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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 集合的概念和表示方法教案 理
教材分析
集合概念的基本理論,稱為集合論.它是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要基礎(chǔ).一方面,許多重要的數(shù)學(xué)分支,如數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、實變函數(shù)、泛函分析、概率統(tǒng)計、拓撲等,都建立在集合理論的基礎(chǔ)上.另一方面,集合論及其反映的數(shù)學(xué)思想,在越來越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用.在小學(xué)和初中數(shù)學(xué)中,學(xué)生已經(jīng)接觸過集合,對于諸如數(shù)集(整數(shù)的集合、有理數(shù)的集合)、點集(直線、圓)等,有了一定的感性認識.這節(jié)內(nèi)容是初中有關(guān)內(nèi)容的深化和延伸.首先通過實例引出集合與集合元素的概念,然后通過實例加深對集合與集合元素的理解,最后介紹了集合的常用表示方法,包括列舉法,描述法,
2、還給出了畫圖表示集合的例子.本節(jié)的重點是集合的基本概念與表示方法,難點是運用集合的兩種常用表示方法———列舉法與描述法正確表示一些簡單的集合.
教學(xué)目標
1. 初步理解集合的概念,了解有限集、無限集、空集的意義,知道常用數(shù)集及其記法.
2. 初步了解“屬于”關(guān)系的意義,理解集合中元素的性質(zhì).
3. 掌握集合的表示法,通過把文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言(集合語言),培養(yǎng)學(xué)生的理解、化歸、表達和處理問題的能力.
任務(wù)分析
這節(jié)內(nèi)容學(xué)生已在小學(xué)、初中有了一定的了解,這里主要根據(jù)實例引出概念.介紹集合的概念采用由具體到抽象,再由抽象到具體的思維方法,學(xué)生容易接受.在引出概念時,從實例入手,由具體
3、到抽象,由淺入深,便于學(xué)生理解,緊接著再通過實例理解概念.集合的表示方法也是通過實例加以說明,化難為易,便于學(xué)生掌握.
教學(xué)設(shè)計
一、問題情境
1. 在初中,我們學(xué)過哪些集合?
2. 在初中,我們用集合描述過什么?
學(xué)生討論得出:
在初中代數(shù)里學(xué)習(xí)數(shù)的分類時,學(xué)過“正數(shù)的集合”,“負數(shù)的集合”;在學(xué)習(xí)一元一次不等式時,說它的所有解為不等式的解集.
在初中幾何里學(xué)習(xí)圓時,說圓是到定點的距離等于定長的點的集合.幾何圖形都可以看成點的集合.
3. “集合”一詞與我們?nèi)粘I钪械哪男┰~語的意義相近?
學(xué)生討論得出:
“全體”、“一類”、“一群”、“所有”、“整體”,……
4. 請
4、寫出“小于10”的所有自然數(shù).
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.這些可以構(gòu)成一個集合.
5. 什么是集合?
二、建立模型
1. 集合的概念(先具體舉例,然后進行描述性定義)
(1)某種指定的對象集在一起就成為一個集合,簡稱集.
(2)集合中的每個對象叫作這個集合的元素.
(3)集合中的元素與集合的關(guān)系:
a是集合A中的元素,稱a屬于集合A,記作a∈A;
a不是集合A中的元素,稱a不屬于集合A,記作aA.
例:設(shè)B={1,2,3},則1∈B,4B.
2. 集合中的元素具備的性質(zhì)
(1)確定性:集合中的元素是確定的,即給定一個集合,任何一個對象是否屬于這個集合的元素
5、也就確定了.如上例,給出集合B,4不是集合的元素是可以確定的.
(2)互異性:集合中的元素是互異的,即集合中的元素是沒有重復(fù)的.
例:若集合A={a,b},則a與b是不同的兩個元素.
(3)無序性:集合中的元素無順序.
例:集合{1,2}與集合{2,1}表示同一集合.
3. 常用的數(shù)集及其記法
全體非負整數(shù)的集合簡稱非負整數(shù)集(或自然數(shù)集),記作N.
非負整數(shù)集內(nèi)排除0的集合簡稱正整數(shù)集,記作N*或N+;
全體整數(shù)的集合簡稱整數(shù)集,記作Z;
全體有理數(shù)的集合簡稱有理數(shù)集,記作Q;
全體實數(shù)的集合簡稱實數(shù)集,記作R.
4. 集合的表示方法
[問 題]
如何表示方程x2-
6、3x+2=0的所有解?
(1)列舉法
列舉法是把集合中的元素一一列舉出來的方法.
例:x2-3x+2=0的解集可表示為{1,2}.
(2)描述法
描述法是用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法.
例:①x2-3x+2=0的解集可表示為{x|x2-3x+2=0}.
②不等式x-3>2的解集可表示為{x|x-3>2}.
③Venn圖法
例:x2-3x+2=0的解集可以表示為(1,2).
5. 集合的分類
(1)有限集:含有有限個元素的集合.例如,A={1,2}.
(2)無限集:含有無限個元素的集合.例如,N.
(3)空集:不含任何元素的集合,記作.例如,{x|x2
7、+1=0,x∈R}=.
注:對于無限集,不宜采用列舉法.
三、解釋應(yīng)用
[例 題]
1. 用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?
(1)由1,2,3這三個數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字(沒有重復(fù))所組成的一切自然數(shù).
(2)平面內(nèi)到一個定點O的距離等于定長l(l>0)的所有點P.
(3)在平面a內(nèi),線段AB的垂直平分線.
(4)不等式2x-8<2的解集.
2. 用不同的方法表示下列集合.
(1){2,4,6,8}.
(2){x|x2+x-1=0}.
(3){x∈N|3<x<7}.
3. 已知A={x∈N|66-x∈N}.試用列舉法表示集合A.
(A={0,3,5})
4. 用描述法
8、表示在平面直角坐標中第一象限內(nèi)的點的坐標的集合.
[練 習(xí)]
1. 用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?
(1)構(gòu)成英語單詞mathematics(數(shù)字)的全體字母.
(2)在自然集內(nèi),小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合.
(3)矩形構(gòu)成的集合.
2. 用描述法表示下列集合.
(1){3,9,27,81,…}.
(2)
四、拓展延伸
把下列集合“翻譯”成數(shù)學(xué)文字語言來敘述.
(1){(x,y)|y=x2+1,x∈R}.
(2){y|y=x2+1,x∈R}.
(3){(x,y)|y=x2+1,x∈R}.
(4){x|y=x2+1,y∈N*}.
點 評
這篇案例注重新、舊知識的聯(lián)系與過渡,以舊引新,從學(xué)生的原有知識、經(jīng)驗出發(fā),創(chuàng)設(shè)問題情境;從實例引出集合的概念,再結(jié)合實例讓學(xué)生進一步理解集合的概念,掌握集合的表示方法.非常注重實例的使用是這篇案例的突出特點.這樣做,通俗易懂,使學(xué)生便于學(xué)習(xí)和掌握.例題、練習(xí)由淺入深,對培養(yǎng)學(xué)生的理解能力、表達能力、思維能力大有裨益.拓展延伸注重數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化和訓(xùn)練,注重區(qū)分形似而質(zhì)異的數(shù)學(xué)問題,加強了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和認識.