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1、2022年高三數(shù)學總復習 圓的方程教案 理
教材分析
圓是學生比較熟悉的曲線,在初中幾何課中就已學過圓的定義及性質(zhì).這節(jié)主要是用坐標的方法畫圓———建立圓的方程.首先是根據(jù)圓的定義,建立圓的標準方程,進而研究圓的一般方程,并在此基礎(chǔ)上,運用坐標法,探討直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.由于圓是一種對稱、和諧的圖形,有很多優(yōu)美的幾何性質(zhì),因此,在運用坐標法解決問題的同時,充分利用了圓的幾何性質(zhì).這節(jié)課的重點是圓的兩種方程的求法及互化,直線與圓位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的判定與求解.難點是對待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合等方法的理解及靈活應用.
教學目標
1. 理解和掌握圓的標準方程和一般方程,并會熟練地進行方程
2、的互化,能根據(jù)條件靈活選用適當?shù)姆椒ńA的方程.
2. 在直線的方程、圓的方程的基礎(chǔ)上,用代數(shù)、幾何兩種方法研究直線與圓的位置關(guān)系.
3. 初步學會用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法解決與圓有關(guān)的一些簡單問題.
4. 能應用圓的方程解決一些簡單的實際問題,培養(yǎng)學生應用數(shù)學分析、解決實際問題的能力.
任務分析
圓是學生比較熟悉的一種曲線,建立圓的方程也比較容易.學習時,應根據(jù)問題條件,靈活適當?shù)剡x取方程形式,否則,可能導致解題過程過于煩鎖.在解決直線與圓、圓與圓位置關(guān)系問題時,要盡可能挖掘、應用關(guān)于圓的隱含條件,要注意數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法的應用.
教學設(shè)計
一、問題情境
圓是最完美的曲線
3、,它是平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合.定點是圓心,定長是半徑.在平面直角坐標系中,怎樣用坐標的方法刻畫圓呢?
[問 題]
河北省趙縣的趙州橋,是世界著名的古代石拱橋,也是造成后一直使用到現(xiàn)在的最古老的石橋.趙州橋的跨度是37.02m,圓拱高約為7.2m.建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?,寫出這個圓拱所在的圓的方程.
解析:要求圓的方程,只要確定圓心的位置和半徑的大?。?
第一步:以圓拱對的弦所在的直線為x軸、弦的垂直平分線為y軸建立直角坐標系.根據(jù)平面幾何知識可知,圓拱所在圓的圓心O必在y軸上,故可設(shè)O1(0,b).
第二步:設(shè)圓拱所在圓的半徑為r,則圓上任意一點P(x,y)應滿足
4、O1P=r,即
?、?
因此,只須確定b和r的值,就能寫出圓的方程.
第三步:將點B(18.51,0),C(0,7.2)分別代入①,
得
解得
故趙州橋圓拱所在的圓的方程為x2+(y+20.19)2=750.21.
二、建立模型
(1)一般地,設(shè)點P(x,y)是以C(a,b)為圓心、r為半徑的圓上的任意一點,則CP=r.
由兩點間的距離公式,得, ?、?
即(x-a)2+(y-b)2=r2.
反過來,若點P1的坐標(x1,y1)是方程①的解,
則(x1-a)2+(y1-b)2=r2,即
這說
5、明點P1(x1,y1)在以C(a,b)為圓心、r為半徑的圓上.
結(jié)論:方程(x-a)2+(y-b)2=r2叫作以(a,b)為圓心、r為半徑的圓的標準方程.
特別地,當圓心為原點O(0,0)時,圓的方程為x2+y2=r2.
三、解釋應用(1)
[例 題]
1. 已知兩點M(4,9),N(2,6),求以MN為直徑的圓的方程.
分析:先利用兩點間距離公式求出半徑r,然后分別將兩點的坐標代入圓的標準方程,解方程組求出a,b.
2. 已知動點M(x,y)與兩個定點O(0,0),A(3,0)的距離之比為1∶2,那么點M的坐標應滿足什么關(guān)系?請你根據(jù)這個關(guān)系,猜想動點M的軌跡方程.
解:根
6、據(jù)題意,得
即x2-2x+y2-3=0, ?、?
變形,得(x-1)2+y2=4. ?、?
由方程①通過配方化為②,可知動點M的軌跡是以(1,0)為圓心、2為半徑的圓.
思考:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否都表示圓呢?
[練 習]
寫出滿足下列條件的圓的方程.
(1)圓心在原點,半徑為5.
(2)圓心在C(6,-2),經(jīng)過點P(5,1).
思考:點P(x0,y0)與(x-a)2+(y-b)2=r2位置關(guān)系的判斷方法是什么?
四、建立模型(2)
7、
將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方,得,與圓的標準方程比較,可知
(1)當D2+E2-4F>0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(-,-)為圓心、以為半徑的圓.
(2)當D2+E2-4F=0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有一個解,表示一個點(-,-).
(3)當D2+E2-4F<0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0無實數(shù)解,不表示任何圖形.
結(jié)論:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0)叫作圓的一般方程.
思考:(1)圓的標準方程與一般方程的特點.
圓的標準方程的優(yōu)點在于它明確地指出了圓心及半徑,而一般方程突出了方程形式上的特點
8、:x2,y2的系數(shù)相同且不等于0,沒有xy這樣的項,是特殊的二元一次方程.
(2)探討一般的二元一次方程:Ax2+Cy2+Bxy+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件.
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件為A=C≠0,B=0且D2+E2-4F>0.
五、解釋應用(2)
[例 題]
1. 求過三點O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程,并求這個圓的半徑和圓心坐標.
分析:確定圓的一般方程,只要確定方程中三個常數(shù)D,E,F(xiàn),為此,用待定系數(shù)法.
解:設(shè)所求的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因為O,M1,M2在圓上,所以它們的坐標是方
9、程的解.把它們的坐標依次代入上面的方程,得
于是,得到所求圓的方程:x2+y2-8x+6y=0.
由前面的討論可知,所求的圓的半徑,圓心坐標是(4,-3).
思考:本題能否利用圓的標準方程求解?有無其他方法?
2. 已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛.問:一輛寬為2.7m、高為3m的貨運車能不能駛?cè)脒@個隧道?
解:以某一截面半圓的圓心為坐標原點,半圓的直徑AB所在的直線為x軸,建立直角坐標系如圖25.2,那么半圓的方程為x2+y2=16,(y≥0).
將x=2.7代入,得
即離中心線2.7m處,隧道的高度低于貨車的高度.
因此,貨車不能駛?cè)脒@個隧
10、道.
思考:假設(shè)貨車的最大寬度為am,那么貨車要駛?cè)朐撍淼?,限高至少為多少米?
[練 習]
1. 求經(jīng)過三點A(-1,5),B(5,5),C(6,2)的圓的方程.
2. 求過兩點A(3,1),B(-1,3)且圓心在直線3x-y-2=0上的圓的方程.
六、拓展延伸
1. 自點A(-1,4)作圓(x-2)2+(y-3)2=1的切線,求切線l的方程.
思考:(1)當點A的坐標為(2,2)或(1,1)時,討論該切線l與圓的位置關(guān)系分別有什么變化?
(2)如何判定直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.
直線與圓的位置關(guān)系的判定常用兩種方法:
幾何法和代數(shù)法.若直線l的方程為Ax+By+C=0
11、,圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.
①幾何法
設(shè)圓心(a,b)到直線l的距離為d,則
d>rl與c相離;
d=rl與c相切;
d<rl與c相交.
②代數(shù)法
Δ>0方程有兩個不同解方程組有兩個不同解l與C有兩個不同交點相交;Δ=0相切;Δ<0相離.
2. 若圓x2+y2=m與圓x2+y2+6x-8y-11=0有公共點,求m的取值范圍.
思考:如何判定圓與圓的位置關(guān)系.
圓與圓的位置關(guān)系的判定主要就是幾何法.
已知
,則
d>r1+r2C1與C2外離;
d=r1+r2C1與C2相外切;
d=|r1-r2|C1與C2相內(nèi)切;
|r1-r2|<d<r1
12、+r2C1與C2相交;
d<|r1-r2|C1與C2內(nèi)含.
3. 畫出方程:|x|-1=表示的曲線.
4. 已知圓C:x2+y2=r2,直線l:ax+by=r2.當點P(a,b)在圓C上、圓C內(nèi)和圓C外時,分別研究直線l與C具有怎樣的位置關(guān)系.
5. 已知:圓滿足:①截y軸所得的弦長為2;②被x軸分成兩段弧,其弧長的比為3∶1;③圓心到直線l:x-2y=0的距離為.求該圓的方程.
點 評
這節(jié)課重點研究了圓方程的兩種表示形式,突出了利用待定系數(shù)法、幾何法來確定圓的方程,及利用圓的方程解決簡單的實際問題,對圓與直線、圓與圓位置關(guān)系稍作涉列.由于初中幾何中研究這些知識較多,所以對這些內(nèi)容的探究放手于學生,對學生能力的培養(yǎng)與鍛煉大有好處.此外,例題和練習的選取配置較好,突出了與實際問題的聯(lián)系,易激發(fā)學生的學習興趣.這篇案例在繼承中國傳統(tǒng)的“雙基”同時,著眼于在體現(xiàn)課程新理念上(尤其是體現(xiàn)新的探究、自主學習理念)有所突破.