
(Ⅰ) 若,用向量法證明；
(Ⅱ) 若向量與互相垂直，且 其中
求
17. (本小題滿分12分)
數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意，總有成等差數(shù)列.
(Ⅰ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ) 設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.
18. (本小題滿分12分)在四棱錐中，側(cè)面底面，
Q
，為中點(diǎn)，底面是直角梯形。
(Ⅰ) 求證：平面；
(Ⅱ) 設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，，
試確定的值，使得平面QBD與平面PBD的夾角為。
19.(本小題滿分12分)某同學(xué)參加某高校自主招生3門(mén)課程的考試。假設(shè)該同學(xué)第一
7、門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率為，第二、第三門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率分別為， ()，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績(jī)相互獨(dú)立。記ξ為該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程數(shù)，其分布列為
(Ⅰ) 求該生至少有1門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率及,的值；
(Ⅱ) 求數(shù)學(xué)期望.
20. (本小題滿分13分) 已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
(Ⅰ) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ) 若過(guò)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且與向量共線（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求與的夾角；
21. (本小題滿分14分)已知函數(shù)，，.
(Ⅰ) 若曲線與曲線相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求的值及該切線的方程；
(Ⅱ)
8、設(shè)函數(shù),當(dāng)存在最小值時(shí)，求其最小值的解析式；
(Ⅲ) 對(duì)（Ⅱ）中的和任意的時(shí)，證明：
故
17．（本小題滿分12分）
解：（1）由已知：對(duì)于，總有 ①成立
∴ （n ≥ 2）②
①-②得, ∴
∵均為正數(shù)，∴ （n≥2）
∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.
又n=1時(shí)，， 解得=1, ∴.()
(2) 解法一：由（1）可知,
解法二：由（1）可知 ,
,.
18． （本小題滿分12分）
Q
解：（1）平面平面，，∴平面，∴
在直角梯形ABCD中，
∴即.
又由平面，可得，
又，∴平面.
（3）如圖，以D為
9、原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，
平面的法向量為，，設(shè)平面的法向量為，
，由，∴
∴，注意。
19.（本題滿分12分）
解：用表示“該生第門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)”， =1，2，3。
由題意得
(Ⅰ)該生至少有一門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率為
由
及得
(Ⅱ)
ξ
0
1
2
3
∴?
∴該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程門(mén)數(shù)的期望為?．
21. （本小題滿分14分）
解： （Ⅰ）=,=(x>0),
由已知得 解得a=，x=e2,
∴ 兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（e2,e） 切線的斜率為
∴ 切線的方程為
（Ⅱ）由條件知 ∴
（1）
2022年高三數(shù)學(xué)第五次月考試題 理(VI)
