2022年高中數(shù)學(xué) 2-2-2雙曲線的幾何性質(zhì)同步練習(xí) 新人教B版選修1-1

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 2-2-2雙曲線的幾何性質(zhì)同步練習(xí) 新人教B版選修1-1 一、選擇題 1．已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(－4,0)，(4,0)，則雙曲線方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [答案]　A [解析]　∵e＝＝2，由c＝4得a＝2. 所以b2＝c2－a2＝12.因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以雙曲線方程為－＝1. 2．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則m的值為(　　) A．－ B．－4 C．4 D. [答案]　A [解析]　由雙曲線方程mx2＋y2＝1，知m<0，則雙曲線方程可

2、化為y2－＝1，則a2＝1，a＝1，又虛軸長是實(shí)軸長的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－.故選A. 3．如果雙曲線－＝1的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為(　　) A. B．2 C. D．2 [答案]　A [解析]　∵雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，又兩漸近線互相垂直，∴a＝b，c＝＝a，∴e＝＝. 4．雙曲線x2－y2＝－3的(　　) A．頂點(diǎn)坐標(biāo)是(±，0)，虛軸端點(diǎn)坐標(biāo)是(0，±) B．頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，±)，虛軸端點(diǎn)坐標(biāo)是(±，0) C．頂點(diǎn)坐標(biāo)是(±，0)，漸近線方程是y＝±x D．虛軸端點(diǎn)坐標(biāo)是(0，±)，漸近線方程是x

3、＝±y [答案]　B [解析]　雙曲線x2－y2＝－3可化為－＝1， ∴a＝，b＝， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±)，虛軸端點(diǎn)坐標(biāo)是(±，0)， ∴它的漸近線方程為y＝±x＝±x. 5．中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為的雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則它的漸近線方程為(　　) A．y＝±x　　　　　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x [答案]　D [解析]　∵＝，∴＝＝，∴＝， ∴＝，∴＝， ∴它的漸近線方程為y＝±x＝±x. 6．雙曲線4x2＋my2＝4m的虛軸長是(　　) A．2m B．－2m C．2 D．2 [答案]　D [解析

4、]　雙曲線4x2＋my2＝4m可化為：＋＝1， ∴m<0，∴a2＝4，b2＝－m，b＝，2b＝2. 7．雙曲線－＝1與－＝1具有(　　) A．相同的焦點(diǎn) B．相同的虛軸長 C．相同的漸近線 D．相同的實(shí)軸長 [答案]　A [解析]　∵c2＝a2＋b2，∴c＝， ∴雙曲線－＝1與－＝1有相同的焦點(diǎn)． 8．方程x2＋(k－1)y2＝k＋1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍是(　　) A．k<－1 B．k>1 C．－11 [答案]　C [解析]　方程x2＋(k－1)y2＝k＋1， 可化為＋＝1，∵雙曲

5、線的焦點(diǎn)在x軸上， ∴k＋1>0且<0，∴－10)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其一條漸近線方程為y＝x，點(diǎn)P(，y0)在該雙曲線上，則·＝(　　) A．－12 B．－2 C．0 D．4 [答案]　C [解析]　本小題主要考查雙曲線的方程及雙曲線的性質(zhì)． 由題意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)， 又點(diǎn)P(，y0)在雙曲線上，∴y＝1， ∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0) ＝－1＋y＝0，故選C. 10．雙曲線－＝1的一個焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于(　　) A.

6、 B．3 C．4 D．2 [答案]　C [解析]　∵焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±5,0)， 漸近線方程為y＝±x， ∴一個焦點(diǎn)(5,0)到漸近線y＝x的距離為4. 二、填空題 11．雙曲線－＝1的漸近線方程是________． [答案]　y＝±x [解析]　由題意知a＝2，b＝2，∴雙曲線－＝1的漸近線為y＝±x. 12．橢圓＋＝1與雙曲線－y2＝1焦點(diǎn)相同，則a＝________. [答案]　 [解析]　由題意得4－a2＝a2＋1， ∴2a2＝3，a＝. 13．雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率e＝3，焦距為6，則雙曲線方程為__________． [答案]　x2

7、－＝1或y2－＝1 [解析]　∵焦距為6， ∴c＝3，由e＝3得a＝1，所以b2＝c2－a2＝8. 由于焦點(diǎn)不確定在x軸或y軸，所以雙曲線方程為x2－＝1或y2－＝1. 14．(xx·安徽)已知雙曲線－＝1的離心率為，則n＝________. [答案]　4 [解析]?、佼?dāng)時，則有＝()2， ∴n＝4.經(jīng)驗(yàn)證，符合題意． ②當(dāng)時無解． 三、解答題 15．求一條漸近線方程是3x＋4y＝0，一個焦點(diǎn)是(4,0)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程． [解析]　∵雙曲線的一條漸近線方程為 3x＋4y＝0，∴設(shè)雙曲線的方程為－＝λ， 由題意知λ>0，∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝. ∴所求的雙曲線

8、方程為－＝1. 16．求雙曲線25y2－4x2＋100＝0的實(shí)半軸長、虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率及漸近線方程． [解析]　雙曲線方程25y2－4x2＋100＝0可化為－＝1. ∴實(shí)半軸長a＝5，虛半軸長b＝2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)．(－，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－5)，(0,5)，離心率為e＝＝，漸近線方程為y＝±x. 17．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)(4，－)． (1)求此雙曲線的方程； (2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證MF1⊥MF2； (3)求△F1MF2的面積． [解析]　(1)因?yàn)閑＝，所以雙曲線為等軸雙曲線， 所以

9、可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，因?yàn)檫^點(diǎn)(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6，所以雙曲線方程為x2－y2＝6. (2)易知F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，所以kMF1＝，kMF2＝，所以kMF1·kMF2＝＝－，因?yàn)辄c(diǎn)(3，m)在雙曲線上，所以9－m2＝6，所以，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，所以MF1⊥MF2. (3)在△F1MF2中，底|F1F2|＝4，F(xiàn)1F2上的高h(yuǎn)＝|m|＝，所以S△F1MF2＝|F1F2|·|m|＝6. 18．已知動圓與⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且與⊙C2：(x－3)2＋y2＝1內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程． [解析]　設(shè)動圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r， 則|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1， ∴|MC1|－|MC2|＝r＋3－r＋1＝4<|C1C2|＝6， 由雙曲線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且2a＝4，a＝2， 雙曲線的方程為：－＝1(x≥2)．