2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題突破篇 專題四 立體幾何專題限時(shí)訓(xùn)練14 文

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題突破篇 專題四 立體幾何專題限時(shí)訓(xùn)練14 文 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(xx·山西康杰中學(xué)模擬)若a,b,c為三條不同的直線,α,β,γ為三個(gè)不同的平面,則下列命題正確的為 (  ) A.若a∥α,b∥α,則a∥b B.若α∥a,β∥a,則α∥β C.若a⊥α,b⊥α,則a∥b D.若α⊥β,α⊥γ,則β∥γ 答案:C 解析:對(duì)于A,空間中平行于同一個(gè)平面的兩直線可能異面、相交或平行,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,空間中平行于同一條直線的兩平面平行或相交,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,空間中垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行,故C正確;對(duì)于D,空間中垂

2、直于同一個(gè)平面的兩平面相交或平行,故D錯(cuò)誤. 2.(xx·河北唐山二模)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P,Q分別是線段AD1和B1C上的動(dòng)點(diǎn),且滿足AP=B1Q,則下列命題錯(cuò)誤的是 (  ) A.存在P,Q的某一位置,使AB∥PQ B.△BPO的面積為定值 C.當(dāng)PA>0時(shí),直線PB1與AQ是異面直線 D.無論P(yáng),Q運(yùn)動(dòng)到任何位置,均有BC⊥PQ 答案:B 解析:對(duì)于A,當(dāng)P,Q分別是AD1與B1C的中點(diǎn)時(shí),AB∥PQ,所以A正確;對(duì)于B,當(dāng)P在A處,Q在B1處時(shí),△BPQ的面積為,當(dāng)P,Q分別在AD與B1C的中點(diǎn)時(shí),△BPQ的面積為,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,

3、當(dāng)PA>0時(shí),設(shè)直線PB1與AQ是共面直線,則AP與B1Q共面,與已知矛盾,故C正確;對(duì)于D,由于BC垂直于PQ在平面ABCD內(nèi)的射影,所以由三垂線定理可知BC⊥PQ,故D正確.故選B. 3.已知直線l,m,平面α,β,且l⊥α,m?β,給出下列命題: ①若α∥β,則l⊥m;②若l⊥m,則α∥β;③若α⊥β,則l∥m;④若l∥m,則α⊥β. 其中真命題的個(gè)數(shù)為(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:①因?yàn)閘⊥α,α∥β,所以l⊥β, 又因?yàn)閙?β,所以l⊥m,故①正確; ②由l⊥m推不出l⊥β,故②錯(cuò)誤; ③當(dāng)l⊥α,α⊥β時(shí),l可能平行于

4、β,也可能在β內(nèi), 所以l與m的位置關(guān)系不能判斷,故③錯(cuò)誤; ④因?yàn)閘⊥α,l∥m,所以m⊥α, 又因?yàn)閙?β,所以α⊥β,故④正確.故選B. 4.(xx·廣東佛山二模)在空間中,有如下四個(gè)命題: ①平行于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線; ②垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是平行平面; ③若平面α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等,則α∥β; ④過平面α的一條斜線有且只有一個(gè)平面與平面α垂直. 其中正確的命題是 (  ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 答案:B 解析:①平行于同一個(gè)平面的兩條直線,可能平行、相交或異面,不正確; ②垂直于同一條直線的

5、兩個(gè)平面是平行平面,由面面平行的判定定理知正確; ③若平面α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等,則α與β可能平行,也可能相交.不正確;易知④正確.故選B. 5.(xx·江西卷)如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方體的六個(gè)面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m,n,那么m+n=(  ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 答案:A 解析:取CD中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G,可知CD⊥平面EFG,因?yàn)锳B∥CD,所以AB⊥平面EFG,容易知道平面EFG與正方體的左右兩個(gè)側(cè)面平行,所以EF與正方體的兩個(gè)側(cè)面平行,觀察可知n=

6、4;又正方體的底面與正四面體的底面共面,所以過點(diǎn)A可作AH∥CE,易知CE與正方體的上底面平行,在下底面內(nèi),與其他四個(gè)面相交,所以m=4,即m+n=8. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是________.(寫出所有正確命題的序號(hào)) ①當(dāng)0

7、③⑤ 解析:當(dāng)0

8、誤, ⑤當(dāng)CQ=1時(shí),如圖④. 同③可作AE∥PQ交DD1的延長線于點(diǎn)E,交A1D1于點(diǎn)M,顯然點(diǎn)M為A1D1的中點(diǎn),所以S為菱形APQM,其面積為MP×AQ=××=,故⑤正確. 7.(xx·廣東湛江調(diào)研)設(shè)x,y,z為空間不同的直線或不同的平面,且直線不在平面內(nèi),下列說法中能保證“若x⊥z,y⊥z,則x∥y”為真命題的序號(hào)為________. ①x為直線,y,z為平面: ②x,y,z都為平面; ③x,y為直線,z為平面; ④x,y,z都為直線; ⑤x,y為平面,z為直線. 答案:①③⑤ 解析:①x⊥平面z,平面y⊥平面z. ∴x∥平面y或x?平面y. 又∵x?平面y,

9、故x∥y,①成立; ②x,y,z均為平面,則x可與y相交,故②不成立; ③x⊥z,y⊥z,x,y為不同直線,故x∥y,③成立; ④x,y,z均為直線,則x與y可平行,可異面,也可相交,故④不成立; ⑤z⊥x,z⊥y,z為直線,x,y為平面,所以x∥y,⑤成立. 8.(xx·山西太原一模)已知在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2,將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐D-ABC,當(dāng)三棱錐D-ABC的體積取最大值時(shí),其外接球的體積為________. 答案:π 解析:由題意,要想三棱錐D-ABC的體積最大,則需點(diǎn)D到平面ABC的距離最遠(yuǎn). 即平面

10、DAC⊥平面ABC. 作DE⊥AC,交AC于E,DE即為三棱錐D-ABC的高.連接OD,OE. ∵AB=2AD=2CD=2, ∴DE=,OE=BC=, ∴DO==1, ∴DO=AO=BO. ∴O為三棱錐D-ABC體積取最大值時(shí)外接球的球心. ∴V=πr3=π. 三、解答題(9題12分,10題、11題每題14分,共40分) 9.(xx·北京卷)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F(xiàn)分別為A1C1,BC的中點(diǎn). (1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1; (2)求證:C1F∥平面ABE; (3)求三棱錐E

11、-ABC的體積. 解:(1)證明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC, 所以BB1⊥AB,又因?yàn)锳B⊥BC, 所以AB⊥平面B1BCC1, 因?yàn)锳B?平面ABE. 所以平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)證明:取AB中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G. 因?yàn)镋,F(xiàn)分別是A1C1,BC的中點(diǎn), 所以FG∥AC,且FG=AC. 因?yàn)锳C∥A1C1, 且AC=A1C1, 所以FG∥EC1, 且FG=EC1. 所以四邊形FGEC1為平行四邊形, 所以C1F∥EG. 又因?yàn)镋G?平面ABE,C1F?平面ABE, 所以C1F∥平面ABE. (3)因?yàn)锳A1=AC

12、=2,BC=1,AB⊥BC, 所以AB==. 所以三棱錐E-ABC的體積V=S△ABC·AA1 =×××1×2=. 10.(xx·福建南平檢測)如圖,在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于點(diǎn)E,F(xiàn)是PC中點(diǎn),G為AC上一點(diǎn). (1)求證:BD⊥FG; (2)確定點(diǎn)G在線段AC上的位置,使FG∥平面PBD,并說明理由. 解:(1)證明:因?yàn)镻A⊥面ABCD,四邊形ABCD是正方形,其對(duì)角線BD,AC交于點(diǎn)E, 所以PA⊥BD,AC⊥BD, 又因?yàn)镻A∩AC=A, 所以BD⊥平面PAC, 因?yàn)镕G?平面PAC, 所以BD⊥FG. (2)當(dāng)

13、G為EC中點(diǎn), 即AG=AC時(shí),F(xiàn)G∥平面PBD, 連接PE,由F為PC中點(diǎn),G為EC中點(diǎn),知FG∥PE. 而FG?平面PBD,PE?平面PBD, 故FG∥平面PBD. 11.(xx·河南洛陽二模)四邊形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在BC,AD上,EF∥AB.現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC,如圖,設(shè)AD的中點(diǎn)為P. (1)當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí),求證:CP∥平面ABEF; (2)設(shè)BE=x,問當(dāng)x為何值時(shí),三棱錐A-CDF的體積取最大值?并求出這個(gè)最大值. 解:(1)證法一:取AF的中點(diǎn)Q,連接QE,

14、QP,則QP∥DF,且QP=DF. 又DF=4,EC=2,且DF∥EC, 所以EC∥DF,且EC=DF, 所以PQ∥EC,且PQ=EC. 故四邊形PQEC為平行四邊形, 所以CP∥QE, 又QE?平面ABEF,CP?平面ABEF, 所以CP∥平面ABEF. 證法二:如圖,取FD的中點(diǎn)M,連接PM,CM. 在△ADF中,P,M分別為DA,DF的中點(diǎn), 所以PM∥AF,且PM =AF. 又DF=4,EC=2,且DF∥EC, 所以FM∥EC,且FM=EC, 即四邊形EFMC為平行四邊形, 所以EF∥MC. 又PM∩MC=M,AF∩EF=F, 所以平面PMC∥平面ABEF. 又CP?平面PMC,所以CP∥平面ABEF. (2)因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF, 又AF⊥EF,所以AF⊥平面EFDC, 所以平面AFD⊥平面EFDC. 已知BE=x(0

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