2022年高三數(shù)學總復習 任意角的三角函數(shù)教案 理

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1、2022年高三數(shù)學總復習 任意角的三角函數(shù)教案 理 教材分析 這節(jié)課是在初中學習的銳角三角函數(shù)的基礎上,進一步學習任意角的三角函數(shù).任意角的三角函數(shù)通常是借助直角坐標系來定義的.三角函數(shù)的定義是本章教學內(nèi)容的基本概念和重要概念,也是學習后續(xù)內(nèi)容的基礎,更是學好本章內(nèi)容的關鍵.因此,要重點地體會、理解和掌握三角函數(shù)的定義.在此基礎上,這節(jié)課又進一步研討了三角函數(shù)的定義域,函數(shù)值在各象限的符號,以及誘導公式(一),這既是對三角函數(shù)的簡單應用,也是為學習后續(xù)內(nèi)容做了必要準備. 教學目標 1. 讓學生認識三角函數(shù)推廣的必要性,經(jīng)歷三角函數(shù)的推廣的過程,增強對數(shù)的理解能力. 2. 理解和掌握三

2、角函數(shù)的定義,在此基礎上探索與研究三角函數(shù)定義域、三角函數(shù)值的符號和誘導公式(一),并能初步應用它們解決一些問題. 3. 通過對任意角的三角函數(shù)的學習,初步體會數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展和運用的過程,提高學生的科學思維水平. 任務分析 在初中,我們只是學習了銳角三角函數(shù),現(xiàn)在學習的是任意角的三角函數(shù).定義的對象從銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù),從四種三角函數(shù)增加到六種三角函數(shù).定義的媒介則從直角三角形改為平面直角坐標系.為了便于學生體會和理解,突出定義適用于任意角,通常要把終邊出現(xiàn)在四個象限的情況都畫出來(注意表示角時不用箭頭),學習時,必須弄清并強調(diào):這六個比值的大小都與點P在角的終邊上

3、的位置無關,只與角的大小有關,即它們都是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù),符合函數(shù)的定義,從而歸納和總結(jié)出任意角的三角函數(shù)的定義.對于三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號和誘導公式(一),可放手讓學生探索、研究、討論和歸納,用以培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力. 教學設計 一、情景設置 初中我們學習過銳角三角函數(shù),知道它們都是以銳角為自變量,由其所在的直角三角形的對應邊的比值為函數(shù)值,并且定義了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù).這節(jié)課,我們研究當α是一個任意角時的三角函數(shù)的定義. ? 在初中,三角函數(shù)的定義是借助直角三角形來定義的.如圖32-1,在Rt△ABC中, 現(xiàn)在,把三

4、角形放到坐標系中.如圖32-2,設點B的坐標為(x,y),則OC=b=x,CB=a=y(tǒng),OB=,從而 即角α的三角函數(shù)可以理解為坐標的比值,在此意義下對任意角α都可以定義其三角函數(shù). 二、建立模型 一般地,設α是任意角,以α的頂點O為坐標原點,以角α的始邊的方向作為x軸的正方向,建立直角坐標系xOy.P(x,y)為α終邊上不同于原點的任一點.如圖: 那么,OP=,記作r,(r>0). 對于三個量x,y,r,一般地,可以產(chǎn)生六個比值:.當α確定時,根據(jù)初中三角形相似的知識,可知這六個比值也隨之相應的唯一確定.根據(jù)函數(shù)的定義可以看出,這六個比值都是以角為自變量的函數(shù),分別把稱之為

5、α角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函數(shù),記為 對于定義,思考如下問題: 1. 當角α確定后,比值與P點的位置有關嗎?為什么? 2. 利用坐標法定義三角函數(shù)與利用直角三角形定義三角函數(shù)有什么關系? 3. 任意角α的正弦、余弦、正切都有意義嗎?為什么? 三、解釋應用 [例 題] 1. 已知角α的終邊經(jīng)過P(-2,3),求角α的六個三角函數(shù)值. 思考:若P(-2,3)變?yōu)椋ǎ?m,3m)呢?(m≠0) 2. 求下列角的六個三角函數(shù)值. 注:強化定義. [練 習] 1. 已知角α的終邊經(jīng)過下列各點,求角α的六個三角函數(shù)值. (1)P(3,-4). (2)P(m,

6、3). 2. 計 算. (1)5sin90°+2sin0°-3sin270°+10cos180°. 四、拓展延伸 1. 由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應的關系,三角函數(shù)可以看成以實數(shù)為自變量的函數(shù),如sina=,不論α取任何實數(shù),恒有意義,所以sina的定義域為{α|α∈R}.類似地,研究cosa,tana,cota的定義域. 2. 根據(jù)三角函數(shù)的定義以及x,y,r在不同象限內(nèi)的符號,研究sina,cosa,tana,cota的值在各個象限的符號. 3. 計算下列各組角的函數(shù)值,并歸納和總結(jié)出一般性的規(guī)律. (1)sin30°,sin390°. ?。?)cos45°,

7、cos(-315°). 規(guī)律:終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值, 即sin(α+k360°)=sina, cos(α+k·360°)=cosa, tan(α+k·360°)=tana,(k∈Z). 五、應用與深化 [例 題] 1. 確定下列三角函數(shù)值的符號. 2. 求證:角α為第三象限角的充要條件是sinθ<0,并且tanθ>0. 證明:充分性:如果sinθ<0,tanθ>0都成立,那么θ為第三象限角. ∵sinθ<0成立,所以θ的終邊可能位于第三或第四象限,也可能位于y軸的負半軸上. 又∵tanθ>0成立,∴θ角的終邊可能位于第一或第三象限. ∵sinθ<0,t

8、anθ>0都成立,∴θ角的終邊只能位于第三象限. 必要性:若θ為第三象限角,由三角函數(shù)值在各個象限的符號,知sinθ<0,tanθ>0. 從而結(jié)論成立. [練 習] 1. 設α是三角形的一個內(nèi)角,問:在sina,cosa,tana,tan中,哪些三角函數(shù)可能取負值?為什么? 2. 函數(shù)的值域是 ____________ . 點 評 這節(jié)課在設計上特別注意了以下幾點:①前后知識的聯(lián)系,知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程,如任意角的三角函數(shù)的定義,由初中所講“0°~360°”的情況逐漸過渡到“任意角”的情況,講清了推廣的必要性及意義.②注重了知識的探究,如三角函數(shù)值在各象限的符號,及誘導公式(一).這里由學生自己去研究,討論,探索得出一般性結(jié)論,培養(yǎng)了學生獲取知識、探究知識的能力,強化了自主學習的意識.③注意了跟蹤練習的設計. 例題典型,練習有層次和變化,鞏固知識到位. 總體來說,這是一節(jié)實用較強,形式又不乏新穎的較好案例.

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