2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第41講 邏輯、推理與證明、復數(shù)、框圖教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第41講 邏輯、推理與證明、復數(shù)、框圖教案 新人教版 一．課標要求： 1．常用邏輯用語 （1）命題及其關系 ① 了解命題的逆命題、否命題與逆否命題；② 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關系； （2）簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 通過數(shù)學實例，了解"或"、"且"、"非"邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義。 （3）全稱量詞與存在量詞 ① 通過生活和數(shù)學中的豐富實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義； ② 能正確地對含有一個量詞的命題進行否定。 2．推理與證明 （1）合情推理與演繹推理 ①結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，了解合情推理的含義，

2、能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用； ②結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理； ③通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。 （2）直接證明與間接證明 ①結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點； ②結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解間接證明的一種基本方法--反證法；了解反證法的思考過程、特點； （3）數(shù)學歸納法 了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題； （4）數(shù)學文化 ①通過對實

3、例的介紹（如歐幾里德《幾何原本》、馬克思《資本論》、杰弗遜《獨立宣言》、牛頓三定律），體會公理化思想； ②介紹計算機在自動推理領域和數(shù)學證明中的作用； 3．數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 （1）在問題情境中了解數(shù)系的擴充過程，體會實際需求與數(shù)學內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系； （2）理解復數(shù)的基本概念以及復數(shù)相等的充要條件； （3）了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義； （4）能進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解復數(shù)代數(shù)形式的加減運算的幾何意義。 4．框圖 （1）流程圖 ①通過具體實例，進一步認識程序框圖； ②通過

4、具體實例，了解工序流程圖（即統(tǒng)籌圖）； ③能繪制簡單實際問題的流程圖，體會流程圖在解決實際問題中的作用； （2）結(jié)構(gòu)圖 ①通過實例，了解結(jié)構(gòu)圖；運用結(jié)構(gòu)圖梳理已學過的知識、整理收集到的資料信息； ②結(jié)合作出的結(jié)構(gòu)圖與他人進行交流，體會結(jié)構(gòu)圖在揭示事物聯(lián)系中的作用。 二．命題走向 常用邏輯用語 本部分內(nèi)容主要是常用的邏輯用語，包括命題與量詞，基本邏輯聯(lián)結(jié)詞以及充分條件、必要條件與命題的四種形式。 預測07年高考對本部分內(nèi)容的考查形式如下：考查的形式以選擇、填空題為主，考察的重點是條件和復合命題真值的判斷。 推理證明 本部分內(nèi)容主要包括：合情推理和演繹推理、直接證明與間接證明、

5、數(shù)學歸納法（理科）等內(nèi)容，其中推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學的方方面面的知識，代表研究性命題的發(fā)展趨勢，選擇題、填空題、解答題都可能涉及到，該部分命題的方向主要會在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，在新的高考中都會涉及和滲透，但單獨出題的可能性較??； 預計xx年高考將會有較多題目用到推理證明的方法。 復數(shù) 復數(shù)部分考查的重點是復數(shù)的有關概念、復數(shù)的代數(shù)形式、運算及運算的幾何意義，一般是選擇題、填空題，難度不大，預計今后的高考還會保持這個趨勢。 預測xx年高考對本講的試題難度不會太大，重視對基本問題諸如：復數(shù)的四則運算的考查，題目多以選擇、填空為主。 框圖 本部分是

6、新課標新增內(nèi)容，歷年高考中涉及內(nèi)容很少，估計xx年高考中可能在選擇題、填空題中以考察流程圖和結(jié)構(gòu)圖的定義和特征的形式出現(xiàn)；也可能以畫某種知識的結(jié)構(gòu)圖或解決某類問題的流程圖為形式的解答題出現(xiàn)，但不論哪種形式，所占份量都不會很大。 三．要點精講 1．常用邏輯用語 （1）命題 命題：可以判斷真假的語句叫命題； 邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。復合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題。 常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，……表示命題，故復合命題有三種形式：p或q；p且q；非p。 （2）復合命題的真值 “非p”形式復合命題的真假可以

7、用下表表示： p 非p 真 假 假 真 “p且q”形式復合命題的真假可以用下表表示： p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 “p且q”形式復合命題的真假可以用下表表示： p q P或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 注：1°像上面表示命題真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式復合命題的真假與p的真假相反；“p且q”形式復合命題當p與q同為真時為真，其他情況為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況為真；3°真值表是根據(jù)簡單命題的真假，判

8、斷由這些簡單命題構(gòu)成的復合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內(nèi)容。 （3）四種命題 如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，且第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互為逆命題； 如果一個命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題，這個命題叫做原命題的否命題； 如果一個命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，那么這兩個命題叫做互為逆否命題，這個命題叫做原命題的逆否命題。 兩個互為逆否命題的真假是相同的，即兩個互為逆否命題是等價命題.若判斷一個命題的真假較困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。 （4）條件 一般地，如果已知pTq

9、，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件。 可分為四類：（1）充分不必要條件，即pTq,而qp；(2)必要不充分條件，即pq,而qTp；(3)既充分又必要條件，即pTq，又有qTp；(4)既不充分也不必要條件，即pq，又有qp。 一般地，如果既有pTq，又有qTp，就記作：pq.“”叫做等價符號。pq表示pTq且qTp。 這時p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。 （5）全稱命題與特稱命題 這里，短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命題。 短語“有一個”或“有些”或“至

10、少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。 2．推理與證明 （1）合情推理 根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理（簡稱歸納）。歸納是從特殊到一般的過程，它屬于合情推理； 根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)的推理，叫做類比推理（簡稱類比）。 類比推理的一般步驟： （1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）；（3）一般地，事

11、物之間的各個性質(zhì)之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個事物在某些性質(zhì)上相同或類似，那么它們在另一些性質(zhì)上也可能相同或類似，類比的結(jié)論可能是真的；（4）在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關，那么類比得出的命題就越可靠。 （2）演繹推理 分析上述推理過程，可以看出，推理的滅每一個步驟都是根據(jù)一般性命題（如“全等三角形”）推出特殊性命題的過程，這類根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理。演繹推理的特征是：當前提為真時，結(jié)論必然為真。 （3）證明 反證法：要證明某一結(jié)論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）

12、是錯誤的，從而斷定A是正確的即反證法就是通過否定命題的結(jié)論而導出矛盾來達到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學證明方法。 反證法的步驟：1)假設命題的結(jié)論不成立，即假設結(jié)論的反面成立；2)從這個假設出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。 注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設矛盾；②與反設矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論。 分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做

13、分析法。 用分析法證明不等式的邏輯關系是： 分析法的思維特點是：執(zhí)果索因； 分析法的書寫格式： 要證明命題B為真，只需要證明命題為真， 從而有……，這只需要證明命題為真，從而又有…… 這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故命題B必為真。 綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法， 用綜合法證明不等式的邏輯關系是： 綜合法的思維特點是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。 3．數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 形如a+bi(a,b的數(shù)，我們把

14、它們叫做復數(shù)，全體復數(shù)所形成的集合叫做復數(shù)集，一般用字母C表示，其中a叫做復數(shù)的實部，b叫做復數(shù)的虛部。 復數(shù)的加法法則：（a+bi）+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；復數(shù)的加法法則：（a+bi）－(c+di)=(a－c)+(b－d)i；復數(shù)的乘法法則：（a+bi）（c+di）=(ac－bd)+(ad+bc)i；復數(shù)的除法法則：(a+bi)(c+di)=== =+； 4．框圖 （1）結(jié)構(gòu)圖 首先，你要對所畫結(jié)構(gòu)圖的每一部分有一個深刻的理解和透徹的掌握，從頭止尾抓住主要脈絡進行分解，然后將每一步分解進行歸納與提煉，形成一個個知識點并將其逐一地寫在

15、矩形框內(nèi)。最后，按其內(nèi)在的邏輯順序?qū)⑺鼈兣帕衅饋聿⒂镁€段相連，這樣就畫成了知識結(jié)構(gòu)圖。 認識結(jié)構(gòu)圖：由構(gòu)成系統(tǒng)的若干要素和表達各要素之間關系的連線構(gòu)成。 繪制結(jié)構(gòu)圖的步驟：1）先確定組成系統(tǒng)的基本要素，以及這些要素之間的關系；2）處理好“上位”與“下位”的關系；“下位”要素比“上位”要素更為具體， “上位”要素比“下位”要素更為抽象。3）再逐步細化各層要素；4）畫出結(jié)構(gòu)圖，表示整個系統(tǒng)。 （2）流程圖 繪制流程圖的一般過程：首先，用自然語言描述流程步驟；其次，分析每一步驟是否可以直接表達，或需要借助于邏輯結(jié)構(gòu)來表達；再次，分析各步驟之間的關系；最后，畫出流程圖表示整個流程。 鑒于用自

16、然語言描述算法所出現(xiàn)的種種弊端，人們開始用流程圖來表示算法，這種描述方法既避免了自然語言描述算法的拖沓冗長，又消除了起義性，且能清晰準確地表述該算法的每一步驟，因而深受歡迎。 設計算法解決問題的主要步驟： 第一步、用自然語言描述算法； 算法可以用自然語言來描述，但為了使算法的程序或步驟表達得更為直觀，我們更經(jīng)常地用圖形方式來表示它。 第二步、畫出程序框圖表達算法； 第三步、寫出計算機相應的程序并上機實現(xiàn)。 四．典例解析 題型1：判斷命題的真值 例1．寫出由下述各命題構(gòu)成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復合命題，并指出所構(gòu)成的這些復合命題的真假。 （1）p：9是144

17、的約數(shù)，q：9是225的約數(shù)。 （2）p：方程x2－1=0的解是x=1，q：方程x2－1=0的解是x=－1； （3）p：實數(shù)的平方是正數(shù)，q：實數(shù)的平方是0. 解析：由簡單命題構(gòu)成復合命題，一定要檢驗是否符合“真值表”如果不符要作語言上的調(diào)整。 （1）p或q：9是144或225的約數(shù)； p且q：9是144與225的公約數(shù)，（或?qū)懗桑?是144的約數(shù)，且9是225的約數(shù)）； 非p：9不是144的約數(shù). ∵p真，q真，∴“p或q”為真，“p且q” 為真，而“非p”為假. （2）p或q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能寫成“方程x2－1

18、=0的解是x=±1”，這與真值表不符）； p且q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1； 非p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命題p中的“是”應理解為“都是”的意思）； ∵p假，q假，∴“p或q”與，“p且q” 均為假，而“非p”為真. （3）p或q：實數(shù)的平方都是正數(shù)或?qū)崝?shù)的平方都是0； p且q：實數(shù)的平方都是正數(shù)且實數(shù)的平方都是0； 非p：實數(shù)的平方不都是正數(shù)，（或：存在實數(shù)，其平方不是正數(shù)）； ∵p假，q假，∴“p或q”與“p且q” 均為假，而“非p”為真. 點評：在命題p或命題q的語句中，由于中文表達的習慣常常會有些省略，這種

19、情況下應作詞語上的調(diào)整。 題型2：條件 例2．（1）（xx北京2）“”是“直線相互垂直”的（ ） A．充分必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 答案：B； 解析：當時兩直線斜率乘積為從而可得兩直線垂直,當時兩直線一條斜率為0一條斜率不存在,但兩直線仍然垂直.因此是題目中給出的兩條直線垂直的充分但不必要條件。 點評：對于兩條直線垂直的充要條件①都存在時②中有一個不存在另一個為零對于②這種情況多數(shù)考生容易忽略。 （2）（xx湖南6）設集合A＝｛x|＜0，B＝｛x || x －1|＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的（ 　） 　

20、 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件　 D．既不充分又不必要條件 答案：A； 解析：由題意得A：－1

21、根，則”的真假性。 解析：（1）答案：若； 由題意原命題的否命題為“若”。 （2）很可能許多同學會認為它是假命題（原因m=0時顯然方程有根），而它的逆否命題：“若有實根”，顯然為真，其實不然，由沒實根可推得，而的真子集，由，故原命題為真，其實，用逆否命題很容易判斷它是真命題； 點評：本題考查了命題間的關系，由原命題寫出其否命題。 題型4：全稱命題與特稱命題 例4．命題p：“有些三角形是等腰三角形”，則┐p是（ ） A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等腰三角形 C．所有三角形不是等腰三角形 D．所有三角形是等腰三角形 解析：

22、像這種存在性命題的否定命題也有其規(guī)律：命題p：“存在使P（x）成立”，┐p為：“對任意”，它恰與全稱性命題的否定命題相反，故的答案為C。 點評：簡易邏輯題，比較抽象，不少學生在有些問題的看法上常出現(xiàn)一些自己也說不清道不明的疑惑，但要依據(jù)具體的規(guī)則進行詳細的處理。 題型5：合情推理 例5．（1）觀察圓周上n個點之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)兩個點可以連一條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，你由此可以歸納出什么規(guī)律？ （2）把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比推廣到空間，并判斷類比的結(jié)論是否成立： 1）如果一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必于另一條相交。 2）如果兩條

23、直線同時垂直與第三條直線，則這兩條直線平行。 解析：（1）設為個點可連的弦的條數(shù)，則 （2） 1）一個平面如和兩個平行平面中的一個相交，則必然和另一個也相交，次結(jié)論成立； 2）若兩個平面同時垂直第三個騙馬，則這兩個平面也相互平行，此結(jié)論不成立。 點評：當前提為真，結(jié)論可能為真的推理。一定要理解合情推理的必要性。 題型6：演繹推理 例6．（06年天津）如圖，在五面體中，點是矩形的對角線的交點，面是等邊三角形，棱。 （1）證明//平面； （2）設，證明平面。 解析：（Ⅰ）證明：取CD中點M，連結(jié)OM. 在矩形ABCD中，，又， 則，連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊

24、形. 又平面CDE，切EM平面CDE，∵FO∥平面CDE （Ⅱ）證明：連結(jié)FM，由（Ⅰ）和已知條件，在等邊△CDE中， 且。 因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO.而，所以EO⊥平面CDF。 點評：本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力。 題型7：特殊證法 例7．（1）用反證法證明：如果a>b>0，那么； （2）（06全國II）設數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…。 （Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項公式。

25、 解析：（1）假設不大于，則或者<,或者=。 ∵a>0，b>0，∴<<，< ，ab>0矛盾，∴. 證法二（直接證法）， ∵a>b>0,∴a - b>0即， ∴，∴。 （2）(Ⅰ)當n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝。 當n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－， 于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝。 (Ⅱ)由題設(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0。 當n≥2時，an＝Sn

26、－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　?、? 由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝。 由①可得S3＝，由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，… 下面用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論 (i)n＝1時已知結(jié)論成立； (ii)假設n＝k時結(jié)論成立，即Sk＝， 當n＝k＋1時，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝， 故n＝k＋1時結(jié)論也成立． 綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立， 于是當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝， 又n＝1時，a1＝＝，所以｛an｝的通項公式an＝，n＝1，2，3，… 點評：要應用好反證法、數(shù)學歸納法證明一些涉及代數(shù)、不等式、幾

27、何的結(jié)論。 題型8：復數(shù)的概念及性質(zhì) 例8．（1）（福建卷）設a、b、c、d∈R，則復數(shù)(a+bi)(c+di)為實數(shù)的充要條件是 A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 （2）（北京卷）在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 解析：（1）復數(shù)=為實數(shù)，∴，選D； （2）解：故選D； 點評：復數(shù)的概念和性質(zhì)是高考對復數(shù)部分的一個考點，屬于比較基本的題目，主要考察復數(shù)的的分類和幾何性質(zhì)。 題型9：復數(shù)的運算 例9．

28、（1）（06浙江卷）已知（ ） (A)1+2i (B) 1－2i (C)2+i (D)2－i （2）（湖北卷）設為實數(shù)，且，則 。 解析：（1），由、是實數(shù)，得， ∴，故選擇C。 （2）， 而 所以，解得x＝－1，y＝5， 所以x＋y＝4。 點評：本題考查復數(shù)的運算及性質(zhì)，基礎題。 題型10：框圖 例10．（1）方案1：派出調(diào)研人員赴北京、上海、廣州調(diào)研，待調(diào)研人員回來后決定生產(chǎn)數(shù)量； 方案2：商家如戰(zhàn)場！抓緊時間搞好調(diào)研，然后進行生產(chǎn)，調(diào)研為此項目的的瓶頸，因此需要添

29、加力量，齊頭并進搞調(diào)研，以便提前結(jié)束調(diào)研，盡早投產(chǎn)使產(chǎn)品占領市場。 （2）公司人事結(jié)構(gòu)圖 解析：（1）方案1：派出調(diào)研人員赴北京、上海、廣州調(diào)研，待調(diào)研人員回來后決定生產(chǎn)數(shù)量。 ?? 方案2： 商家如戰(zhàn)場！抓緊時間搞好調(diào)研，然后進行生產(chǎn)，調(diào)研為此項目的的瓶頸，因此需要添加力量，齊頭并進搞調(diào)研，以便提前結(jié)束調(diào)研，盡早投產(chǎn)使產(chǎn)品占領市場。 于是： （2） 點評：建立合理的結(jié)構(gòu)圖和流程圖解決實際問題，要形成良好的書寫習慣遵循從上到下、從左到右的規(guī)則。 五．思維總結(jié) 1．簡易邏輯的重點內(nèi)容是有關“充要條件”、命題真?zhèn)蔚脑囶}。主要是對數(shù)學概念有準確的記憶和深層次的理解，試題以選擇題、填空題為主，難度不大，要求對基本知識、基本題型，求解準確熟練； 2．推理證明題主要和其它知識結(jié)合到一塊，屬于知識綜合題，解決此類題目時要建立合理的解題思路； 3．高考對于復數(shù)的考察主要以復數(shù)的四則運算為主，按新課標的要求高考將不再考察共軛復數(shù)、復數(shù)的模等知識點； 4．框圖屬于新增內(nèi)容，將以考察考生的實際應用能力為主，考查考生的知識遷移能力。