2022年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程章末測試B 新人教B版選修1-1

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程章末測試B 新人教B版選修1-1 一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程是(　　) A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 2．若實(shí)數(shù)k滿足0＜k＜5，則曲線－＝1與曲線－＝1的(　　) A．實(shí)半軸長相等 B．虛半軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等 3．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則C的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 4．雙曲線x

2、2－y2＝1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于(　　) A. B. C．1 D. 5．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 6．拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)到直線x－y＝0的距離是(　　) A．2 B．2 C. D．1 7．設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 8．已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交

3、C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，則C的方程為(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 9．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 10．雙曲線x2－＝1的離心率大于的充分必要條件是(　　) A．m＞ B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2 第Ⅱ卷(非選擇題　共50分) 二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中的橫線上) 11．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：

4、－＝1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)．若在C上存在一點(diǎn)P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，則C的離心率為__________． 12．雙曲線－＝1的離心率為__________． 13．設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D，若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率等于__________． 14．已知橢圓C：＋＝1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|＋|BN|＝__________. 15．已知拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的

5、一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為__________． 三、解答題(本大題共4個(gè)小題，共25分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 16．(6分)已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0)，焦點(diǎn)為F(0,1)． (1)求拋物線C的方程； (2)過點(diǎn)F作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．若直線AO，BO分別交直線l：y＝x－2于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值． 17．(6分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)到直線l：x＝4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍． (1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程； (2)過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜率

6、． 18．(6分)設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知|AB|＝|F1F2|. (1)求橢圓的離心率； (2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1，經(jīng)過點(diǎn)F2的直線l與該圓相切于點(diǎn)M，|MF2|＝2.求橢圓的方程． 19．(7分)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2關(guān)于直線x＋y－2＝0的對稱點(diǎn)是圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)． (1)求圓C的方程； (2)設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a，b，當(dāng)ab最大時(shí)，求直線l的方程． 參考答案 1.

7、 解析：拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線方程為y＝－1. 答案：A 2. 解析：∵0＜k＜5， ∴5－k＞0,16－k＞0， ∴對于雙曲線－＝1，實(shí)軸長為8，虛軸長為，焦距為＝；對于雙曲線－＝1，實(shí)軸長為，虛軸長為，焦距為＝，因此兩雙曲線的焦距相等，故選D. 答案：D 3. 解析：因?yàn)閑＝，所以＝，即＝. 因?yàn)閏2＝a2＋b2，所以＝.所以＝. 因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±x， 所以漸近線方程為y＝±x.故選C. 答案：C 4. 解析：x2－y2＝1的漸近線方程為y＝±x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0)，點(diǎn)(±1,0)到y(tǒng)＝±x的距離為＝＝. 答案：B 5. 解析：由中心在原點(diǎn)的橢圓

8、C的右焦點(diǎn)F(1,0)知，c＝1. 又離心率等于，則＝，得a＝2. 由b2＝a2－c2＝3， 故橢圓C的方程為＋＝1. 答案：D 6. 解析：y2＝8x的焦點(diǎn)為F(2,0)，它到直線x－y＝0的距離d＝＝1.故選D. 答案：D 7. 解析：如圖所示，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c， 設(shè)|PF2|＝x，則|PF1|＝2x， 由tan 30°＝＝＝，得x＝c. 而由橢圓定義得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x， 所以a＝x＝c，所以e＝＝＝. 答案：D 8. 解析：如圖，|AF2|＝|AB|＝，|F1F2|＝2， 由橢圓定義得|AF1|＝2a－.①

9、 在Rt△AF1F2中，|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝2＋22.② 由①②得a＝2，所以b2＝a2－c2＝3.所以橢圓C的方程為＋＝1，應(yīng)選C. 答案：C 9. 解析：如圖所示，根據(jù)余弦定理，|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|BF||AB|cos∠ABF，即|AF|＝6，又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB||BF|cos∠ABF，即|OF|＝5.又根據(jù)橢圓的對稱性，|AF|＋|BF|＝2a＝14，所以a＝7，|OF|＝5＝c，所以離心率為，故選B. 答案：B 10. 解析：該雙曲線離心率e＝，由已知＞，故m＞1，故選C. 答案：C 11. 解析

10、：如圖所示， 因?yàn)镻F1⊥PF2，∠PF1F2＝30°， 可得|PF2|＝c. 由雙曲線定義知，|PF1|＝2a＋c， 由|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2得 4c2＝(2a＋c)2＋c2，即2c2－4ac－4a2＝0， 即e2－2e－2＝0， 所以e＝，所以e＝1＋. 答案：＋1 12. 解析：在雙曲線－＝1中，a＝4，b＝3， 則c＝＝5，所以e＝＝. 答案： 13. 解析：連接AF1，∵OD∥AB，O為F1F2的中點(diǎn)， ∴D為BF1的中點(diǎn)． 又AD⊥BF1，∴|AF1|＝|AB|. ∴|AF1|＝2|AF2|. 設(shè)|AF2|＝n，則|AF1

11、|＝2n，|F1F2|＝n. ∴e＝＝＝＝. 答案： 14. 解析： 如圖，設(shè)MN的中點(diǎn)為P，則由F1是AM的中點(diǎn)，可知|AN|＝2|PF1|. 同理可得可知|BN|＝2|PF2|. ∴|AN|＋|BN|＝2(|PF1|＋|PF2|)． 根據(jù)橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， ∴|AN|＋|BN|＝12. 答案：12 15. 解析：拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線為x＝－2，則雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(－2,0)，即c＝2，離心率e＝＝2，故a＝1，由a2＋b2＝c2得b2＝3，所以雙曲線的方程為x2－＝1. 答案：x2－＝1 16. 解：(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x

12、2＝2py(p＞0)，則＝1， 所以拋物線C的方程為x2＝4y. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋1. 由消去y， 整理得x2－4kx－4＝0， 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 從而|x1－x2|＝4. 由 解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM＝＝＝. 同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN＝. 所以|MN|＝|xM－xN| ＝ ＝8 ＝. 令4k－3＝t，t≠0，則k＝. 當(dāng)t＞0時(shí)，|MN|＝＞. 當(dāng)t＜0時(shí)，|MN|＝≥. 綜上所述，當(dāng)t＝－，即k＝－時(shí)，|MN|的最小值是. 17. (1)解：設(shè)M到直線l的距離為d，根據(jù)題意，d＝2|MN

13、|. 由此得|4－x|＝， 化簡得＋＝1， ∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為＋＝1. (2)解法一：由題意，設(shè)直線m的方程為y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 將y＝kx＋3代入＋＝1中， 有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0， 其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)＞0， 由求根公式得，x1＋x2＝－，① x1x2＝.② 又∵A是PB的中點(diǎn)，故x2＝2x1，③ 將③代入①，②得x1＝－，x21＝， 可得2＝，且k2＞， 解得k＝－或k＝， ∴直線m的斜率為－或. 解法二：由題意，設(shè)直線m的方程為y＝kx＋3，A(x1，

14、y1)，B(x2，y2)． ∵A是PB的中點(diǎn)， ∴x1＝，① y1＝.② 又＋＝1，③ ＋＝1，④ 聯(lián)立①，②，③，④解得x2＝2，,y2＝0或x2＝－2，,y2＝0， 即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)或(－2,0)， ∴直線m的斜率為－或. 18. 分析：(1)由條件求出|AB|，|F1F2|，用a，b，c表示，結(jié)合平方關(guān)系，求出離心率e＝的值． (2)利用(1)中離心率的值，可將橢圓方程中a2，b2用c2表示，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)，表示出，，利用以線段PB為直徑的圓過點(diǎn)F1，可得·＝0，得出x0，y0的關(guān)系，結(jié)合P在橢圓上，解出x0，y0用c表示．從而求出圓心、半徑，

15、并用c表示，再利用l與圓相切及|MF2|＝2，結(jié)合勾股定理求出c，得橢圓方程． 解：(1)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0)． 由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2， 又b2＝a2－c2，則＝. 所以，橢圓的離心率e＝. (2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2. 故橢圓方程為＋＝1. 設(shè)P(x0，y0)． 由F1(－c,0)，B(0，c)， 有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)． 由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0. 又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.① 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故＋＝1.② 由①和②可得3＋4cx0＝0. 而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn)，

16、故x0＝－c， 代入①得y0＝， 即點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 設(shè)圓的圓心為T(x1，y1)，則x1＝＝－c，y1＝＝c，進(jìn)而圓的半徑r＝＝c. 由已知，有|TF2|2＝|MF2|2＋r2，又|MF2|＝，故有2＋2＝8＋c2，解得c2＝3. 所以，所求橢圓的方程為＋＝1. 19. 解：(1)由題設(shè)知，F(xiàn)1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(－2,0)，(2,0)，圓C的半徑為2，圓心為原點(diǎn)O關(guān)于直線x＋y－2＝0的對稱點(diǎn)． 設(shè)圓心的坐標(biāo)為(x0，y0)，由解得 所以圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4. (2)由題意，可設(shè)直線l的方程為x＝my＋2，則圓心到直線l的距離d＝. 所以b＝2＝. 由 得(m2＋5)y2＋4my－1＝0. 設(shè)l與E的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則 y1＋y2＝－，y1y2＝－. 于是a＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 從而ab＝ ＝ ＝ ≤＝2. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即m＝±時(shí)等號成立． 故當(dāng)m＝±時(shí)，ab最大，此時(shí)，直線l的方程為x＝y(tǒng)＋2或x＝－y＋2， 即x－y－2＝0，或x＋y－2＝0.